Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Граница дС(1) обладает следующим свойством: Теорема 14. 1) Для всех 1.> О с вероятностью 1 на С(1) нет конических точек, т. е. не существует конуса с углом мень1ае, чем и, и вершимой на дС(1), содерзсашего С(1) . Кроме того, с вероятностью 1 2) дС(1) является С1-гладкой кривой и не является кривой класса С' с п>О. 3) Множество е($) крайних точек кривой дС($) имеет размерность О. 4) дС($)~е(1) является счетным обьединением прямолинейныхотрезков. 5) На С(1) нет изолированных крайних точек. Утверждение 1) принадлежит Эль Баширу [ЕВ]; в работе [СНМ] исследовалась регулярность дС(1) и получено точное значение мо- Жерар Бем Ару дуля непрерывности, откуда следует п.
2) теоремы. См. также [ВБМ]. Утверждения 3)„4) и 5) доказал Эванс [Еу]. Докаэаупельспаео. 1) (Следуя подходу Ле Гзлля.) Если на С(8) имеется коническая точка х,то это точка броуновской траектории. В действительности х Б (В„ а Б ]0,1[],потому что Вь и Ве — внутренние точки области С(1) по теореме Спитцера. Такая точка х является конической двусторонней точкой с углом а < и. Мы видели, что таких точек нет. Доказательство того, что дС(1) Б С', столь же просто. По поводу отсутствия регулярности класса Сца (т.е. негельдеровости касательной) см.
[СНМ]. Утверждение 5) устанавливается совсем легко: изолированная крайняя точка является конической, поскольку С(1) также является выпуклой оболочкой множества (х) ЦС(Ф) 1Ю(х, б) (при достаточно малом б по Крейну-Мильману). Легко доказывается и утверждение 3): крайняя точка является двусторонней конической точкой с углом а. Мы видели, что размерность множества таких точек равна нулю.
5.3, Точк1и разреза. Возможно ли разорвать броуновскую кривую, удалив лишь одну точку? Такую точку будем называть точкой разреза. Ответ положителен (в размерности > 2) и принадлежит Буржи. В размерности > 4 это тривиально: поскольку на броуновских кривых в этом случае нет двойных точек, все точки будут точками разреза. В размерности 2 (и 3) доказательство Буржи тоньше, оно основано на подходе с позиций теории потенциапа. Подробности см. в [В4], здесь мы приведем лишь результат и некоторые вопросы. Теорема 15.
С вероятностью 1 при любом с > 0 суеаесупвуеуп 1 Б ]О, е[, упакое, чшо В,фВс Чяб[0,1]1(1) (В;, О ~ х < 1) О (В„1 < х < Ц = а . Замечание. Буржи использовал этот результат для опровержения гипотезы Мандельброта: броуновская кривая ие гомеоморфна ковру Серпинского, О множестве точек разреза почти ничего не известно, кроме того, что оно непусто, Какова его размерность? Является ли оно несчетным? Содержится ли оно в множестве двусторонних конических то.
чек? ГЕОМЕТРИЯ ПЛОСКИХ БРОУНОВСКИХ КРИВЫХ 2Т 6.4. Внешность броуновской кривой: спиральные точки. Пусть à — неограниченная связная компонента дополнения броунов- ской кривой С 1В(ол!. Буржи «ВЗ] показал, что граница дг' устроена очень сложно: <почти все точки дг' достижимы лишь по приходящей из бесконечности непрерывной кривой с бесконечным числом оборотов в обоих направленияхэ. Точка з принадлежит др тогда и только тогда, когда существует непрерывная функция у<[О, 1] -ь С, такая, что (1) (2) Говорят, что г Е дР— спиральная точка, если для всякой функции ф, удовлетворяющей (1) и (2), имеем с !пп зир згб(ф(з) — з) = +со, <е(о,г! !пп !пу агб(ф(з) — г) = — оо.
<е(ел! Двусторонняя коническая точка не может быть спиральной. В действительности двусторонние конические точки с углом я образуют плотное подмножество в дг'. Тем не менее спиральные точки являются общими на дГ в смысле гармонической меры. Теорема 16. С вероятаностью 1 почти любая (в смысле гармонической меры) точна г Е дЕ' являе<псз спиральной пючной.
Доказательство. Существует биективное аналитическое отображение единичного круга Р на Р = Р 0 (со) . Можно продолжить у по непрерывности до отображения Р на РОЙ, поскольку радиальные пределы существуют при любом д Е [О, 2я[ (так как С'1г связно). Это продолжение не инъективно, потому что существуют точки разреза, см. [Ро]. Пусть А < — множество точек ~ Е дР, в которых у имеет ненулевую угловую производную. Ключевой момент доказательства— следующая лемма: Лемма. Множество ((Ау) нульмерно.
Действительно, ДАу) при любом а > л содержится в множестве двусторонних конических точек с углом о. Теперь приведенная в и. 5.1 оценка хаусдорфовой размерности множества таких конических точек показывает, что г)!ш /(Аг) = О. Далее следует отметить,что существует д > О,такое, что если Н С дг' и <1!шН ( д, то гармоническая мера множества Н равна Жерар Бее яру нулю. Это — следствие теоремы Макарова [Ма), которая дополшттельно утверждает, что можно взять Д = 1. Но используемая здесь слабая версия теоремы Макарова может быть совсем просто доказана вероятностными методами, см. [1 12). Отсюда следует, что гармоническая мера множества /(Ау) равна нулю.
Для завершения доказательства достаточно использовать теорему Макмиллана: говорят, что ~ е дГ является /-сциральной точкой, если величина агб(/(х) — /(~)) не является ограниченной как сверху, так и снизу на всей кривой в Р, оканчивающейся в ~. Обозначим' через Ву множество всех /-спиральньгх точек. Теорема Макмиллана утверждает, что гармоническая мера мно-; жества дР ! (Ву О Ау) равна нулю, а следовательно, равна нулю и гармоническая мера множества /(дР '! Ву О Ау) (в силу конформной: инвариантности гармонической меры). Однако из определений следует, что если х Е дГ не является спиральной точкой, то существует не /-спиральная точка г, е дР, такая, что /(~) = х.
Тогда дополнение множества спиральных точек: границы дР содержится в множестве /(дР ! Ву г! Ау) и /(Ау), которое имеет меру нуль. О 5.5. Малые связные компоненты дополнения броуновской [ кривой. Сколько »маленьких дыр» в плоскости оставляет броунов- ! окая кривая? Мандельброт [М) предположил, что число !тт связных компонент:, дополнения броуновской кривой площади больше с имеет порядок Ь(с)/с, где Р— функция медленного роста, такая, что ) Ь(и)/и г(и 1 < оо.
Маунтфорд [Мо] доказал эту гипотнту с Ь(с) = 2я(1ояе) т. Мы приведем подход Ле Галла [1 11), который улучшает зтот результат. Пусть )»?1„„1 при и < и означает число связных компонент дополне-,' ния броуновской кривой, плошадь которьпс попадает в промежуток [и,и[. Теорема 17. С аеролтаностаью 1 при всех б ) 0 ~ (1оя и)т»т!е ег -»ое>!г+т!е~ и г — и ' В частаиостпи, !пп,,а е(!обе)зДГ, = 2»г. Даказатпельстлаа. Пусть Игт — объединение всех связных компонент: площади < хс~. Ясно, что Игт лежит в В,т»(0, 1), т.
е. в сЬсиске Винера,' ГЕОМЕТРИЯ ПЛОСКИХ ЕРОУНОВСКИХ КРИВЫХ радиуса е. Обратно, покажем, что еслв у Е Я,О(0,1), то связная компонента точки у содержится в круге радиуса е (следовательно, площади < яев) с центром у с вероятностью, близкой к 1. Тогда мера множества И", имеет тот же порядок, что и мера множества Я,о(0, 1), т е. является величиной порядка х/[106е]. Если Л Е [О, 1[ и У," = И'г '! И'м, то можно проверить (хотя это гораздо труднее), что ис(С! ~) = ги(ИГ,) — гд(И'гг) ] 1оя е[ [ 1о8 Ле[ ' т.е. что иг(11,") гг[108Л[(1ояе)~.
Это позволяет доказать теорему, если, кроме того, заметить, что (МЛ") ' (и„".)<)Ч! „„!<( Л "+ ) ' (ц„"„), ЛИТЕРАТУРА [АЦ Абе!шап О., Вгогесвуу А., Р1апе Вгоггд!ад гоос!оп Ьвв всг!сс!у ипш!С!р1е роги!в, 1вгае! 1. МаСЬ. 52 (1985), 361-364. [В1] Впгг!ву К., Вгоюиап раСЬв впг! сопев, Авп. РгоЬаЬ.
13 (1985), 1006— 1010. [В2] Вигг!ву К., Мд!СМипедвюпа! Вгони!ап Ехсдгв!опв кдг! РоСевС!в1 ТЬеогу, 1 опбшвп, !Чегг Чог!с, 1987. [ВЗ] Впгг!ву К., Сеошесбс ргорегиев о! Спо-б!шепа!опа1 Вгопп!ап расЫ, РгоЬаЬ, ТЬеогу Ве!аСеб Р!е!дв 81 (1989), 485-505. [В4] Впгбву К., Сдв родив оп Вгохог!ап расЬв, Апп. РгоЬаЬ.
17 (1989), 1012- 1036. [ВЯМ] Впгг!ву К., Яап Маг!!п Зи Спггасше о1 сЬе сопгех Ьп0 о1 р!апаг Вгопп!ап шоС!оп певх Ив ш!п!шпш ро!пг, Я!осу. Ргоссвв. Арр!. 33 (1989), 89-103. [СТ] С!ев!е)вУЗ Е., Тау1ог Я. З„Р!гвС рввввбе Сипев апг! во!одгп Ншев Гог Вгоггп!ад пюИоп ш хрвое адб сЬе ехасс Наивг!ог17 шеввпге о1 сЬе вашр!е раСЬ, Тгапв. Ашег. МаСЬ.
Яос. 103 (1963), 434-450. [СНМ] Сгапввоп М., Нвп Р., МвхсЬ Р., ЯшоосЬпевв о1 сЬе сопгех Ьп0 о1 р1апаг Вгоггп!ад пюс!од, Апп, РгоЬаЬ. 17 (1989), 144-150. [Ва] 1Заг!в В,, Вгогвп!ап пюсюп апд апа1уС!с Гппсс!опв, Апп. РгоЬаЬ, 7 (1979), 913-932. [11Ч] Попв3юег М. В., ЧвхабЬап Я. В.. Я., Авушрсоскв !ог СЬе ЧЧ!епег ваивабе, Соиид, Риге Арр1. МаСЬ. 28 (1975), 525-565. [Ви1] РпггеСС К., А пев ргоо1 о1 Ярнвег'в гевп11 оп сЬе гг!пб!дб о1 Сггоб!шепа!опв[ Вгоггп!ап шойоп, Апд. РгоЬаЬ.
10 (1982), 244-246. [Вд2] Веге!с К„Вгони!ап Мос!оп апб Мвгсища!ев ш Апа1увв, СЧаг!вггогсЬ, Ве!шопс Са., 1984. 30 Жерар Бее Ару [ЛЛЕ] РчотесгЬу А., Етйбя Р., Боше ртоМеитз оп тапйош асаПс ш зрасе, Ртос! Яесопй ВетЬе1еу Яупсровшш ов МасЬ, Баас!вйсз алй РтоЬаЫПсу, 353я 367, (Лшчыв!Яу о! Са!!!оти!а Ртевв, Вет1се1еу, 1951. [1ЛК1] ЛЛчотезгЬу А., Етйбя Р., КаЬисаи! Б., ЛуоиЫе рошгв оГ раСЬв о( Втосчи!атс шотюп !и и-врасе, Аста Ясб МаСЬ. (Бгебей) 12 (1950), 74 — 81. [!ЛК2] !ЛчотеЫсу А., Етйбв Р., КаЬисаи1 Я., МиП1р!е ро!псв о! Втоаос!ап шо!!от3 !п сЬе р1аве, Виб. Еев. Соивсб Лягая! Бесс. РЗ (1954), 364 — 371.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
