Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Эти и + 1 величин ие являются независимыми: они становятся таковыми лишь условно, при фиксированном Л, «измеряющем» переход между окрестностями точек г«,...,г„и окрестностью бесконечности. В (РУ1) (теорема 6.2) дается также весьма точное описание предельного распределения этого (2п + 1)-набора посредством экскурсий. Наконец, эту теорему можно обобщить и получить <теорему о вычетах»: Теорема 4. Пусть (г«,..., г„) сутпь и различных п»очек комплексной плоскости С.
Пустпь 1 — комплексноэначнаа функция, такая, что (1) 1 голоморфна в Ру '1 (гд), где Рд — окрестность пючки х»", (й) у ограничена но дополнении объединения этих окрестное«пей; (1й) ~ голоморфна в окрестности бесконечности и 1пп, у' = О.
ГЕОМЕТРИЯ ПЛОСКИХ ЕРОУНОВСКИХ КРИВЫХ Твзда + (в т'(В«) 4В, прн « -+ со схвднптсл по распределению к В частном случае, когда у в каждой точке хт имеет простой полюс, вновь получаем предыдущий результат. Доказательство теоремы состоит в сведении к этому частному случаю. В заключение напомним, что мы лишь слегка затронули область (и результаты), разработанную Питманом и Йором. 3. КРАТНЫЕ ТОЧКИ БРОУНОВСКОЙ КРИВОЙ З.1. Пересечения независимых броуновских кривых. Если В', ..., ВР (р > 2) суть р независимых броуновских движений в С, начинающихся в х",..., хР, то существует ли у траекторий В',..., В" общая точка? Самый эффективный метод, позволяющий ответить на этот вопрос, использует построение локального времени пересечения. Наиболее общим образом, чтобы показать непустоту случайного множества н, в частности, изучить свойства «типичных«точек этого множества, достаточно построить (разумную случайную) меру, сосредоточенную на этом множестве.
Эта мера здесь будет сначала построена на множестве моментов кратности (а не на кратных точках), т.е. на ((1„...,1р) ЕК+.В,', =" =В,'). Эта мера, называемая локальным временем пересечения, формально определяется так: ,« ~= '(/« ~«„) --«„[«,,)«д~«,...«. 1 Положим б'„(х) = — 1Ь Ие«и ттв о~(«Ь«,..., «Ьр) = бр(В««) ' ''б (В«) д1« «Ьт сЬр. Тогда имеет место Теорема 5. С вераяптнвсптью 1 на ВР сутнесптвуепт мера Радона о(двт,..., 6вр), тпакал, чпто длл всех бврвлевскнх пвдмнвхсеств Ат, 16 Жерар Бен яру .. -, Ав С К». и для всех и ( оо 1ппа,(А' х - ° хАв) =а(А' х ° . хАв) (в Ь").
ь -ь с Носитель меры а содержится в ((еь ф..., вр) Б В. »,, Вь, = ° = В» ) и-е.вероятностью 1 длл всех у' Б (1,..., р) и всех 1 > О а((в =Ф]) =О и а([0,1]") > О. Эта теорема показывает, конечно, что кривые В', ., В" пересекаются; точнее, Че > О 3(гы ...,1р) Б]О,е[", такой, что В», = ° =Вь . Меру о можно описать более точно, вычислив явно все моменты Е(а(А' х' ° ° х Ав)") (см., например, [ЬЗ]). В дальнейшем мы приведем интерпретацию локавьного времени пересечения как предела (нормализованной) поверхности пересечения р независимых всосисок Винера».
Локальное время пересечения было введено Вольпертом [%о] и Дынкиным [Ву1] н [Пу2] и изучалось, среди прочих, Жеманом, Горовнцем и Розеном в [СНК], Розеном в [В.1, В2] и Йором [УЗ, У4]. 3.2. Локальное время самопересечения. Рассмотрим теперь одно броуновское движение в С, начинающееся в нуле. Для изучения кратных точек траектории строится локальное время самопересечения (кратности р) как случайная мера Р на множестве ,'Гв = ((1ь, ..., $р) Б К+, 1ь « 1р), формально опредебенная равенством Ядвю..., двр) = дь(В„) Ьв(В,,) ду двь двв. Теорема 6.
С вероятностью 1 суиьествует мера Радона Д но,7р, пьокоя, чпьо длл всякого компакта видо Аь х ° х А, С,7р и длл всех и < оо имеем Д(А~ х х Ар) =. 1пп)1,(А~ х х А„) по нор,не простронсгпво ХР, где ГЕОМЕТРИЯ ПЛОСКИХ БРОУНОВСКИХ КРИВЫХ 17 Мера Д сосредоточена на множестве моментов кратности р ((з»,, зр) Е,ур, В», = ' ' = Вв,) С верол»пностью 1 для всех у Е (1,..., р) и всех 1 > О Д((зд =1)) = О. Кроме того, 1»(,ур П [а, Ь]Р) = +со для всех О < а < Ь. В качестве следствия из этой теоремы получаем существование кратных точек броуновской траектории, имеющих кратность р или выше (первоначально установесиное в [ПЕК2]).
Эта теорема позволяет также сформулировать некоторые'свойства типичных моментов самопересечения, например, такие: »часть траектории броуновского движения, заключенная между двумя типичными двойными точками, есть часть броуновской петли (т. е. броуновского движения, которое возвращается в начальную точку)» (изложение неформальное). Предыдущее высказывание не может быть верным для произвольных двойных точек.
Ле Галль [1 6) предложил формулировку, »охватываюшую все двойные точки». Точнее, для О < и < е < 1 положим Вв.ь» — В„при О <1 < и — и, „В„(1) = „— В„при 1) и — и. Для любой борелевской функции Ф на пространстве непрерывных функций из [О, 1) в В.г имеем з(1»ь»„)А(»»с) =1 " ' »(»(»<"-"~)), где 1 1'~ обозначает броуновскую петлю (броуновское движение, траектория которого начинается в нуле и возвращается в нуль в момент а).
При этом если с Е ]а, 1], то считается, что Ц' = О. (а) (У Ле Галла приводится также естественная модификация этого результата для точек кратности р.) Важное следствие подобной формулы состоит в том, что любое свойство, выполняющееся почти наверное для броуновских петель, будет также выполняться для „В„для 1»г-почти всех пар (и, и) . Таким же образом нетрудно показать, что для Вз-почти всех (и, о) двойная точка В„ = В„ не является тройной точкой. Следующая теорема обобщает сказанное вьппе: Теорема 7. С вероятное»пью 1 дяя Др-почти всех з»,..., зр точка »»е является точка»1 кратности р+ 18 Жерар Бее Ару В частности, существуют точки кратности ровно р, см. [АР].
Эта теорема показывает, что точки кратности р+ 1 редко встречаютсл среди точек кратности р. Мера 8р на множестве точек кратности р, являющаяся образом меры,9р при отображении (гт,..., яр) -ь В„, не имеет отношения к мере ер+т. Чтобы оценить атонкостьа множества точек кратности р+ 1, можно также попытаться сравнить соответствующие меры Хаусдорфа. Ле Галль [Ь9) показал, что если 1 утр(х) = хг !оя — !ох!оя!оя — 1 х то мера Хаусдорфа утр является ахорошейэ мерой для точек кратности р. Точнее, множество точек кратности р является счетным объединением множеств, имеющих конечную ненулевую утр-меру. В 'частности, хаусдорфовой размерности недостаточно для того, чтобы различать множестваточек кратности р и р + 1: эта размерность всегда равна двум.
В действительности два подхода (локальное время и мера Хаусдорфа) вполне сравнимы, поскольку Ле Галль показал, что существуют константы Ср, С', такие, что для любого борелевского подмножества г' плоскости Кг почти наверное имеет место неравенство Ср1р(г') ~ (утр — тп(Е'П Рр) ~( С'8р(г'), где Рр — множество точек кратности р+ 1. Наконец, отметим, что благодаря упомянутому выше свойству, касающемуся броуновского движения между двумя двойными точками, Ле Галль сумел обойти то, что казалось незаконным использованием марковского свойства в первоначальном доказательстве (ДворецкийЭрдеш-Какутанн) существования точек бесконечной кратности. Ему принадлежит также Теорема 8.
Пустпь К С К вЂ” вполне несвлэимб компакта. Тогда с веролптностиью 1 сушесшеуютп точка г Б К~ и еозрасятаюитиб гомерморфизм уп К е К, тпакие, ивар 1р(К) = (1> О, Вт — - л) . Следовательно, существуют точки в точности счетной кратности или точки кратности континуум. Но-видимому, соответствующее локальное время самопересечения построено не было. 3.3. Ренормалнзация локального времени самопересечения.
В зтом разделе изучается особенность меры Дг на диагонали. Вопрос 19 ГЕОМЕТРИЯ ПЛОСКИХ БРОУНОВСКИХ КРИВЫХ о ренормалнзации локального времени для двойных точек решил Варадан [1т]. Аналогичный вопрос для точек кратности р > 2 является значительно более трудным; см. [Ву2, 1Ууб, И4, ИУ, Е12, 11]. Для й > 0 и б Е (О, ..., 2" — Ц положим А" образуют разбиение множества,7г П [О, 1]г .
Известно, что Дг(,тг П [О, 1]г) = +ос, однако имеет место Теорема 9. Длл всех борелввсних подмножестпв множества,7р й [0,1]г ряд с г"-г (Т, П[А~А ) — ЕП(Ацб г) в=о с=о сходится (в 1г и почти навернос). Сумма этого ряда обозначается через у(А), а отпображсние А -т у(А) называется ренормализованным локальным временем самопересечения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
