Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Тогда для каждого з Б Л 1(10) »»+»» 41(Л/зОк) — ') 1оц [[з(х)[[ = Ч~» ср(з) 1о$ ЛРр — ~~» е; 10И [[я[[1. «ех(с) реР ь«1 (1,2.1) Формула произведения, утверждающая, что для каждого х Б К 1(0) П П реР показывает, что это выражение не зависит от з.
Это — араиелоескел сп»звень расслоения Т, обозначаемая через дедЕ. Очевидно, что алгебраическзл часть формулы (1.2.1), т. е. первый член левой или правой части, не обладает сама по себе этим свойством инвариантности: для того чтобы корректно определить степень линейного расслоения, необходимо «компактифицировать» аффинную схему прес Ок бесконечными точками поля К. Более общо, для каждого зрмитова векторного расслоения Е над Брес Ок положим деяЕ = деб де«Е. Если К = Я, то Л:= НО(Ьрес2, Е) изоморфен 2«зн, а зрмитова структура на Е определяет скалярное произведение на Лс, инвариантное относительно комплексною сопряжения, т.е. евклидову структуру на Лн,.
Кроме того, дел Š— не что иное, как взятый с обратным знаком логарифм кообьема модуля Л в Лн по отношению к этой евклидовой структуре. Пусть Х вЂ” арифметическое многообразие, а 2 — зрмитово линейное расслоение над Х. Для каждого элемента х: БресОк -+ Х множества Х(Ок) определим его высо«ау по он»нов»ению к Ь формулой Л~(х) = дел х'Х . Пусть Х = Р)У = Рго)2[ХО,..., Х)р), а Ь вЂ” зрмитово расслоение О(1), равное по определению расслоению О(1) со стандартной метрикой [[ [[, т. е. слой расслоения С~(1) в точке Р = [хе '.... . 'х)у] б Р~(С) совпадает с прямой Нош(С(хо,..., хрр), С) и по определению АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ 39 Тогдавысота ЬЕ на Р~(б») (= Ри(К) в силу собственности) совпадает с обычной логарифмической высотой: для каждого (хо,..., х») Е б» '1(0) мы имеем ,[ „, и;="," (К,".[ое(хд)[г)'" В частности, если К = Се, а (хо,..., хи) Е Е~+ ~ (О) и, кроме того, Н.О.Д.
(хо,..., х и) = 1, то ,. и; г/г Ь П,([хо: " . хи)) = 1ой ~ ~~~ х,') д=о Проблема Римана-Роха. (о) В наивной форме проблему РиманаРоха можно сформулировать так: Пусть даны гладкое проектаивное комплексное многообразие У и голоморфное вектпорное расслоение Е над т'. Какова размерностпь пространстпва Но('т', Е) голоморфных сечений расслоения Е над т'? (В) По меньшей мере со времен Римана было известно, что на этот вопрос не может быть простого ответа иэ-за явления ьиррегулярностив, т. е.
нетривиальности высших групп когомологий. ьПравильнаяь постановка вопроса такова: Вычислить характеристику Эйлера-Пуанкаре «($'; Е):= ~( — 1)'дип НгЯ; Е) . сго Одно ю решений„в терминах когомологических ннварнантов многообразия У н расслоения Е, дается формулой «(У; Е) = / (сЪЕ.Т6ТР)1г"1, (1.3.1) где и = д1шО Р, через ТйТР обозначен класс Тодда касательного расслоения к т', а через сЪ Е вЂ” характер Чженя расслоения Е. Различные варианты этой формулы в частных случаях кривой илн поверхности У были ювестны с конца девятнадцатого века. Общая формула была доказана Хирцебрухом, обобщена Вашницером и, далее, Гротендиком (см., например, [Ги, гл.
15[). Последние два автора работали в чисто алгебраической ситуации, используя теоринг пересечений на т': с векторными расслоениями Е и ТР связаны характеристические классы сЬЕ и Т6ТР в группах Чжоу СН'(ь')О; интегрирование Д, классов когомологий по фундаментальному классу Жан-Бенуа Бост 40 имеет алгебраический аналог, а именно отображение степени «(еби: СН"(У) — К, и формула Римана-Роха записывается так: Х(У; Е) = деб„(сЬЕ. ТдТ» )<"). ( у) При надлежащих предположениях на Е (положительность,...
) высшие группы когомологий Н»(У; Е), ь > 1, обращаются в нуль, и формула Римана-Роха-Хнрцебруха (1.3.1) позволяет вычислить аппп Но(У; Е) . Это возможно, например, когда Е имеет вид Ео е» Ен, где .С вЂ” обильное линейное расслоение над У, а и достаточно велико. 1.4. Арифметическая проблема Римана-Роха. Теория ЖиллеСуле дает арифметический аналог геометрических утверждений предыдущего параграфа. (а) «Наивный» арифметический вариант проблемы Римана-Роха можно сформулировать так: Пусть У вЂ” арифметическое мноеообразие, собственное над Ярес2, и пусть Е = (Е, (( (!) — эрмитпово векторное расслоение над У. Сколько суьлествует тания сечений в расслоения Е над У, чьпо ))вс3 < 1 на У(С)? Заметим, что Е-модуль Но(У; Е) сечений расслоения Е над У свободен, конечного типа и отождествляется с решеткой в векторном «4-пространстве конечной размерности Но(У«», Ес~) Н~(У.
Е) ®и (3 Сечения, которые нас интересуют — это злементы нз Но(Ус«, Есу), удовлетворяющие одновременно и условиям целочисленности (т.е. лежащие в решетке Но(У; Е)), и условию на их архимедову норму, которое играет роль условия целочисленности «в бесконечных точках». (~3) Аналогия между числовыми н функциональными полями позволяет придать арифметической 'проблеме Римана-Роха более когомологический вид. Для этого надо переписать формулу (1.3.1) в случае, когда гладкое проективное многообразие У снабжено (плоским) морфизмом л: У -+ С на гладкую проективную кривую С. Характеристику Эйлера-Пуанкаре т(У; Е) можно вычислить с помощью морфнзма а".
она совпадает с характеристикой Х(С; Н л,Е) прямого образа Кл,Е расслоения Е (в производной категории когерентных пучков на С). Формула Римана — Роха на С записывается для него так; Х(С; Кл.Е) ргаВл.Е. (Т6Тс)«)~«+деяКл,Е. (141) АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ 41 Более того, ранг гяКл„Е выражается формулой гбКя,Е = Л(я '(р); Е) (1.4.2) для любого у Е С, а степень бебКх,Е совпадает со степенью гдетерминантногоэ линейного расслоения (Гротендик, Кнудсен, Мамфорд; см. [КМ]) Л(Е):= бегКп.Е, (1.4.3) слой которого в точке у Е С естественно нзоморфен тензорному произведению ®[деФ Н'(я '(р); Е)]< И . г>о Положим Тб~ (С = Тбт,. ( "Тбт )-'. (1.4.4) Применяя соотношение (1.4.2) и формулу Римана-Рока-Хирцебруха (1.3.1) к гладким слоям морфизма н и полагая п = 41шО К, мы получаем гбКи,Е.
1 (ТдТс)® = 1 (сЬЕ.ТЫУ/С)~г" г~я'(Тбтс)~г~. Соотношение (1.4.1) вместе с равенствами т(С; В.л,Е) = х(У; Е) и бебКя,(Е) = бебЛ(Е) показывает теперь, что (1.3.1) эквивалентно бебЛ(Е) = (сЬЕ. Тс(Т„)(гв) (сЬЕ. Тбр/С)<г -г>я,(Тс(Тс)(г), или, учитывая (1.4.4), беяЛ(Е) = / (сЬЕ.Тбр/С)~~"~. Аналогичная формула имеет место для характеристических классов в группе Чжоу многообразия У: бебЛ(Е) = деяг (сЬЕ.ТбЪ'/С)~"). (1.4.5) Эта формула на самом деле является частным случаем относительной теоремы Римана-Роха, доказанной 1ротендиком.
Мы только что показали, что если известна формула Римана — Реха для общего слоя морфизма т, то эта относительная формула по существу эквивалентна формуле Римана — Раса для всего У. Жан-Баиуа Бюст 42 В арифметической ситуации, т.е. когда тт — арифметическое многообразие, 'такое, что морфизм тт: )т -ь Брес2 собственный, а Š— локально свободный когерентный пучок на У, конструкция детерминантного расслоения бе«Вл,Е по-прежнему имеет смысл и дает линейное расслоение я(Е) над Брес 2, т.е.
свободный Е-модуль ранга 1, снабженный каноническим изоморфизмом А(Е) Эв С) Н ®~Н«()44, ЕцЯ П . т>в Чтобы для этого линейного расслоения была определена аракеловская степень, необходимо снабдить его метрикой. В случае когда на У(С) задана кэлерова метрика, а на Ег. — эрмитова структура, для этого существует естественная процедура Квиллена, использующая аналитическое кручение Рэя-Зингера (см. [ч, ВБ)). Мы опишем эту процедуру далее в тексте статьи (п.
4.1). Все изложенное выше позволяет сформулировать арифметическую проблему Римана-Роха следующим образом: Вычисяипть арвксяовскуто стпепень линейного расслоения Х(Е), снвбнсенного метрикой Квияяенв, ассоииированной с эрмитповой метприкой [[ [[н на Етт и кзяеровой метприкой на И(С).
Формула для этой степени была предложена в качестве гипотезы [ОБ7], а затем доказана [ОБ10] Жилле и Суле. Их формула аналогична геометрической формуле Римана — Рсха (1.4.5), но использует арифметическую теорию перегечений и теорию арифметических характеристических классов. 2. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ (см. [ОБ5]) 2.1. Потоки Грана. Пусть У вЂ” комплексно-аналитическое многообразие. Обозначим через А" «(У) (соотв, Эв «(У)) пространство С"-дифференц«1зльных форм (саотв. потоков) на Р типа (р, д), Оператор внешнего дифференцирования о разлагается в сумму т( = и'+ д" так, что й«Ау «(У) С Ав+' «(У) и и«'Ав' с Ав'+т()т) . Полагая и" —.
(«1' — т(в), 4х« имеем йй« ~«й йтйтт 23'т Положим Ав,«(тт) АР,«(тт)((«УАР-1,«(Р) + ДвАР,«-1()т)) АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ 43 а также 6 '(У) = П" (У)/(д'П | в(У) + д"'Р"' '(У)) Отображение |И'. 21Р в(У) -+ ЭЕ+ "+' пропускается через фактор и определяет отображение |И'. сз |(У) -> с ""| в+'(У) . Иэ классических свойств а- и Ы"-когомологий комплексных многообразий легко выводится следующее Предложение 2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
