Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Заметим, что из эллиптического характера уравнения автодуальности по модулю калибровки следует, что зто уравнение не всегда имеет локальное решение при произвольных начальных условиях. Это, конечно, связано с тем фактом,что 1з-градиент не является настоящим векторным полем. 1.5. Индекс критической точки [РЗ, АРЯ И1).
Если многообразие М наделено римановой метрикой, то гессиан Н, функционала Чженя-Саймонса в критической точке [а) Е гс'(М) можно отождествить с оператором Н, = од,[1сегсс;. Этот оператор является оператором Фредгольма индекса нуль, если его рассматривать как оператор из 1.зс в Ц. Рассмотрим его как неограниченный оператор на 1 эо; тогда он является самосопряженным оператором с дискретным спектром и неограниченным в обоих смыслах. Зто мешает определить индекс критической точки как число собственных значений гессиана, меньших нуля, но если [а(1)] есть путь между двумя критическими точками, то можно определить спекп«ральимб по«пок Вг'(Н,1«>) как алгебраическое число собственньпс значений, меняющих-значение с отрицательного на неотрицательное (с < О на > О).
Спектральный поток зависит лишь от класса гомотопического пути и не зависит от выбора метрики. На самом деле мы будем иметь дело с плоскими приводимыми связностямн, в окрестности которых В(М) не является многообразием. В этом случае заменим Н, «эквивариантным гессианом« П е Епб(й~ ®й~), (п,е) «-«(с1'е,с( и+ «А е). Простые вычисления показывают, что если связность а плоская, то имеет место Равенство )сегйо = )сег(с(о)йо) Е'кегН(л).
Таким обРаэом, ойределен спектральный поток ЯР(а, 6) Е Е для произвольных плоских связностей а, 6, причем он зависит только от классов связностей а и 6 в Л(М). ГОМОЛОГИИ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С ФУНКЦИОНАЛОМ 101 Однако на пространстве представлений В(М) спектральный поток ЯЕ(а, б) определен только по модулю 8. Более точно, Предложение [АРЗ П1]. Если а — нлоскал связность и д Е й(М) — элемент калибровочной грдппьг, тао ЯР(да, а) = 8с1е8(д), Доказательство основано на отождествлении ЯР(да, а) с индексом оператора автодувльности на ЯН(2)-расслоении Р в Ят х М, которое определено с помощью д.
Напомним, что этот индекс на замкнутом многообразии вычисляется по формуле 8сэ(Р) — 3(1 — бт(Нт) + б;(Н~)) [Р(), ОК]. Теперь можно определить индекс плоской связности (точнее, калибровочного класса связности), используя тривиальную связность д: Определение. Если а — некоторая плоская связность, то положим шс1([а]) = ЯР(а, д) . Если а Е В(М), то шд(а) Е Е, а если а Е В(М), то шс)(а) Е Е/8Е. Уточним действие изменения ориентации на многообразии М.
Так как имеет место равенство СЯ(-М, а) = — СЯ(М, а), то ЯР( — М, а, б) = ЯР(М, б, а) — дпп 1сег(В,) + 61ш йет(Р,), откуда 1пс((-М, а) = — 1пд(М, а) — с(1ш1сег(ст,) + 81ш1сет(0в) . Обозначения. Если а, б Е В(М), то обозначим через Н(а,б) С Е(К х М) подпрострвнство, соответствующее путям, идущим из а в б, в пространстве Б(М). Компоненты связности Б(а, б,с) этого подпространства параметризуются целыми числами с, которые являются вычетами по модулю 8 разности индексов 1пс)(а) — шд(б) (значений спектрального потока). 1.6. Определение.
Критическая точка [а] Е В(М) называется не- вырожденной, если )сегН(,1 = О. (Это понятие является естественным для эквивариантньтх связностей.) Это свойство записывается формулой )сег(д,) Г1)сег(с(;) = О либо формулой Нт(11',с(,) = О в соответствии с теорией Ходжа.
Но Н'(Й', д~) = Н('1(М, ви(2)) = Н('1(ят(М), ви(2)), где последние когомологии являются когомологиями с локальными коэффициентами, отвечающими классу сопряженности гомоморфиэма [а]: лтМ -+ ЯН(2) . Пространство Н' (кс М, ви(2)) является касательным пространством по Зарисскому к В(М) в точке [а]. Следовательно, если критическая точка [а] невырожденна, то она является изолированной в пространстве В(М) . Так как В(М) компактно, то оно конечно, если все Жлн-Клод Силоолл 1О2 его точки невырожденные.
Заметим, что если связность а является плоской, то йег(Р,) = О тогда и только тогда, когда зта связность неприводима н невырожденна. '1)зивиальная связность является невырожденной в том и только том случае, когда Н'(М; ви(2)) = О, например, когда многообразие М является рациональной гомологической сферой. Тогда д1т йег(Рв) = йцп лег(дв) = 3, а потому для невырожденной критической точки а получим 1пд( — М,а) = 3 — 1пй(М,а) — 81щ0,.
Если, кроме того, многообразие М является целочисленной гомо- логической сферой, то единственным приводимым гомоморфизмом к1М -ь ВС(2) будет тривиальный гомоморфизм: на самом деле его значения лежат в У С ВУ(2) и Нот(к1М,У) = Н'(М, У) = О. 2. ВОЗМУШЕНИЯ [Тз4] 2.1. Пространство возмущений. Зафиксируем на диске Рз неотрицательную 2-форму юо с компактным носителем и с интегралом по диску, равным единице. Для вложения у: У х Р -ь М определим функционал т-,: В(М) -+ Н.
формулой тт(а) = ьг(пл(г))мо, зол где й,(х) — голономия связности а вдоль петли у(У х (х)). Его возмущение задается формулой я =,[,. щт,, где с; е 1с. Этим определено пространство П, параметризованное множеством пар (Г, о), где à — набор ( у1,..., ук) н о ч 1с~. имеет место следующее утверждение: Предложение. (1) Возмущенный функционал имеет те же свой- става,. ппо и функционал аджена-Саймонса (возмущение лкомпактнол). В частности, множество критических точек остов|пел компактным и каждал критическая точка имеет индекс в Е/8Е. (2) Если многообразие М,является целочисленной гомологической сферой, то существует такой набор петель 'у1,..., ук, что почти длл всех о й Гьн критические точки функционала СВг „невырожд Доказательство.
(1) Это так, поскольку функционал тч (а следовательно, и к) имеет Б~-градиент, который является векторным полем на В(М) . Оно задается выражением ту т~(а) = Ьл, (ель>о(х)) на образе у(У х Рг) и равно нулю вне него. ГОМОЛОГИИ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С ФУНКЦИОНАЛОМ 103 (2) Из предположений относительно М следует невырожденность точки [9] Е В(М) и равенство В'(М) = В(М) ) ([9]). Кроме того, эллиптическая регулярность дает компактность множества Л = ((а, [и]) Е ТБ'(М) [ [а] Е В'(М), Н, . и = О, ]]и[]в, = 1) (которое может оказаться пустым).
Так как элемент из В(М) определяется следом голономии на всех петлях Бг -+ М с заданным касательным вектором в начале, то компактность множества К влечет за собой существование таких )г,..., -у«, что если положить т = (три)): В(М) -) К~, то дифференциал «]т: ТК -» К~ инъективен на всех слоях расслоения К.
Отсюда следует, что отображение (и, [а]) -+ '7(СЯ+ (и, т))([а]) из К~ х В' в ТВ' трансверсвльно к нулевому сечению, причем его гессиан относительно второй переменной определяет оператор Фредгольма индекса ]У. «Классическая» теорема Сарда позволяет завершить доказательство (не обращаясь к теореме Сарда-Смейла).
2.2. Интерпретации инвариаита Кассона в калибровочной теории. Напомним определение инваризнта Кассона )«(М) для целочисленных гомологических сфер размерности 3 (см. [АМ, МА]): если М = Мг 0т. Мг — разбиение Хегора многообразия М, то он равен половине индекса пересечения В'(М») . В" (Мг), где В'(М,) С В'(Е) являются пространствами нетривиальных представлений фундаментальных групп кг(М») в ВУ(2) (по модулю сопряжений).
Заметим, что В'(М ) Г) В'(М ) = В'(М) . Для возмущения общего положения к Е П в смысле и. 2.1 множество В," = сгЦ(СЯ+ к [Б'(М)) является конечным. При этом каждой точке сопоставляется такой индекс ш«] ([а]) Е Е/8Е, что число ( — 1)мв" <]']) корректно определено. Теорема [Та4]. Характеристика Эйлера ( ) ~ ( 1)!пв„(]»]) ]«]сну нв зависип» в»п выбора к и равна 21(М) .
В случае когда [а] Е В" (М) — невыражденная критическая п»очка, (В (Мг) ° В (Мг))]я] ( 1)мща]) 2 3. Градиент функционала СЯ« дает отображение Б «А(КхМ) -» г,— »««в (К х М), которое является эквивариантным возмущением отображения г взятия внтиавтодувльной составляющей кривизны. Для 104 Жьн-Клод Сокороо точек а, 6 из Нв обозначим через М,(а,6) С Е(а,Ь) пространство модулей решений, которые задают пути, соединяющие а и 6. Оно разлагается на подпространства М,(а, 6; т), отвечающие т = (1пд(а) — пн1(Ь)) гной 8. 3. ИНСТАНТОННЫЕ ГОМОЛОГИИ Пусть М вЂ” целочисленная трехмерная гомологическая сфера, наделенная римановой метрикой о.
Объекты, введенные в равд. 2, позволяют ввести гомологии, ассоциированные с функционалом Чженя-Саймонса. Для этого рассмотрим пространства М(а, Ь; т) = М„„(а,6; т) и пространства М(а,Ь; т) = М(а,Ь; т)/К, где а, Ь й Н" и 4 = (шй(а) — гпг((Ь)) гпой 8. Если а = Ь, то предположим, что т те О. '1еорема 1. Возмущение обтцего положения я и П обладаетп следующими свойствами: (а) Нространставо М(а, 6; т) является гладким ориентируемым многообразием размерности т; следоватпельно, простпранстпво М(а, 6; т) являетпся ориентируемым многообразием размерности т — 1.
(Ь) Если гпй(а) — шй(6) гй 1шоо8, тпо ориентируемое многообразие размерностпи нуль М(а, 6; т) является компактпным, а следовагаельно, можно определить его аягебраическое число точек т(а,6) й Е. (с) Если шй(а) — шгЪ(6) = 2 спой 8, то одномерное ориентируемое многообразие М(а, 6; т) имеет согласованно ориентпированную компактпификацию с краем дЯ(а, 6; 2) = ( ~ М(а, с; 1) х 34(с, 6; 1), с где с пробегает тпочки индекса шй(а) — 1. Если алгебраическая граница равна нулю, тпо 2„,т(а,с)т(с,Ь) = О. Следоватпельно, если определить группу сцепейт С;, т й Е/82, как свободную абелеву группу„порожденную критическими точками а й Нс индекса т, а диффеРенциал д: С, -+ С; г — фоРмУлой да = 2 ьт(а,Ь)6, тао д о д = О.
Значит, (С,, д) являептся комплексом, и его гомологии обозначаютпсл через Н(о, я) . (д) Если (о, тг) и (о', тг') — два допусптмыя выбора римановой метрики и возмущения, то гомологии Н(о, тг) и Н(о', я') канонически изоморфны. Эта теорема придает смысл следующему определению: гомологии, лссоциировднныя с аенкционялом 105 Определение.
Е/8Е-градуированная абелева группа Н(о, н) называется группой ипстаитоииых гомологиб трехмерноб иелочисяеииоб гомологическоб сУ1еры М и обозначается через 1,(М). Из работы [Та4] (см. п. 2.2) непосредственно выводится следующий -результат: Свойство. Эялерова характеристика ~, о( — 1)'гя1;(М) равна удвоенному иивариаиту Кассона Л(М) Поведение индекса при смене ориентации обеспечивает следующее свойство: Свойство. Группа 1,( — М) двойственна группе 1г,(М), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
