Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 4
Текст из файла (страница 4)
4. СОСИСКА ВИНЕРА 4.1. Поверхность маленькой сосиски Винера. Определение. Для неполярного компакта К С В.г сосиска Винера (с базой К) между моментами и и о определяется формулой Як(и, о) = (у е 1ь ['3 в е [и, и], такой, что у — В, е К) = Д (В,+К). ода<в В наиболее частом случае К вЂ” единичный круг и тогда оо(и,и) есть трубчатая окрестность траектории броуновского движения от момента и до момента э.
Здесь речь идет об асимптотическом (при с -т 0) поведении меры т(8,к(0,1)) или, иначе говоря, асимптотическом поведении меры т(ок(0, 1)) (прн х -+ оо). Оба зти вопроса связаны между собой вследствие инвариантности масштаба: на самом деле т(оя(0, 1)) имеет то же распределение, что 'т(~4-~мк(0, 1)) . Теорема 10. 1пп 1ок-]т(Я,К(0,1)) = тт 11 т-+о в Жерар Бен Ару 20 (в смысле сходимости в 1а; если компакта К звездныб, тпо сходи- мостиь имеета место почтив наверное). Следствие. 1пп — т(Як(0, Ф)) = 2)г 1оя1 т-) оо (сходимость в ЕР и почти наверное). Доказательство состоит в установлении равенства 1пп 1оя — ) Е(т(Ягк(0, 1))) = тг 1( (а) и неравенства (уатт(Я,к(0, 1)))'Уа < С 1оя — 1 ет (Ъ) Это дает а Е(т(Яек(0, 1))) (10$1/е) откуда вытекает сходимость в л.~ .
Положив еь = е ", из (а) и (Ъ) получаем (~а( (а„(О,)))) и, следовательно, (Я..к) а Е(т(Яе„к)) почти наверное. Если компакт К звездный, то т(Я,к) — возрастающая функция от е, и это завершает доказательство епо модулюа соотношений (а) и (Ь).
Для доказательства (а) заметим, что Е(т(Я,к(0, 1))) = Е 1з,н+(о,г1(у) Иу = Р(Т„,к < 1) 4у, где Т,—.к = 1пт (в, В, Б у — еН) . Теория потенциала позволяет оценить эти времена достижения и убедиться в том,что если величина (, имеет экспоненпивльное распределение, не зависящее от броуновского движения, н если СА(х, у) ГЕОМЕТРИЯ ПЛОСКИХ БРОУНОВСКИХ КРИВЫХ 21 является функцией Грина броуновского движения, прерванного в мо- мент С, то (если компакт К неполярный) 1 ~ 1пп !об -) Р(Тз зк < ~) = хСА(0, у) . Иначе говоря, преобразование Лапласа функции (!об —,').!,(Из) (где ° ь — распределение Тз,к) сходится к преобразованию Лапласа функции хр,(0, у) Пз. Отсюда выводится, что 1пп 1об — ~,((0, Ф]) = к р,(0, у) дз, или, другими словами, ( 1~ Г8 !пп 1об-) Р(Т, к <1) = я/ р (О, у) 4з. Кроме того, можно показать, что существует константа С(Л, К), та- кая, что Р(Т„- к < 1) < С(А, К)бл О, — 1об— '2) (, з)' откуда Р(Тз- к < 1) < е"Р(Тз-~к < ~) < е"С(Л, К) !оя — Сх О,— где Сх интегрируема, и в силу мажорируемой сходимости (а) доказано.
Доказательство'(Ь) сложнее, и мы отсылаем читателя к [1А]. Замечание. Предел величины 1оя -,'тп(Я,к(0, 1)) не зависит от К. Это явление характерно для размерности 2. В размерности И > 3 доказан следующий результат: 1цп, +озз зш(Я,к(0, 1)) = С(К), где С(К) — ньютоновская емкость множества К . 4.2. Интерпретация предыдущих результатов в терминах теплопроводности. Асимптотическое поведение объема сосиски Винера прямо связано со следующей задачей теплопроводности. Пусть в неполярном компакте К С 1ьз поддерживается температура 1, когда время меняется от нуля до +оо, а дополнение В.з '! К в начальный момент $ = 0 имеет температуру О.
Каково асимптотическое поведение при Ф -+ +оо количества тепла Ек(Ф), перешедшего завремя1 из К в Кз~КУ 22 Жерар Бее Ару Пусть и — решение уравнения теплопроводности ди 1 — = — г3и дс 2 в области В.е'1К с начальным условием и(0, х) = 0 и )пп, „и(1, х) =1 для всех регулярных точек хо Б дК и всех 1 ) О. Тогда Ек(1) = ! и(1,х)дх. гне1к Отсюда и(8, х) = Р(Т, к ( г) и, следовательно, Ек(1) = Г Р(Те-к(Ф)г(х = 1 Р(Т -к <1)г)х — т(К), Я1к дне откуда Ек(1) = Е(гп(Як(0, Ф))) — т(К).
Кроме того, мы показали, что Екф 2хф при 1 -ь +со. В размерности ) 3 Ек($) С(К)1, где С(К) — ньютоновская емкость К. Спнтцер [82] доказал зту теорему и получил асимптотическое разложение для Ек(г) . Мы вернемся к этому вопросу в п. 4.4. 4.3. Пересечения независимых сосисок Винера. Рассмотрим р независимых броуновских движений Е',...,ВР в Се; пусть К— неполярный компакт. Следующая теорема (принадлежащая Ле Геллю [ЬЗ]) позволяет интерпретировать локальное время пересечения как меру пересечения р должным образом нормализованных сосисок Я,"к(о, 1).
Теорема 11. При любом п < оо 11 Р 1пп )об — т(Яек(0, 1) П" О Ярк(0, 1)) = я~о([0, 1]") по норме Ь" 4.4. г3глуктуации и ренормализация. Ренормализация Варадана (описанная в и. 3.3) позволяет получить следующий член асимптотического разложения для гп(Я,к(0, 1)): Теорема 12. Пусть К вЂ” неполерныб компакт. Тоеда ° з 1пп !об-) (гп(Я,к(0,1)) — Е(гп(Я,к(0,1)))) =-я~у(,узП[0,1]з) по норме Ье.
ГЕОМЕТРИЯ ПЛОСКИХ БРОУНОВСКИХ КРИВЫХ 23 Как следствие из этой теоремы можно получить асимптотическое разложение т(В,к(0, 1)) =— 1ок 1/е +(1 1/)з 2 +Я(К)- Т(Тяп[0,1]') (1об 1/е) з + 0((1о~1/е)з), где х — константа Эйлера, а Н(К) — логарифм логарифмической емкости компакта К. Для этого достаточно использовать, помимо предыдущей теоремы, асимптотическое разложение величины Е(т(В к(0,1))) при с -+ 0 (или, что то же самое, количества перенесенного тепла Ек(с) при с -~ +со), данное Спитцером [82].
Можно также обратить рассуждения и получить это асимптотическое разложение прежде, чем разложение Спитцера. Можно даже получить разложение до членов более высокого порядка, но при условии, что разложена ренормализация локальных времен пересечения кратности больше 2, что гораздо сложнее. Сошлемся здесь на Дынкина [РуЗ], Ле Галла [1 10] или Розена и Йора [йу] (для тройных точек). Набросок доказательства. Если с и й — целые числа, такие, что Я(2ь — 1,то 1 1 [В~му ~-Взд), 1Е [О, — „+1~) и [Взд)+,— Вщ, 1Е [О, — ~) — независимые броуновские процессы.
Локальное время'самопересечения имеет то же распределение, что и локальное время пересечения о([0, зс1зт]з) . Таким образом (обозначая для случайной величины У через (Н) = ~1 - Е(1/) соответствующую центрированную величину), мы получаем в силу п. 4.3, что 1оя — т $,к —,,— „, Г1Б,к +,, сходится в /з (при с ~ О) к яз(/1(А~~)), где 24 Жерар Бен яру Отсюда вытекает, что г" )-)е')О, 1))) = У (-(с. ('— ,.' —,'.И 4 .
(-(' (.—" — "")"*("" — '*'"'Ш Вследствие теоремы 11 и инвариантности масштаба е(1 ( (е, ( —,— ))]) Е— при е < ео(п) . Отсюда (детали см. в ]Б12]) получаем равенство хг ае г"-1 (М-) ) )Е* Р,))О = — 'Е,'Е,')Е)Е))) а=о в=о — — о у(.Тг П (О ) 1] ) . 5. ГЕОМЕТРИЯ ПЛОСКИХ БРОУНОВСКИХ КРИВЫХ 5.1. Конические точки. Пусть  — броуновское движение. Из теоремы Спитцера следует, что при фиксированном 4 кривые (Ват„О < в<1) и (В1 „0<в<1) с вероятностью 1 совершают бесконечное число оборотов вокруг Ва.
Усилить предыдущее утверждение так, чтобы оно было справедливо с вероятностью 1 для всех 1, невозможно. Существуют исключительные (и случайные) моменты, когда вместо того, чтобы вращаться вокруг точки ВЕ(ы), броуновская кривая находится в некотором конусе с вершиной Ве(ы) . Например, если В) — — В, '+ гВг н Т=Ы Ф>О, В1 — — вор В,' О<а<1 то ясно, что обе кривые (Вт „0<в <Т) и (Вт+„0<в<1 — Т) содержатся в полуплоскости (х < Втг) . Более общим образом, дадим Определение.
Точка В) называетсл двусторонней (соотв. односторонней) конической точкой с углом а (а Б ]О, 2я(), если существуют б > 0 и замкнутый конус с углом а при вершине В1, который содержит обе кривые (соотв. одну из кривых) (Вае„О < в < б) и (В)-е, 0 < в < б) . ГЕОМЕТРИЯ ПЛОСКИХ БРОУНОВСКИХ КРИВЫХ 25 Мы сейчас видели, что существуют двусторонние конические точки с углом к.
Речь идет о предельном случае: в самом деле, для множества Г,„двусторонних конических точек с углом а Эванс [Еч] доказал следующее: Теорема 13. С вероятностью 1 (1) Г =И при аЕ]О,к[; (2) сВш Г = 2 — 2к/о при а Е [г, 2к[. Непротив, Бурджи [В1] и Симура [852] установили существование односторонних конических точек с углом о Е ]х/2, к]. Можно также вычислить хаусдорфову размерйость их множества. Ле Галль [1,7] построил локальное время (меру Радона, сосредоточенную на некоторых односторонних конических точках) и получил таким образом точное вероятностное описание таких множеств как замыкания траектории некоторых устойчивых процессов, вложенных в броуновское движение, обобщив тем самым результаты Спитцера [81], относящиеся к случаю а = к. В случае а < к/2 односторонних конических точек не существует.
При а = л/2 вопрос остается открытым. 5.2. Выпуклая оболочка броуновской кривой. Обозначим через С(1) выпуклую оболочку броуновской траектории за время 1 (В„О<в<1). Как ведут себя С(1), дС(1)? Известно, что средний периметр области С(С) равен 43ке (Такач [Та]) и что ее средняя площадь равна ке/2 (Эль Башир [ЕВ]). Кроме того, для площади А(1) области С(1) справедлив закон повторного логарифма (Леви [1 е3]): 1пп вир, —,~,-Я-; = — ' почти на-' верное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
