Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 15
Текст из файла (страница 15)
При выполнении условий (Ь) с помощью продолжения гомотопий можно продеформировать отображение у так, чтобы оно переводило пт> и !' в край ЬЕ(6) многообразия Е(6) и, поскольку яз(Е(6)) = О, индуцировало гомеоморфизм края 6(Е(6>)) на край 6(Е(6)) . Теорема Вальдхаузена позволяет продеформировать у в гомеоморфизм и даже в диффеоморфизм. Параялели узла 6 характеризуются тем, что они являются образующими ядра гомоморфизма Нт(ЬЕ(6)) -т Нт(Е(6)), Тогда при выполнении условия (Ь) мы имеем у>([!']) = к[!] и >р([пт']) = к[пт] + и[!]. Для того чтобы Ь продолжался до гомеоморфизма сферы Вв на 5~, необходимо и достаточно, чтобь1 и = О.
Замечание, Узел /с обладает свойством (Р), если существует единственный, с точностью до гомотопии, способ получить гомотопическую сферу путем приклеивания полнотория к многообразию Е(/с) вдоль его края 6Е(6). Это равносильно тому,что нормальнэл подгруппа группы С(6), порожденная элементом [тп][!]", равна С(6), только если п = О. Если многообразия двух узлов гомеоморфны и если оба эти узла обладают свойством (Р), то они одного типа.
Свойство (Р) было введейо при попытке построить контрпример к гипотезе Пуанкаре. 2. СУЩЕСТВЕННЫЕ КОЛЬЦА Положим А = Вт х [О, 1], 6А = У х (О, 1) . Сингулярным кольиом в многообразии У с краем называется отображение у: (А,6А) -+ (У ЬУ). Сингулярноекольцо называется суитесптвенным, если (а) кольцо у является несжимаемым (т.е. лт(/) инъективно), (Ь) путь. !](ь х [О, Ц) не является строго гомотопным пути, лежащему на крае 6У. Предположим, что край 6У несжимаем (т.е.
гомоморфиэм ят(ЬУт) ят(У) инъектнвен для каждой компоненты ЬУ> края ЬУ), что ттг(У) = О и что ят(!) инъективно. Тогда, если кольцо у несуще- 7б Андре Граиэн ственно, то отображение у гомотопно относительно края ЬА отображению в ЬУ. Теорема о кольце [Сг, За, Яс] утверждает, что всякое многообразие размерности 3, которое содержит существенное сингулярное кольцо с вложенным краем, содержит вложенное существенное кольцо с тем же краем. Если Š— многообразие узла и у: А -+ Š— вложенное несжимаемое кольцо, то образ 7'(ЬА) края вырезает два кольца В1 и Вз на торе ЬЕ.
Торы Вь 0 ДА) и Вз О ДА) разбивают Е на два многообразия с торическим краем, которые являются либо полноториями, либо многообразиями узлов (теорема Александера). Если кольцо у не является существенным, то можно доказать с помощью теоремы о петле, что оно параллельно краю, другими словами, существует вложение Е: А х [О, 1] — ь Е, такое, что Е(х, 0) = Дх) для всех х е А и Е((А х (Ц) О (ЬА х [О, 1])) С ЬЕ. Примеры. 1) Если узел й составлен из двух узлов й1 и йз, то многообразие Е(й) есть объединение многообразий Е(й1) и Е(йз), склеенных вдоль кольца, край которого составлен из меридианов трех узлов й1, йз и й.
Если ни один из узлов й| нли йз не тривиален, то это кольцо существенно. Группа С(й) есть амзльгамнрованная сумма С(й1) *з С(йз), где классы соответствующих меридианов [пь1] и [тз] отождествляются между собой. составной узел обмотка Рис. 2 2) Пусть Л вЂ” узел, а еп и 1 — его меридиан и параллель, и пусть (р, б) — пара взаимно простых чисел. Окружность й, вложенная в тор Т(Л) = ЬЕ(Л), класс (гомотопий нли гомологий) которой равен р[пь] + ф], есть по определению (р, д)-обмотана уэланосцевелл Л.
Возьмем трубчатую окрестность У(й), пересечение которой с Т(Л) есть кцяьцо В. Кольцо А = Т(Л) — 1пс(В) разбивает О КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УЗЛОВ 77 Е(й) на полноторие.с7(Ь) — гпФ((7(й)) с сердцевиной Ь и многообразие Е(Ь) — гпь(У(й)), диффеоморфное многообразию Е(Ь) . Класс у[(] для компоненты края ЬА в полнотории с7(Ь) — 1пс (У(й)) равен образующей группы Нг(Е(Ь)), умноженной на р, и образующей группы Нг (Е(й)), умноженной на рг7. Если узел Ь нетривиален и если ]о[ > 2, то, значит, кольцо А является существенным.
Если узел Ь тривиален, то й — тпорическай узел хипа (р, г7); если же [р[ > 2 и [7] > 2, то этот узел не является тривиальным и кольцо А существенное. Предложение 2 (ср. [г%, 'ттй 74,%]). Предположим, чпто многообразие узла й содержит вложенное сущестпвенное кольцо А. Тогда А разбиваетп многообразие Е(й) на два многообразия Хг, Хз, и имеет место один из двух взаимно исключающих случаев: (а) Ни одно из многообразий Хг, Хз не явллетпся полнотпорием, узел й разложим и каждал компонента крал ЬА является меридианом узла й. (Ь) По крайней мере одно из многообразий Хт, Хз явл.летел полноторием, узел й являетпсл (р, о)-обмоткой, [о[ > 2, сердцевины отлого полнотпория, и классом компонентп края ЬА в группе С(й) будетп [т] а [т] Ь 1 Мы уже видели, что ЬА разбивает тор Т(й) надвакольца Вт, Вэ и что кольцо А разбивает Е(А) на два многообразия Хг и Хз, краями которых являются торы Вг 0А н Вг 0 А.
Хт Рис. 3 Предположим, что ни Хг, ни Хг не являютсв полноториями. Многообразия Хт 0 (7(й) и Хт гЗ (7(й), которые являются замыканиями их дополнений в Вг, будут тогда полноториями (теорема Александера), их сердцевины суть узлы йг, йа н Х; есть многообразие узла йт. Согласно теореме ван Кампена, группа кт(Хг 0 с7(й)) есть амальгамированная сумма групп тгг(Хг) и кг(с7(й)) по подгруппе к(Вг); тгг(Хг) (В ) = у (Х сг(7(й)) = Х кг((7(й)) = Х 78 Аваев Грьньв Если бы гомоморфизм яс(Вс) -+ яс(У(й)) был инъективным, то и яс(Хс) -Ф яс(Х, 0 У(й)) был бы ииъективным, что невозможно, так как узел йс нетривиален.
Значит, гомоморфизмы яс(Вс) ь яс(У(й)) и ес(Вс) -+ яс(Хс 0 У(й)) являются нулевыми; компоненты края 6Вс(= 6А) суть меридианы узлов й и йг и, аналогично, узла йс. Это доказательство, при1садлежащее Нога [г1), показывает также, что раэложимый узел обладает свойством (Р). Действительно, если приклеить к Х1 0Хг полноторие У вместо У(й) таким образом, чтобы Хс 0Хг 0 У было гомотопической сферой, то Хс 0 У будет гомотопическим тором и, кроме того, край 6А будет состоять из меридианов полнотория У. Предположим, напротив, что Хс есть полноторие. Заметим прежде всего, что Хс 0 У(й) есть полноторие. Это следует из теоремы Александера при условии, что Хз есть действительно многообразие узла. Если Хг — полноторие, то многообразие Е(й) = Хс 0 Хэ есть многообразие некоторого торического узла й'.
Так как торические узлы обладают свойством (Р) [ВЕ 85, р. 274], узел й' и узел й имеют одни и те же меридианы и параллели на крае 6Е(й); следовательно, Хс 0У(й) есть полноторие, так как таково многообразие Хс 0 У(й') . Применим тогда теорему ван Кампена к вьгсислению группы яс(Хс 0 У(й)): яс(Хс) = 2 яс(Вс) = е .,(Х,0У(й)) = Х ,(У(й)) = Х Один из двух гомоморфиэмов ьс или с6 является изоморфнзмом; так как кольцо А существенно, гомоморфиэм св ннъективен, но не биективен, т.е. он является умножением на целое д, такое, что [д[ ) 2. Тогда узел й является (р, у)-обмоткой узла йг, сердцевины полнотория Хс. 3. ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (по [РЮ]) В этом разделе мы применяем теорему 1 для доказательства следующего результата: Предложение 3.
Пусть й и й' — два узла с изоморфными группами. Если один из ниг неразложим, спо другой споже неразложим и они лвляютсв узлами одного типа. Если й = йсс(6 ° 4сй ес, где йс неразложимые узлы, то й' = й',ф ° грй' +,, причем й; и й,' — узлы одного типа (как неориентированные узлы). Теорема Гордона-Люке была использована не только для перехода от многообразия узла к типу узла в случае неразложимых узлов, но О КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УЗЛОВ 79 также чтобы доказать гомеоморфность многообразий в частном слу- чае обмоток. 3.1. Если многообразие Е(й) ие содержит суигествеиимх колец, глубокая теорема Йохансона [до, Ргор.
14.9[ и Фестела [Г, ТЬеогеш 10) (см. также [да, ТЬеогеш Х.15[) утверждает, что многообразия Е(й) и Е(й') гомеоморфны, и теорема 1 завершает доказательство. Мы не будем здесь разъяснять теорему Йохансона — Фестела. 3.2. В противном случае мы будем использовать следующую лемму (см. [Жа 67, Ьепппа 1.1; Бь[): Лемма 1. Пустль д: Е(гг') -+ Е(к) — такое отображение, что яг(д) ииъективио, и А — суглествеийое кольцо, вложенное в Е(к). Отображение д гомотлопио гладкому опюбражеиию /, такому, чтло: (а) отображение у тлраисверсальио к кольцу А, а прообраз А' = у '(А) лвллетлса компактлиой ориеитируемоб поверхностью без отиоситлельиого крал; (Ъ) любая компоиеитла А'; прообраза А' есть сутцестлвеииое кольцо в Е(й') и у" иидуцирует инъекцию тгг(А[) -+ ггг(А); (с) если тгг(д) — изоморфизм, тло А' испусти.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
