Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В силу плотности можно продеформировать д в гладкое отображение /, трансверсальное к А, откуда следует (а). Пусть А', — компонента поверхности А'. Если Аг есть сфера, то ее можно просто- напросто удалить, так как Аг ограничивает шар в Е(к') и у[Аг гомотопно нулю в Е(гс) . Если яг (А',) -т яг (А) не является инъектввным, то в А', существует вложенная окружность С, негомотопная 0 и такая, что у[С гомотопно 0 в А. Эта окружность С гомотопна 0 в Е(к'); согласно лемме Дена, она ограничивает диск Р, вложенный в Е(гг') . Можно предполагать диск Р трансверсгльным к А', удаляя компоненты пересечения А' Г'1 Р, которые гомотопиы 0 в А', можно найти компоненту Сто пересечения А' й Р, не гомотопную 0 в А' и ограничивающую некоторый диск Рв, такую, что А' П Рв = Со.
Теперь можно также деформировать у в окрестности диска Рв таким образом, что компонента Аг, прообраза А', которая содержит Со, подвергается хирургии, удаляющей Св (прием Столлингса [Вь]). Ех[3 - Сзс:[) Сь Рис. 4 Такая хирургия увеличивает характеристику у(А') на два, увеличивает не более чем на единицу число компонент, т. е.
мощность мно- 80 Андре Грзмзн жества яо(А'), и в результате не может получиться сфера. Так как А' не содержит сферы, имеем у(А') < ф(яо(А')), н в результате конечного числа операций мы получим инъективность гомоморфизма яь (г") для каждой компоненты прообраза А'. Тогда фундаментальные группы компонент прообраза А' иэоморфны подгруппам группы Е; это диски или кольца. Если одна из компонент есть диск Р, то его край ЬР гомотопен 0 в Е(й'), а значит, н в ЬЕ(й') (так как узел й' нетривнален); ЬР ограничивает диск Ро в ЬЕ(й'), и сфера Р О Ро ограничивает шар в Е(й'); можно продеформировать у в окрестности этого шара так, чтобы устранить диск Р.
Если одна из компонент прообраза А' есть несущественное кольцо, то, так как оно не- сжимаемо, оно параллельно краю, и его также можно удалить, откуда следует (Ь). Наконец, если у '(А) пусто, то образ отображения у содержится в одном из подмногообразий многообразия Е(й), вырезаемых кольцом А, например, в Хь. Так как кольцо А существенное, то ль(Х,) есть собственная подгруппа группы ггь (Е(й)) и яь (у) не может быть нэоморфизмом. 3.3. Предположим, чгпо многообразие Е(й) содержигп сугцеспьвенное кольцо. Узел й есть тогда обмотка или разложнмый узел (предложе. ние 2), и эти возможности являются взаимоисключающими по теореме Шуберта [ВсЬц, 21, Яаы.
2]. В этом пункгпе мы будем предполаеать, пгьо узел й лвллетсл (р, д)-обмоткой. Пусть А — существенное кольцо, как в предложении 2(Ь), н у — гомеотопия'> многообразия Е(й') в Е(й) нэ леммы 1. Если бы компонента А', прообраза А' разбивала Е(й') на два многообразия нетривиальных узлов, то компоненты ЬА,' были бы меридианами узла й' (предложение 2) и порождали бы Нь(Е(й')) .
Однако класс компоненты края ЬА есть образующая группы Нь(Е(й)), умноженная на ру. Следовательно, кольцо А', разбивает Е(й') на полноторие ~ и многообразие Иг,', и гомоморфизм гг,(А[) -ь яьЯг) не сюръектнвен — в противном случае кольцо А', было бы параллельно краю. Если И", есть полноторие, то й' есть торическнй узел. Этот случай целиком решается теоремой Бурде н Цишанга [ВХ 66]: для того чтобы узел й был торнчебким, необходимо н достаточно, чтобы центр группы С(й) не был тривиальным, н тип торического узла определяется его группой. Отбросим случай торических узлов; тогда многообразие И' есть многообразие нетривиального узла гь'; — сердцевины полнотория Ьг,', а узел й' есть (р', у')-обмотка соответствующего узла й'; (предложение 2). Так как гомоморфизм ггь (А'„) -+ ль(А) является инъективным, ьЬОбычно термин ьгомеотопиль используется в другом смысле.
— Прим. нерее. О КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УЗЛОВ У,' И", в- Фв ь И", У' Ф +Ф вЂ” + А( Аг Аг А~ А( А' 2 2 Игг (Ь) (с) (а) Рис. 5 В случае (а), поскольку кольцо А', является несжимаемым в Е()г'), гомомоРфизмы ггг(А',) — > ггг(И",) и Яг(А',) -+ нг(Уг ГгУ~з) инъективны. Следовательно, гомоРгоРфизм пг(Игг) -+ пг(Уз) инъективен (теоРема ван Кампена), что невозможно. В случае (Ь) кольцо Аз~ разбивает Игг' на полноторне Уз и многообразие У = И", П Игзг, которое есть либо полноторие, либо многообразие узла. В обоих случаях кольцо А~а существенно в И'( и компоненты края ЬА~ имеют тот же класс в полнотории Яз — 1пс (И",'), что и сердцевина зтого полнотория (предложение 2). Компоненты края ЬАг параллельны компонентам края ЬА( на торе Ж",', и, следовательно, гомоморфизм лг(А',) -г нг(Уг') является сюръективным, что невозможно. Значит, имеет место одна из конфигураций случая (с), например, И'( С Ига. С помощью тех же рассуждений, ч'го и в случае (а), покажем, что гомоморфизм яг(Ига П У,') -+ з г(Уг') является инъектнвным и что Ига П Уг обазательно Явлаетса полнотоРием.
рд делит р'о'. Согласно результату Шуберта [ЯсЬи, 21, Яасз. 5), задание обмотки гг определяет носитель Ь и пару (р, о) с точностью до знака. Применяя предыдущее к гомеотопии многообразия Е(Ь) в Е(й'), получаем, что р'д' делит ргг. Следовательно, унг = ~р'д' и у индуцирует гомеотопию кольца А', в А. Итак, можно предполагать, что у индуцирует гомеоморфизм кольца А'; на А для каждой компоненты А'; прообраза А'. Если Аг и А~а — две компоненты прообраза А', то многообразия Иг' и Иг' вложены одно в друеое и их разноегпь есть полноторие.
Действительно, непересекающиеся кольца А', и А~ разбивают многообразие Е(Ы) на Уг' и )Уг', с одной стороны, и на Уз и И'з, с другой СтОрОНЫ; ИтаК, ИМЕЮтСя СЛЕдуЮщИЕ ВОЗМОжНОСтИ: (а) ИгГ' ГГ И'З = ЕГ, (Ь) Уг ГЗ Уз' = О, (с) И", С И'з или Ига С Игг. 82 Андре Грэнэн Аэ Рис. 6 Согласно сказанному, можно занумеровать компоненты А',,..., А» 'прообраза А' так, чтобы И[ С .
С ИЯ. Покажем, что можно продеформировать зомеотопию у' так, чтобы сделать А' связным. Для значений ' = 2,..., й положим Х[ = И П Ъ 1 и Хь+, = Ъ~~ Обозначим через Хэ и Хз многообразия, вырезаемые кольцом А в Е(л). Отображение у переводит каждое многообразие Х[ в Хэ или Хз. Предположим, например, что у(ИГ,') С Х; тогда у(Х[) С Х~;1, где [(] = 1 или 2 и ( = [(] (щоб 2) . Пусть» есть базисная точка в А, и для э = 1,..., Й пусть *'; есть прообраз базисной точки э относительно у в А';.
Так как у есть гомеотопня, то из общей теоремы ван Кампена следует, что существует индекс 1 б [2, й] и путь еэ, связывающий э[ 1 с э', в Х, такие, что у эа есть петля с базисной точкой *, гомотопнал О в Х(О. Это рассуждение, называемое «Ьйпб(пк Ме» и принадлежащее Столлингсу [Бс], детально изложено в книге [ВЕ 85, р. 293].
А', Аэ Аэ Рис. Т Так как Х,' есть полноторие, то существуют две дуги 13 и у, связывающие *'; 1 с *'; в крае ЬХ,', объединение которых ограничивает меридианный диск )9 в Х, такие, что петли у э Д и у эу гомотопны О в Х(О. Так как кз(Х(О) = О, то можно при помощи деформации, которая постоянна вне окрестности многообразия Х, продеформировать / так,что образ диска Ю будет сконцентрирован в окрестности тоЧки *.
Далее, так как хз(Х(О) = О, можно продеформировать у так, ]чтобы у(Х[) С, А. Теперь остается слегка переместить у к О КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УЗЛОВ 83 внутренности многообразия ХЙ+д), чтобы устранить компоненты А! и А';+, прообраза У '(А) . По индукции получаем, что А' связно. Х,' Рис. 8 Итак, мы находимся в следующей ситуации: узел й является (р, о)-обмоткой, Е(я) есть объединение многообразия Е(Ь) узла- носителя дд и полнотория Р, приклеенного вдоль кольца А.
Кроме того, узел 6' является ф, д')-обмоткой, Е(й') есть объединение многообразия узла Е(Ы) и полнотория 6", приклеенного вдоль А'. Отображение у: Е(Ы) -+ Е(й) есть гомеотопия, индуцирующая гомеоморфизм А' на А, и А' = ~ '(А). Так как яд(у) есть изоморфизм амальгамированной суммы хд(Е(Ь')) ~„,<л1лд(У') на яд(Е(Ь)) е,<лд Яд(Р'), а гомомоРфизмы Яд(А') -+ Яд(Г) и Яд(А) ~ Яд(6') инъективны, то отображение у обязательно индуцирует гомеотопию Е()д') на Е(6) и гомеотопию полнотория Г на И. В' В' Рис. 9 Пусть В' — дополнительное кольцо к А' на крае 6Е(6'); ограничение У[В' есть несжимаемое кольцо в Е(6), однако оно не является существенным, потому что классом компонент края д6В') = 6А является р[пд! + о[!], [о[ > 2, где пд и ! 'суть меридиан и параллель узла 6 (предложенне 2).
Следовательно, можно предполагать, 84 Андре Граман что у(В') С ЬЕ(й), откуда Г(ЬЕ(Ь')) С ЬЕ(Ь). По теореме Вальдхаузена можно предполагать, что у индуцирует гомеоморфизм многообразия Е(Е) на Е(й) и гомеотопию полнотория У' на У. Рассматривая классы компонент краев 6А' и ЬА в Г н У, мы видим, что д' = хд, а следовательно, р' = хр. Гомеоморфизм у многообразия Е(Ч) на Е(й) сохраняет параллели и меридианы узлов й и й' (теорема Гордона-Люке). Итак, многообразия Е(й') и Е(й) гомеоморфны. Согласно теореме Гордона-Люке, узлы й и й' одного типа. 3.4.
Предположим, нанонеаь чпао узел й разложим, и пусть А — существенное кольцо, которое разбивает Е(й) на два нетривиальных многообразия узла Х1 и Хз. Пусть у: Е(й') -а Е(й) — гомеотопия, удовлетворяющая условиям леммы 1. Тогда у' '(А) состоит из существенных колец,края которых суть меридианы узла й'. х, А А' У ха А! Рис. 10 Действительно, в противном случае узел й' был бы обмоткой (предложение 2), а значит, и й также был бы обмоткой, согласно 3.3, что противоречит предположению, что узел й разложим.
Кольца А',,..., А~,, которые составляют 1 1(А), делят Е(й') на многообразия Х,',..., Хе+1, которые суть или полнотория или многообразия узла, и гомоморфизмы групп ха(Х,') в та(Х1), индуцированные отображением у, инъективны, так как гомоморфизмы групп х1(Х,') в ха (Е(й)) инъективны (теорема ван Кампена). Если узел й = й1В1 ай ъа составлен из неразложимых уев, то, используя индукцию по па, можно предполагать, что многообразие Е(й) делится на многообразия Е(й1 ),..., Е(й +1) существенными попарно непересекающимися кольцами А1,..., А, а также что гомеотопия у" трансверсальна к объединению А колец А, и что у 1(А) состоит из существенных колец А'„..., А'„, края которых суть меридианы и которые делят Е(й') на многообразна Е;', 1 < у < п+1.
Многообразие Е' при у' ф 1, и+1 ограничено кольцами А',, А' и двумя кольцами В,', ~с из ЬЕ(й'); многообразие Е,' (соотв. Е„'+1) ограничено кольцом А', (соотв. А'„) и кольцом В1 (соотв. Вн~ы) из 6Е(й'). О КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УЗЛОВ 85 Отображение у переводит Е, 'в многообразие Е(йь) и кь(1)Е') иньективно. Кольца у(В' и ДС' не могут быть существенными, так как в противном случае Е(6) содержало бы вложенное существенное кольцо, край которого состоял бы из меридианов (теорема о кольце), что противоречит неразложимости узла й; (предложение 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
