Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Итак, кольца ~~В' и ЯС' параллельны краю многообразия Е(й<). Имеются два случая: (а) Параллель многообразия Е, 'гомотопна нулю, многообразие Е,' есть полноторие и ЯЕ' гомотопно в ЕЯ;) отображению, образ которого есть меридиан. Тогда можно удалить по крайней мере одно иэ колен А', А'+,. (Ъ) Отображение у деформируется в такое отображение, что ~~6Е' есть накрытие края 6Е(й;), сохраняющее меридианы. По теореме Ввльдхауэена ДЕ' гомотопно относительно края накрытию многообразия Е(6;) . Для многообразий Е', и Е„'+, рассуждения аналогичны.
Вместе эти накрытия образуют гомеотопию. После устранения лишних колец иэ п. (а) имеем т = и, все накрытия суть гомеоморфизмы, а многообразия Е(6) и Е(6') гомеоморфны. 4. МИНИМАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ПЛАНАРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ Перейдем к доказательству теоремы Гордона — Люке. Пусть 1с — нетривиальный узел, как в рвзд. 1, и пусть П вЂ” трубчатая окрестность узла й, Т вЂ” ее край и Е = Еэ — 1пь(У).
Пусть н — гомотопический класс (неориентированной) окружности, вложенной в Т. Обозначим через К(я) многообразие, полученное прикленванием к Е вдоль Т полнотория 6' так; что окружность к ограничивает диск на 6е (хирургия Дэна). Если Т есть класс меридиана узла 6, то многообразие К(Т) гомеоморфно сфере оэ. Пусть я — другой класс и и = (л. Т~ — арифметическое число пересечения классов к и Т. Докажем, что многообразие К(э) не гомеоморфно оь, если и ф О.
Доказательство проводится методом от противного; в нем используются сферические поверхности, трансверсальные к узлу. Предложение 4. Пусть К(к) гомеоморфно оэ. Тогда суиьествуит планарные поверхности Р и ье (г4еры с дырками), собственно вложенные в Е, такие, что: (а) 6Р (соотв, 6Я) есть объединение окружностей иэ класса к (соотв. Т); (Ь) Р и Я' пересекаются трансверсально и каждая компонента края 6Р пересекается с каждой компонентой края 6Я в и тачках; 88 Андре Гоьньн (с) пересечение РЩ не содержит дуги, параллельной,6Р или 69.
Это утверждение бьыо независимо доказано Дэвидом Габаи и улучшало предшествующий результат работы (Са, 4.А]. Отождествим сферу Яэ с двумя удаленными точками хоо с многообразием Яэ х В и обозначим через Ь: Яг — (хоо) ~ К естественную проекцию на второй сомножитель. Предположим, что узел Ь не проходит через точки жоо и что ограничение Ь]Ь есть функция Морса (т.е. ее критические точки невырожденны, их конечное число и они имеют различные критические значения).
Это задает представление узла Ь. Пусть Я1,..., Я вЂ” сферы уровня, расположенные между каждой парой последовательных критяческих значений; сложность указанного представления есть сумма Я,асс Сагб(Я, П й). Минимальное нредстаоление — это представление минимальной сложности. Поверхность Я 'из предложения 4 есть пересечение с Е соответствующей поверхности уровня для минимального представления Ь узла й, который пересекает К, по меридианным дискам. Поверхность Р получается аналогичным способом с помощью минимального представления Ь узла Й,, являющегося сердцевиной полнотория 1'„в пространстве К(я) ~ яэ.
Тогда условие (а) выполняется; условие (Ь) достигается в результате деформации представления Ь, которая неподвижна в окрестности узла Ь, . Остается получить условие (с). Рис. 11 Введем два термина. Предположим, что Р П (~ содержит дугу а, которая вместе с дугой )1 иэ края 6Р ограничивает на Р диск Ь, который не содержит никакой дуги из РПЯ, отличной от сь (но который может содержать круговые компоненты из Р П Я). Говорят, что диск сь является высоким или низким по отношению к Я в зависимости от того, как проходит дуга р' — ниже или выше сд (относительно функции высоты Ь). Можно дать аналогичное определение для Р. Обозначим через 1 интервал (О, 1]. Если задано вложение произведения О х У в Е, то мы отождествим Я х 1 с его образом, обозначим через Я(Л) образ Я х (Л) и будем говорить о вложенном семействе.
О КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УЗЛОВ 87 Вложенное семейство (~ х 1 поверхностей уровня функции Ь есть медиаммый срез, если ЬЯ х 1) с ]а, 6[, где а и 6 — два последовательных критических значения функции Ь]Ь, таких, что а — локальный минимум и 6 — локальный максимум. Лемма 2. Сущестпоуютп доа семейстпоа Р х 1 и Я х 1 пленарных поеерхностей, собственно вложенные о Е, такие, чтпо: (а) Я х 1 естпь медианный срез о минимальном представ тении узла Ь; (6) Р х 1 изотпопно медианному срезу о минимальном предстаолении узла й ; (с) любая компонента края ЬР(Л) трансоерсально пересекается с любой компонентной края Ььт(р) е и точках; (д) сущестоуетп Ло Е ]О, 1[, такое, чтпо Р(Ло) содержитп оысокий диск по отпмошению к Я(1) и низкий диск по отпмошению к ьЕ(0); (е) существует ро Е ]0,1[, такое, что т (ро) содержитп высокий диск по отпношению к Р(1) и низкий диск по отпношению к Р(0); (1) функция Ь]Р х 1 яеяяется функцией Серфа.
Мы уже видели, как получить условие (с). Выберем Ло Е ]О, 1[ и сделаем Р(Ло) трансверсзльным к фО) и 9(1) при помощи малой изотопии вложения произведения Р х 1, которое не изменяется в окрестности произведения ЬР х 1. Тогда положение Я х 1 в медианном срезе позволяет получить условие (д). Те же рассуждения можно применить к ц(ро), но в этом случае продолжим на Е изотопию произведения Я х 1 и, обращая ее, получим изотопию произведения Р х 1, которая дает тот же результат, не трогая Д х 1. Условие (1) означает следующее: (т) функции Ь]Р(Л) не имеют критических точек в окрестности края ЬР(Л); (т1) фуню1ия Ь]Р(Л) является функцией Морса для всех за исключением конечного числа значений Л; (й1) разрешенные особенности — это столкновение двух критических значений и особенности рождения или смерти.
Это условие реализуется посредством малой изотопии произведения Р х 1 в силу плотности функций Серфа. Конечно, я опустил здесь некоторые детали, в частности, не указал, что нужно убедиться в том, что Р имеет подходящий вид в окрестности края ЬР. Предположим, что функция Ь выбрана так, что поверхности Я(р) есть поверхности уровня Ь '(р). График Г функции Ь]Р х 1 есть множество точек (Л, р) из 1 х 1, таких, что р является значением функции Ь в особой точке функции Ь]Р!Л) (см.
рис. 12). Для пары (Л, р) Е 1з — Г поверхности Р(Л) и О(Л) трансверсальны. Предложение 4 будет доказано, если установить существование точки (Л, р) из Андре Гренэн 1з — Г, такой, что Р(Л) не содержит ни высокого, ни низкого диска по отношению к Я()е) и наоборот. Е(1) Р(о) С>(а) Рис. 12 Заметим, что если Р(Л) содержит высокий диск по отношению к Ц()е), то ни для какого Л' поверхность Р(Л') не содержит низкого диска по отношению к Я()е) . Доказательство этого замечания использует тот факт, что узел Й нетривиален и что )е — его минимальное представление. Итак, можно определить функцию д(Л„и) на 1' — Г, принимающую в качестве значений одну из трех букв Н, Ь, Х в зависимости от того, содержит Р(Л) высокий диск по отношению к ц'()е), низкий диск или не содержит ни высокого, ни низкого.
Определим симметричным образом функцию р(Л, р) . Эти функции локально постоянны. Свойства (е)) и (е) из леммы 2 налагают условия на р и е на границе квадрата 1з. Доказывается также, что пересечение дуги графика Г может вызвать лишь некоторые изменения значений р и д. Снова рассуждая от противного, авторы доказывают, что если не существует точки (Л, р), такой, что р(Л, )е) = д(Л, р) = М, то в графике Г существует пересечение, как на рис.
13, а затем показывают, что этот случай невозможен. Рис. 13 О КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УЗЛОВ 89 5. ПОМЕЧЕННЫЕ ГРАФЫ Теперь мы можем описать принцип доказательства Гордона — Люке. На паре поверхностей Р и Я из предложения 4 введем два помеченных графа Ср и СО, удовлетворяющие правилу четностпи (см. ниже). Приведем некоторое комбинаторное рассуждение об этой паре графов. В случае и > 2, изученном в [ССЬВ], можно заключить, что один из графов содержит грань некоторого типа (цикл Шарлемана). В случае и = 1, исследованном в [СЦ, показывается, что граф СО содержит цикл Шарлемана или что граф Ср обладает свойством (Т), более слабым, чем предыдущее свойство.
Тогда, вновь обращаясь к топологической ситуации, можйо доказать, что если граф Ср (соотв. СО) содержит цикл Шарлемана, то многообразие К( у) (соотв. К(х)) содержит просверленное линзовое пространство. Более тонкое рассуждение показывает, что из одного лишь свойства (Т) для графа Ср следует то же заключение относительно К(Т) . Фундаментальная группа линзового пространства, просверленного или нет, есть ненулевая циклическая группа и, следовательно, не может быть вложена в группу хт (Я ), откуда получаем последнее противоречие. В этом разделе мы определим графы Ср и СО, а в следующем дадим определение цикла Шарлемана и покажем, как ему соответствует линзовое пространство с дырами. За полным доказательством мы отсылаем к исходным работам [ССЬЯ] и [СЬ].
Предположим для простоты, что и = 1, т.е. что каждая компонента края ЬР пересекается с каждой компонентой края Ьтт лишь по единственной точке. Введем произвольные ориентации на поверхностях Р и ц и занумеруем от 1 до р, последовательно на торе Т, компоненты края ЬР и от 1 до д компоненты края 6(т. Множество вершин графа СО это множество компонент края Ьч. Вершины суть не точки, а диски.
Для т' е [1,о] вершина о из СО представлена диском, край которого есть компонента ЬЯ, . Ребра — это дуги из Р О Я. Иниидентпныни точками ДУг, исхоДЯЩих из 9тч ЯвлЯютсЯ Р точек И~ т1 ЬРт, индекс т есть метина инцидентной точки. Инцидентные точки записываются последовательно в порядке возрастания или убывания меток; в зависимости от этого припишем вершине 91 знак + или —. Граф Ср определяется аналогичным образом. Знаки вершин не являются независимыми. Обозначим через (т', т) инцидентную точку ЬЯ, ПЬРт с меткой т в вершине д графа Со; назовем харантпеРом сЬах(т, т) этой точки (в18пд;)(втбпрт) . Проверяется, что в случае ориентированного многообразия Е, если ребро соединяет две инцидентные точки (графа Ср или графа СО), то характеры эт., двух точек противоположны (правило четпностпи).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
