Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 12
Текст из файла (страница 12)
[ВеЦ) р: к,(х) — ® н"-'(х, к(р)) с А(х„) . р>т Теорема 3.4 [С32, С36, П], [Пе]. Сущестпвусш есшестпвеннал тпочная последоваптельноспть Кт (Х) — + А(Хв.) -+ Ке(Х) т Ко(Х) — т О, где а и 6 определяютсл формулами а(п) = [(О, и)] и 6([(Е, и)]) = [Е] . Наконец, в арифметической ситуации существует характер Чженя, устанавливающий изоморфизм между К-теорией и рациональными группами Чжоу: Теорема 3.5 [СВ2, С36, П]. Набор равенппв сЬ([(Е, и)]) = сЬ(Е) + а(п), по одному длл каждой образующей (Е, и) группы Ко(Х), задаста изо- морфизм вектпорныл С6-пространств сЬ: Ко(Х)с~ -+ СН (Х)тз . 4, АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА РИМАНА-РСХА 4.1. Метрика Квиллена.
Пусть тт — компактное комплексно-аналитическое многообразие размерности и, снабженное кзлеровой формой ит, и пусть Е = (Е,]] ]]н) — эрмитово векторное расслоение над 1т. Форма ы определяет эрмитово скалярное произведение д на голоморфном касатевьном расслоении ТР к т' и, таким образом, на расслоениях комплекснозначных дифференциальных форм над И, а кроме того, форму объема р на Тт; они задаются соотношениями /д д1 ит = — ~~т у~ —, — ~дг„Л дгр 2я [,дге ' дгл / Жан-Бенуа Босу н 1в = — ы" п1 и определяют с помощью тенэорного умножения эрмитовы скалярные произведения (, ) на расслоениях дифференциальных форм с коэф- фициентами в Е, а также в ьз-скалярное пронэведениев на каждом из пространств Ао" (У; Е) Соо-дифференциальных форм типа (О, а) с коэффициентами в Е, по определению равное (а1 1 ва)ьа = ( (а1(х), аа(х)) д(х) .
з $l Теорема Дольбо устанавливает канонический изоморфиэм между а-й группой когомологий Н'(У; .Е) и аьй группой когомологий комплекса (Ао" (У; Е), дя) . Теория Ходжа позволяет отождествить эту группу когомологий с ядром оператора , Ае, (У, Е) + Ае '(У. Е) равного по определению ограничению на Ао'(У; Е) оператора Ья = дядя+ дядя, где через дя обозначен оператор, сопряженный к дя относительно в -скалярного произведения. В частности, ограничения Ьз-скалярных произведений на про- странствах Ао"(У; Е) задают зрмитовы скалярные произведения на группах когомологий Н'(У;Е) и тем самым на их внешних степенях и тензорных произведениях, а потому и эрмитово скалярное произве- дение на детерминантном пространстве11 Е и Л(Е) = ®бей Н*(У; Е))1 '1 . в=о Все операторы вая,1 положительные и эллиптические.
Пусть (Лср)рем — возрастающая последовательность их собственных значе- ний, в котоРой каждое повторено столько раз, какова его кратность, и пусть Ыа)вв '„С ЛД м,вве — ряд Дирихле, построенный по этой последовательности. Можно показать, что этот ряд сходится при Кеа > и и продолжается до мероморфной функции ~1 на всей комплексной плоскости, которая го-„ ломорфна в окрестности нуля. Аналитическое кручение Рэя-Зингера 1) Ье оааепп1папа пе 1а соьовпо)оя1е. — Прива. пеРев.
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ 61 эрмитова расслоения Е по определению равно и ТР,Ю,И) = Е(-1)в$4(0) в=о (см. [ВВ]). Наконец, метрика Квиллена 6 'ЕО на Л(Е) определяется как из -в(Ъ',ю,п)и из (4.1.3) Определение метрики Квиллена можно объяснить с помощью следующих рассуждений, касающихся вконечномерной моделив для теории Ходжа.
Пусть 0 -+ Ео ~ Е' -+... Е" — в 0 — комплекс, состоящий из комплексных векторных пространств конечной размерности. Обозначим через Н' в-ю группу когомологий этого комплекса; тогда существует канонический (с точностью до знака) изоморфизм 1: ®(бе1Нв)в И и в ®(деоЕв)в вво вйо Предположим, что Е' наделены, кроме того, эрмитовыми скалярными произведениями. Они задают с помощью перехода к внешним степеням и тензорным произведениям норму на ®," о(део Е')( И . Кроме того, они позволяют построить оператор 6', сопряженный к 6, а тем самым и оператор Ь = 66' + 6'6.
Ядро Я» оператора Ь)лв лежит в Кегб~ив иизоморфноотображаетсяна Н',ииэоморфизм Н' И Н' позволяет перенести на Н' скалярное произведение на Н', полученное ограничением скалярного произведения на Е'. Веря внешние степени и тензорные произведения, получаем норму на ®, о(бе1 Н*) < И . Довольно легко проверить, что норма изоморфизма 1 по отношению к этим нормам равна и 0щ! = Ц(б О'Ьв)<-Ич~з, в=о где через бео'вбв обозначено произведение ненулевых собственных значений операторов Ь~ив.
Формально ехр(-Я(0)) — произведение. ненулевых собственных значений опеРатоРа Ьл,вц Действительно, -6)(о) = ~; АД!ОЕААР АА,Ио Жан-Бенуа Босе 62 формула (4.1.3) теперь показывает, по-прежнему формально, ч™ трика Квиллена — естественная 1.а-метрика на Л(Е), введенная с помощью «изоморфизма» и Л(Е) е » н®(деС Ао'(Е))! «! ". Примеры. (1) Пусть Ъ' = Р«У(С) и ы = о«ря, и пусть Š— триви- альное эрмнтово расслоение. Тогда Н«Я; Е) л' С при « = О, Н«(У; Е) = О при» ) О, а потому Л(Е) Ы С. Помимо этого собственные значения операторов «ан,«известны, а Жилле, Суле и Загир вычислили аналитическое кручение проективных пространств и показали (см. [057]), что, полагая р(х) = — — и »р(х) = / Й, 1 е * Г* р(1) — р(О) .«о й можно описать метрику Квиллена на Л(Е) следующим образом: !ох [[1Ц = коэффициент при х~ в (, *,) [(и»«) 2' ,(»«'«- | «»еэ«е+« 1 + Д-т) 1+ — +...
+ — ) ) — — 2инх « — »р(х) 2 т,«) т! где через ~ обозначена дэета-функция Римана. (2) Пусть М вЂ” комплексная эллиптическая кривэл, и пусть а— ненулевая голоморфная дифференциальная форма на М. Пусть Г= а;ТБН«(М;Е) — решетка периодов формы а в С, и пусть да и дэ — инварианты решетки Г, да=60 ~ 7 «и да=140,» 7 е.
«ег-(о! уег-(о! Пусть, наконец, Ь = дэа — 27д໠— дискриминант пары (М, а), Детерминантное пространство Л(С7) расслоения О над М отождествляется АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ (по алгебраической двойственности Серра) с одномерным векторным пространством голоморфных 1-форм на М. Если снабдить Тм и О метриками, инвариантными относительно сдвигов, то получающаяся метрика Квиллена [! ![О на Л(С») равна [! [[О = [А! Это легко вывести из предельной формулы, Кронекера, примененной к решетке, двойственной к Г (см., например, [%4, 1огпш1е (14), р.
75]). Метрика Квиллена, связанная с семебсп»вом компактных аналитических многообразий и с голоморфным векторным расслоением над ним, обладает замечательными свойствами: она гладкая класса См, и ее кривизна вычисляется по формуле, похожей на формулу Римана-'Роха-Гротенднка. Кроме того, зависимость метрики Квиллена на Л(Е) от метрик на ТР и на Е выражается через классы Бетта-Чженя (см. [Е)], доклад на семинаре Бурбаки п' б76, [ВСБ1] н выше, п.
4.2, пример 2). 4.2. Арифметическая теорема Римана — Роха. Пусть Х вЂ” арифметическое многообразие, и пусть ы — кэлерова форма на Х(С), инвариантная относительно Р Если морфиэм л: Х -«Брес 2 гладкий, то относительное касательное расслоение Т к я корректно определено как векторное расслоение над Х. Кэлерова форма ы на Х(С) задает структуру эрмитова векторного расслоения на Т, которой отвечает класс Тодда Тб Т, в СП'(Х)О. В общем случае Х не обязательно гладко над Брес Е, но Тх по- прежнему корректно определено как «виртуальное эрмитово векторное расслоение над Х», т.е. как элемент из Кс(Х), и у него всегда есть класс Тодда Тй(2»х) (см. [СБ10]).
Опишем конструкцию этого класса. Пусть»: Х -+ У вЂ” какое-либо замкнутое вложение многообразия Х в арифметическое многообразие У, гладкое над БресЕ (например, можно взять У = Р~~ с достаточно большим Ф). Обозначим через 1»7 нормальное расслоение к Х в У, а через Š— каноническую точную последовательность расслоений над Х(С) 0 «Тх1О> -+ «'Т~,О -«»»~О -+ О. Снабдим Тх00 эрмитовой метрикой с помощью формы ю, а Ту,с и ФΠ— какими-либо эрмитовыми метриками. Тогда Е становится точной последовательностью Е эрмитовых векторных расслоений, и мы имеем ТбТ, = »'Х6Ту.
(ТйЖ) +а(Тй(Е). (Тбй) ). Жан-Бенуа Бьет Для того чтобы сформулировать арифметическую теорему РиманаРоха, принадлежащую Жилле и Суле, нам понадобится еще одно определение (см. [СЯ7, С810]). Определение 4.1. Положим 1 В(Х) = у 2~'( — т) + Д-уп) 1+ — +... + — ) ~ —, (4.2.1) 2 т)] т> тези+а и обозначим также через В ассоциированный аддитивный характеристический класс со значениями в когомологиях с вещественными коэффициентами. Это означает, как мы помним, что Я вЂ” единственный характеристический класс, который сопоставляет каждому комплексному векторному расслоению Е над разумным топологическим пространством Т (например, компактным либо обладающим гомотопическим типом конечного С1у'-комплекса) класс В(Е) в Н'(Т; К), причем функториально к так, что ° для двух векторных расслоений Е1 и Ез над Т В(Е1 9 Ез) = В(Е1) В(Ез)' ° для каждого линейного расслоения Ь над Т В(Ь) = В(с1(Ь)), где правая часть определена с помощью ряда (4.2.1).
Мы можем, наконец, сформулировать теорему. Теорема 4.2 [СЯ7, Сз10]. Пусупь Х вЂ” арифметическое мноеообраэие, собственное над орес2, и пусть Е = (Е, ]] ][и) — зрмиупово векторное расслоение над Х. Предположим, что Х(С) снабжено кэлеровой метрикой, инвариантной относительно Е,, а Л(Е) снабжено метрикой Квиллена [] Ц, полученной из [[ ][к и кэлеровой структуры на Х(С) . Имеем беб(Л(Е), ][ [[с) = беях(сЬЕ.ТдТ,) 1 — — ! сй(Ес) . В(Тх<с>) .
Тд(Тх(с>) (4 2 2) 2!х,с> Если определить арифметический класс Тодда многообразия Х формулой Тдл(Х) = Тд(Т„)(1 — а(В(Тх<с>))) то равенство (4.2.2) можно переписать в виде Йеа(Л(Е), [[ ]]с>) = беях(сЬЕ. Тд Х). АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ 65 На самом деле Жилле и Суле доказали более общую теорему, которая имеет смысл для «семейств«и в которой не требуется регулярности Х нигде, кроме общего слоя Х«э. Помимо упомянутых выше аналитических результатов и вычисления аналитического кручения проективных пространств, их доказательство требует изучения поведения комплексов эрмитовых расслоений при применении «грассмановой граф-конструкции» Баума, Фултона и Макферсона. Отметим также, что недавно Фальтингс дал доказательство теоремы 4.2, более простое в том, что касается анализа. Примеры.
(1) Применяя теорему 4.2 к Рлв' с ь«Р.«и к тривиальному эрмитову расслоению, мы вновь получаем формулу из п. 4.1, пример (1). На самом деле именно вычисление аналитического кручения проективных пространств привело Жилле и Суле к необходимости введения класса В. Этот класс появлялся по другому поводу в ]В12] и [ВБ1, ВЬ2]. (2) Пусть Г: 0 -+ Я -«Е — «Ч -«О — точная последовательность эрмитовых векторных пространств; тогда мы имеем канонический (с точностью до знака) изоморфизм детерминантных пространств 1: Л(Е) ы Л(Я) Э Л(а). Применяя теорему 4.2 к каждому из расслоений Е, Е и Я, мы опять получаем формулу аномалии (см. ]ВСВ1]), которая выражает норму этого изоморфизма по отношению к метрикам Квиллена через формы Чженя и Ботта-Чженя: 1оя]]1]]О = «(ел(Л(Е), ]] ]]О) — бед(Л(Я), ]] ]]О) — <1е~(Л(Я), ]] ]]О) = беях((сЬŠ— сЬЯ вЂ” сЫ~) . ТбТ«) = -ащДа(ббпр)Тбт„) 1 — ~Р(с) Тп Тх<с) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
