Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 18
Текст из файла (страница 18)
90 Андре Грэнэн Граф Со располагается на поверхности Я за исключением дисков цт, которые можно рассматривать как меридианные диски полнотория К, . Грань графа Со — это компонента дополнения в Я к ребрам графа С<э. Заметим, что мы полностью забываем о возможных круговых компонентах из Р г1 Я. По предложению 4[с) графы Ср и Со не имеют граней, ограниченных единственной дугой. Такие помеченные графы с етолстымиэ вершинами использовались и изучались в работах Шарлемана [БеЬа], Габаи [Са], а также в [ССАДИ]. б.
ЦИКЛЫ ШАРЛЕМАНА Цикл Шарлемана Е в С,9 — это реберный цикл, такой, что (1) если представить, что вершины графа С э точечные, то Е гомеоморфен окружности, которая ограничивает диск Ь в Я, такой, что Со птпс(Ь) = О, [2) если ориентировать цикл Е, то концы всех его ребер имеют одинаковую метку, [3) все вершины графа С<», принадлежащие циклу Е, имеют одинаковый знак.
Рис. 14 Из этого определения следует, что начала всех ребер цикла Е имеют одинаковую метку х, а концы — одинаковую близкую метку х'. В конце предыдущего раздела было отмечено, что графы Ср и С<~ не могут содержать цикла, ограниченного единственным ребром. Лемма'3. Пусть С~ содержит иикл Шарлемана, ограниченный к ребрами. Тогда многообразие К[к) содерзсит подпростпранство, гомеоморфное просверленному линзовому простпранству с двумя отверстиями, фундаментальной группой котпорого лвллетпсл Е/ЙЕ» О КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УЗЛОВ 91 рФ Рис. 15 Пусть Е, как и вьппе, есть цикл Шарлемана в графе СО.
Метки х и х' суть компоненты края 6Р, смежные в Т и имеющие противоположные знаки, поскольку все вершины цикла Е имеют одинаковый знак. Эти компоненты ограничивают непересекающиеся меридианные диски Р н Ю' в Ъ'„. Пусть С вЂ” цилиндр, вырезанный в )г, дисками 11 и 11', край которого не содержит никаких компонент из 6Р, кроме х и х'. Обозначим через Р сферу, содержащуюся в К(я) и полученную из Р заклеиванием всех дырок меридианными дисками из $я. Пусть, наконец, В есть объединение сферы Р, слегка утолщенной, и ручки С, приклеенной к Р по дискам Ю и Хг.
Пространство В гомеоморфно полноторию с просверленной дыркой. Диск гЛ поверхности Я, ограниченный циклом Е, приклеен к В вдоль окружности, пробегающий Л раз ручку С; ее класс есть образующая группы яг(В), умноженная на й. Следовательно, пространство, являющееся объединением В и слегка утолщенного диска Ь, гомеоморфно линзовому пространству ь(Л, Л) с двумя дырками. Проще говоря, его фундаментальная группа изоморфна 2/ЛЕ (теорема ван Капиева), а его край есть объединение двух непересекающихся сфер, и этого достаточно для того, чтобы это пространство не могло быть подпространством сферы оз .
Приведем теперь свойство (Т), которое входит в доказательство случая п = 1 (ср. равд. 6). Элемент из (+, -)' называется 9-гпипом. Пусть Š— грань графа СР, гомеоморфнзя диску. Этот диск касается вершины в графа, следуя вдоль интервала, соединяющего инцидентные точки с последовательными метками. Для Л е (1, д) обозначим через Яь(Е) множество вершин грани Е с метками Л и 6+1 (при соглашении, что 9+ 1 = 1). Граф Ср удовлетворяет условию (Т), если для любого 9-типа т существует грань Е графа Ср, гомеоморфная диску и такая, что: 92 Андре Гранэн (1) для сюбого Й Е [1, 9] чвршинь««з множества 5ь(Е) имеют одинаковый знак н(к): (2) функция г н ограничение функпии г нз множестве Е(Е) целых чисел Й,таких, что 5ь(Е) ф «о, равны или противоположны.
Тут же заметим,что цикл Шарлемана представляет любой д-тип. ДОПОЛНЕНИЕ Следующие теоремы являются общеупотребительным инструментом в топологии трехмерных многообразий и были использованы в данном изложении. Теорема (Дж. Александер). Сфера, гладко вложенная в 5з, разбивает 5э на два многообразия, гвмеоморфпые замкнутым тарам. Твр, гладко вложенный в 5з, разбивает 5э на два многообразия, одно иэ ко«порых гомеоморфнв пвяиоторию.
([А, М, БсЬи]; впрочем, вместо «гомеоморфное«здесь можно читать «диффеоморфное«.) Теорема (К. Папакирьякопулос). Пусть Ъ' — трехмерное многообразие с краем ЬУ. (а) Если гвмоморфиэм л,(ЬЪ') -+ к«(У) ие иньективеи, «пв существует окружность, вложенная в край И', гомотвпический класс которой равен О в Ъ' и отличен в«п О в 6У (теорема о петле).
(Ь) Пусть С есть окружность, вложенная в 6Ъ' и гомотопная О в Ъ'. Тогда существует диск Р, вложенный в У, п«акой, что С = РО6У (лемма Дена). (с) Если кэ(У) ф О, тв существуеп«сфера, вложенная в Ъ', которал не гомотопиа пулю (теорема о сфере). Определение. Многообразие У размерности 3 с краем И' называется многообразием Хакепа, если оно компактно, связно, ориентируемо, неприводимо (вложеннгя в У сфера ограничивает шар), достаточно большое (оно содержит ориентируемую собственно вложенную поверхность 5, такую, что кэ(5) -+ кэ(У) является инъективным). Край ЬУ называется несжимаемым, если для каждой компоненты ЬУ«края 6У гомоморфнзм к«(ЬУ«) -«к«(У) инъективен.
Теорема (Ф. Ваяьдхаузен). Пусть У и У' — два многообразия Хакена с несжимаемыми краями. Пусть 1: (Ъ', ЬУ) -+ (Ъ", И'') — непрерывное отображение, такое, чпю гомвморфиэм яэ(~) ииьективеи. Тогда или в«пображение ~ гвмотвпно (в классе отображений пары (У,ЬЪ') на пару (Ъ",ЬУ')) иакрь««пию, ияи Ъ' диффеомврфно произведению 5 х [О, Ц и ~ гомотопио отображению, образ которого содержится в крае И". Если к«(Г) есть чэвмзрфиэм, то у гомо«пончо гомеоморфиэму. ([ЪУа 68, 1Ь.
6.1], см. также [да, Х; Н, Х1П; Ь].) О КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УЗЛОВ 93 Аналогичные свойства для поверхностей известны, начиная с работ Нильсена. Они молчаливо использовались а этом изложении. ЛИТЕРАТУРА [А] А!ехапйег Л. '1Ч., Оа СЬе впЬййч!вюп о! а 3-зрасе Ьу а ро!уЬейгоп, Ргос. !час. Асай. Бс!. \ЛБА 10 (1924), 8 — 10. [ВЕ 66] Впгйе С., Е!евсЬапб Н., Е1пе Кеппге!сЬпппб йет ТогпвЬпосеп, МасЬ. Апп. 167 (1966), 169-176. [ВЕ 85] Впгйе С., Е!евсЬапб Н., Кзота, 1ЧзЛСег йе Сгпусег, Вег1!п — Хен УогЬ, 1985.
[СР] Саппоп Л. 1Ч., Репзсе! С. (З., Еввепс!а1 ешЬейй!пбз о! аппп1! апй МоЬспв Ьапйв ш 3-шап!!о!йв, Ттапв. Атпег. МаСЬ. Бос. 215 (1976), 219-239. [ССЬБ] Сп1!ег М., Согйоп С. МсА., ЬпесЬе Л., БЬзЛеп Р. В., ЛуеЬп впгбегу о! Ьпосв, Апп, о! МасЬ. 125 (1987), 237 — 300.
[Р) Репвсе! С. В., Оп сЬе Сотов СЬеогегп впй Нв арр1!саНопв, Тгапв. Аптег. МаСЬ. Бос. 21Т (1976), 1-43. [РЧч] Репзсе! С. ЛЗ., %1иссеп Ж., Сгопрв апй согпр1епгепсв о! Ьпосв, Сап. Л. МаСЬ. 30 (1978), 1284-1295. [Са) СаЬш' Вч Ро!сасюав апй сЬе горо!обу о! 3-шап!Го!йз, Ш, Л. О!суетепт!а! Сеосп. 18 (1987), 479-536. [СЦ Согйоп С. МсА., 1 пес1се Л., Кпосз аге йесеппшей Ьу сЬе!г,сошр!ешептв, Л. Ашет. МаСЬ.
Бос. 2 (1989), 371-415. [Сг] Сгашшп А., Варрогс впг 1а СЬеопе с1аввь2пе йез поепйв (1еге рагНе), Беш. ВопгЬаЫ, ехрозе п'485, 1975-76, 1.есС. 1чотев !и МаСЬ., чо!. 567, Бртшбег-Чег!аб, 1977, 222 — 237. [Н] Негпре! Л., 3-шап!!о!йз, Апп. о( МаСЬ. БСпй!ев 86 (1976), Ргшсетоп 11п!ч, Ргеж [Ла] Ласо %., Ьестпгев оп ТЬгее-Мап!!о!йв ТЬеогу, Неб. СопЬ !и МаСЬ. 43, Атпет. МаСЬ. Бос. (1980). [Ло] ЛоЬаппэтп К., Нопюсору егтп! Айепсе о( 3-шапНоЫв и!сЬ Ьоппйат!ев, 1.есС.
Ыогев Ы МаСЬ., чо1. 761, Брппбет-Чег!аб, 1979. [Ц ЬаппйепЬасЬ Р., Торо!оайе йе 1а О!шепа!оп 3, Авгзт!вгтпе и'12, Б.М.Р., Рвг!в (1974). [М] Мо!зе Е. Е., Сеогпевйс Торо!обу !и 1З!шепз!опв 2 зпй 3, СгайпаСе Тех!в !п МаСЬ. 4Т, Брппбег-Чег1аб, 1977. [сч] 1чоба ЛЗ., ЛЛЬег йеп Апзвептапш чоп РгойпЬСпосеп ппй й!е ВейепСппб йег Р!хбгпрреп, МаСЬ. Е.
101 (1967), 131 — 141. [Р] РараЬут!аЬороп!оз С., Оп !ЛеЬп'в 1егпша апй сЬе азрЬепсу о! Ьпосв, Апп. ог МаСЬ. 66 (1957), 1-26. [БсЬа] БсЬаг!ешапп М., БшооСЬ врЬегев !п Н~ айСЬ Гонг спС!са! роштв аге зсапйагй, 1пчепС. МасЬ. ТО, (1985), 125 — 141. [БсЬп] БсЬпЬегС Н., Кпосеп пш! Чо!1ппбе, Асса Мас. 90 (1953), 131 — 286. [Бс] БсоСС Р., А петч ргоо! о! сЬе аппп!пв апй сотов СЬеогеш, Ашет.
Л. МаСЬ. 102 (1980), 241-277. ГОМОЛОГИИ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С ФУНКЦИОНАЛОМ (по А. Флеру)0 Жан-Клод Сикорав Введение Сущность теории Морса на многообразиях конечной размерности сводится к следующему: 1) Любой функции ~: М -г К можно придать такое небольшое возмущение, чтобы все критические точки стали невырождеиными. Если многообразие М компактно, то число критических точек функции конечно. В этом случае можно построить комплекс, гомологии которого являются гомологиями многообразия М,причем 2) группа цепей С; свободно порождается над Е критическими точками индекса в; 3) граничный оператор д: С; -г С; г определяется равенством да 2 йг(а,Ь)6, где а †.
критическая точка индекса г', 6 пробегает все критические точки индекса в — 1 и йг(а, 6) — подсчитанное с учетом знаков число идущих иэ а в 6 градиентных линий, заданных некоторой метрикой общего положения. Существование этого комплекса установлено Р. Томом в 1949 г. [Т)г], а описание его граничного оператора дано С. Смейлом в 1960 г. [Я]. В 1981 г. Э. Виттен [гг'11], основываясь на физических соображениях, представил новое понимание этого комплекса. Он отвел главную роль пространству М(а, 6) градиентных линий, идущих иэ а в 6.
В ситуациях общего положения это многообразие размерности 1пб (а) — 1пг( (Ь), что легко показать классически, описывая его как пересечение устойчивого многообразия Нг'(а) точки а и неустойчивого многообразия Иг" (6) точки 6. Но Виттен рассматривает это многообразие как подмножество пространства В(а, 6) путей ч: В. ~ М, соединяющих а и 6, которое состоит из минимумов функционапа энергии ЕЯ = /'+ []у(1)[в+ [171(у(1))]2]г(1. Такие пути также нвзыва1от инстантонами. С. П. Новиков [Н] дэл обобщение этой конструкции для функций со значениями в ог (нли, более общим образом, для замкнутых, но не г191вогаг Зева-С1апде, Нопго1о91е вввос1ее а ппе 1опсггопеце (0'аргвв А. р! ег).— Яепппмге Вопгоав1, 1990-91, о'733, Авсебвчпе, 201-202-203, 1991, р. 115-141.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
