Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 14
Текст из файла (страница 14)
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ 71 [! а1) Ьапб Б., РаадвшепФаЬ о! сЗорЬапС!пе Зеошетту, Брппбех-Чег1аб, Мечт Уогй-Не!де!Ьегб — Вег!!и, 1983. (Имеется переюд: Лент С. Осноаы днофантозой геометрии. — Мх Мнр, 198б.) [Ьа2) 1,апб Б., !псгодисс!оа Фо Атвйе1оч ФЬеогу, Ярт!пбш-Чег!аб, 5!еч Уог1с— Вег!!п-НеЫе!Ьегб, 1988. [М] Манш Уп. 1., т!еч сВптешдоы ш Зеошесгу, !п АгЬе!Фвгабипб Вова 1984, Ей. Ьу Р. Н!ггеЬгпсЬ, 2. БсЬнетшег апд Я. Багет, 1 ест. Хосев ш МасЬ., чо1.
1111, Яртшбет-ЧехЬх,. 59-101. [Р) Паршин А. Н. Модулярные соотзетсгзня, высоты н нзотеннн абелевых многообразий. — 1'!туды МИАН нм. Стеклова, 19ТЗ, т. 132, с. 211-23б. [РЬ] РЫ1Ироп Р., Япг дев Ьаисешз вдМхпаС!чез, ргергшс, 1989. [С1) !диЗ!еп В ч Оесегш!пап!в о! СаисЬу-ВЬшзлп орегаготз очег а В!еиапп вот!асс, Риис!. АввЕ Арр!. 14 (1985), 31-34. [ВЯ) Вау О. В., Бшбег 1. М., Апа1ус!с Фотноп !ог сошр!ех итапИоЬЬ, Апп. оЕ МасЬ.
98 (1973), 154-177. [Яе] Яепе ч.-Р., А!ЗЬЬге !оса1е, шп!с!Р1!сИ4в, СгоЬ!Ьше бд!С!оп, Ьессше Косее ш МаФИ., чо1. 11, Ярппбех-Чег!аб, Вот!!п, 1975. (Яс] Бсо11 %., АЬопс ФЬе ча1ие дЬспЬпсюп о! Ьо!ошогр1йс шаре шсо рго)есВче врвсе, АсСа МасЬ. 128 (1969), 83-114. (Яг] Ягрйо Ь., Ябшшахе виг 1ев ршсеапх апФЬшеС!фтев: 1а соп)ессше де Могде!1, Авсепи!ие 127 (1985). [Я1] Яои!6 С., ОрегаВоы еа К-ФЬеопе а!84Ьг!Яие, Сап. 3. МэсЬ. ЗТ (1985), 488-550. (Я2] Яои14 С., ТЬбот!е де Хечвп!!пиа ес ФЬбопе д'Агайе!оч, АзгбтЬЯие 183 (1990), 127-135. (ЯЗ] Боий С., Осошест!е д'Атвуте!оч ес ФЬбопе йев пошЬгев ФгапвсеидаиФв, ргерппс 1.Н.Е.Я., 1989.
[Ч) Чофа Р., Ап ехтеы!оп о! ФЬе ТЬие-Я!ебе1-1!увоз-Се!'!опд СЬеогеш, ргерппс, 1989. [ЪЧ1] Же!1 А., Яиг 1'апа!обое епФге !ев согрв де пошЬгев а!84Ьпопев ес 1ев согрв де Гопсс!оп а!84Ьг!яае, Вечие вс!епСФЗиие ТТ (1939), 104-10б. (= Оепчгев вс!епс!Зцаев, Брппбег-Чег1аб, Нен УогЬ-Не!де!Ьетб-Вег!ИЬ чо!. 1, 1980,[1939а], 23б-240.) [ЪЧ2] ЪЧе!! А., Спе 1ессге ес пп ехтгЫФ де !ейхе Ь Я!шопе 5Чей, [1940а) !и Оетчгев вс!епгсйоиев, Ярт!пбег-Чег!аб, Ыем УогЬ-Нейе!Ьещ-Вег!!п, чо1. 1, 1980, 244-255. [ФЧЗ] %е! А., ХишЬег ФЬеоту аай а18еЬгыс Зеошесту, Ргос.
1псегш МасЬ. Соабгеш, СыпЬгЫЗе, Мавв., чо1. П, 90-100 (= Оетчтев вс!епС!ЗЯиш, Бргшбег-Че 1аб, Хетт Уотй-Нейе!Ьещ — Вег1!п, чо1. 1, 1980, [1950Ь), 442- 452.) [ФЧ4] Же!! А., ЕЗ!рс!с 6шсс!оы ассогд!пЗ Фо ЕЬепвсе!п аид Кгопесйет, ЕгбеЬ- швее дет МасЬешас!Ь ппд !Ьтег СгепгбеЬ!еФе 88, Ярт!пбег-Чег!щ, Вег!!и-НеЫе!Ьетб-74ен УогЬ, 197б. [Имеетсл перевод: Вейза А. Эллиптические функции по Энзенштейну н Кронекеру. — М., 1978.] Я ЕЬаиб Я., Ашр!е НегшФВзл Зпе Ьиид)еэ оп аг!СЬшес!с вшХасев, Ргерппг, ОсФоЬег 1989 апд Мау 1990. Жан.Бенуа Босу Ае»йене»пгп (сентябрь 1991). За время, прошедшее с момента представления этой работы, появились следующие публикации: [г'3] РаИпЗз С., 1 есапгез оп СЬе эгКЬшебс К»епгапп-КосЬ ГЬеогет, вогез Ъу Б.
ЕЬапя, ргерппс, 1991. [6911] 6111еа Н., Боп1е С., Ап ап»ЬшеМс В»ешапп — ВосЬ аЬеогеш, ргергКп 1.Н.Е.Б. 1991. Статья [СБ11] содержит более точные и подробные варианты результатов из заметок [СБ9) и [СБ10]. В частности, в ней развита техника, необходимая для того, чтобы сформулировать и доказать аналог теоремы 4.2 в случае, когда Х регулярно только вдоль общего слоя Хс» . Для этого усилены результаты из [СБ5-7, ВСБ1-3, В1 2], которых хватало для доказательства теоремы 4.2 для регулярного Х. На самом деле так же, как и в [6Б10], Жилле и Суле рассматривают более общую ситуацию, в которой у: Х -е У вЂ” такой проективный морфизм арифметических многообразий, что уг». Х㻠— > У㻠— гладкий морфизм, и вычисляют с помощью арифметической теории пересечений класс сг(Л(Е)), связанный с детерминантом прямого образа относительно у' эрмитова векторного расслоения Е над Х.
В [ГЗ) Фзльтингс доказывает более полную относительную теорему, в которой вычисляется не только сг(л(Е)), но и высшие характеристические классы прямого образа расслоения Е относительно 7" (это некоторый элемент из Ко(У), определенный с помощью евысших аналитических кручений»; см. также [СБЗ) и [СБ7)). Он всегда работает только с регулярными Х н У. О КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УЗЛОВ 2-я часть'! Андре Грамзн Узел (неориентированный) — это гладкое (или кусочно-линейное) лодмногообразие сферы оэ, диффеоморфное окружности.
Говорят, что два узла й и й' имеют один.тпип, если существует гомеоморфнзм Ь сферы яг на у, такой, что тг(кг) = й. Если й и й' — узлы одного типа, то их дополнения ов -Iс и ов -/сг гомеоморфны. Обратное было доказано Гордоном и Люке [СЦ. Теорема 1. Деа узла, дополнения котпорыз гомеоморфны, имею!в один птип. Дело сводится к следующему: определяет ли задание дополнения У вЂ” й гомотопический класс меридиана узла й (предложение 1). Положительный ответ на этот вопрос был известен для различных классов узлов, в частности дяя составных узлов ([Х], см.
предложение 2) и для торических узлов (см. [Во 85, р. 274]), но, разумеется, никаких контрпримеров известно не было. В 1987 г. был получен частичный результат [СС1,8], согласно которому некоторое дополнение узла может быть получено, самое большее, из узлов двух типов. Группа узла й — зто фундаментальная группа кг(83 — й).
Фестел и Виттен доказали в 1978 г. [Р тУ], что иэ теоремы 1 вытекает следующий результат: Теорема 2. Два неразлозсимыз узла с изоморфными груптюми имеютп гомеоморфные дополнения. Эта теорема была установлена Виттеном [%Ь 87] раньше, чем была доказана теорема 1, при помощи лишь частичных результатов из [СС18]. Для составного узла задание группы не определяет типа самого узла, однако определяет типы его неразложимых составапощих, которые при рассмотрении других ориентаций могут составить узел с изоморфной группой.
В, статье [СЦ Гордон и Люке излагают на 40 страницах полное доказательство теоремы 1, которое приятно читать. Мы даем его краткий обзор во второй части данной статьи. Для начала займемся вопро- '!Сгвгаыв Ааагб. Варрагт ввг 1в Свеопв с!вввн!ев дев еовеав (2ьюв рвгс!в).— Баю!еыгв Вовгьв!г1, 1990-91, пв732, Авгспвавв 201-202-203, 1991, р. 39-113, Андре Грьиьм сом о восстановлении многообразия узла по его группе.
Мы собрали в дополнении некоторые из используемых теорем; укажем на синюю книгу Г. Бурде и Х. Цишанга [ВЕ 85] как на основной источник ссылок, а также на первую часть нашей статьи [Сг], позволяющую быстро войти в курс дела. 1, ХИРУРГИЯ ДЕНА Пусть задан узел й в оз; окружим его замкнутой трубчатом окрестностью П(й) . Ыпогообразиеи узла называется дополнение Е(й) к внутренности трубки П(й) . Оно имеет гомологии окружности. Общий край многообразий П(й) и Е(й) есть тор Т(й).
Обратно, согласно классической теореме Александера [А], вложенный тор разбивает сферу на две компоненты, одна из которых есть полноторие, а другая, следовательно, — многообразие узла. Назовем меридианом вложенную окружность тп на торе Т(й), гомотопический класс [тп] которой есть, с точностью до ориентации, гомотопический класс слоя в расслоении рассматриваемой трубчатой окрестности.
Параллель (или долгота) есть окружность, гомотопнгя сечению этого расслоения, класс гомологий которой является нулем в Е(й) . Группа С(й) узла й — зто фундаментальная группа лт(Е(й)) относительно базисной точки ь, которая по предположению лежит на Т(й) . Если узел й нетривиаген, то канонический гомоморфизм группы кт (Т(й)) в С(й) инъективен (см. [Ст]); его образ Н(й) называется периферическое подгруппами. Рис. 1 Предлоткенне 1. Пуспть й и й' — дга дэла, а у — иэоморфиэм группы С(й') па группу 0(й) . (а) Сущгстпвугтп гомотпопическаг зкгиеалеитпностпь у: (Е(й'), ь) (Е(й). *), тпакал, чпю ят(У) = тр. (Ъ) Если дт индуцируетп изоморфизм подгруппы Н(й') на подгруппу Н(й), тпо сущестпгугтп гомеоморфизм й многообразия Е(й') на многообразие Е(й), тпакоб, что ят(й) = ~р. (с) Пустпь тп и тп' — меридианы узлог й и й', а [тп] и [тц'] — ия гомотпопическиг классы.
Если еыполнено условие (Ь), тпо для того, О КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УЗЛОВ 75 чтобы гомеоморфизм Ь продолзкалсл до гомеоморфизма сферы Яв на Яз, необходимо и достатпочно, чтобы »т([тп>]) = к[от]. Многообразие Е узла гомотопически эквивалентно 2-комплексу. Кроме того, группа яз(Е) тривиальна: действительно, если бы это было не так, то существовала бы гладко вложенная сфера, негомотопная нулю (теорема о сфере), а такая сфера разбивает Яз на два замкнутых шара (теорема Александера-Шенфлиса), один иэ которых лежит в Е> что невозможно. Следовательно, изоморфиэм у> реэлизуется гомотопической эквивалентностью 7: (Е(6>), *) (Е(й), *) . Обозначим через пт, тп', 1, Р меридианы и параллели узлов 6 и )с', проходящие через базисную тоуку ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
