Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402)
Текст из файла
МАТЕМАТИКА НОВОЕ В ЗАРУБЕЖНОЙ НАУКЕ РЕДАКТОРЫ СЕРИИ: Ю.И МАНИН, С.П. НОВИКОВ ТРУДЫ СЕМИНАРА Н. БУРБАКИ за 1988 г. СБОРНИК СТАТЕЙ Перевод с английского и французского под редакцией А. Н. Варчвико 9 Москва «Мир» 1990 ББК 22.1 т78 УДК 511 + 512 + 514 + 515.1 + 517 СЕМИНАР Н. БУРБАКИ В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «МИРв 18ВХБ-03-001707-0 (русск.) Читателям хорошо известны труды семинара Н. Бурбаки (первый выпуск «Алгебра и теория чисел», Мл Мир, 1987, второй выпуск кМатематический анализ и геомстрияэ, Мл Мир, 1990). Теперь, начиная с данного сборника, предполагается ежегодно публиковать переводы полных докладов семинара, в которых в обзорном виде излагаются важнейшие достижения иэ различных областей математики.
Настоящий сборник трудов семинара Н. Бурбаки содержит доклады эа 1988 г. Среди его авторов — известные математнкэс Г, Сигал (Великобритания), А. Марен, Б. Мальгранж (Франция), Н. Катц (США). Для математиков разных специальностей, аспирантов и студентов университетов. 1002040000 — 884 041(01) — 90 ББК 22.1 Редакция литературы яо математическим наукам 18ВХ 0-08-00!707-0 (русск.) © состав, А. Н. Варченко, А. И. Кострикни, 1990 © перевод на русский язык, коллектив переводчиков, 1990 © Бос(е1е Ма!пеша!1Чпе бе Ргапсе,!988 Труды семинара Н. Бурбаки за 1988 гл Сб. статей Т78 Пер. с англ.
и франц. Сост. А. И. Кострнкин. — Мл Мир, 1990. — 304 с., нл. В отличие от известного многотомного издания «Элементы математики» Н. Бурбаки, труды семинара Бурбаки ориентированы не на обоснование математики, а на ее приложения и ставят своей основной задачей доступность издожения наиболее значительных достижений современной математики для широкого круга специалистов, а также для потребителей математики — физиков, инженеров и т. д. Каждый докладчик на семинаре Бурбаки предлагает глубоко продуманный обзор результатов, причем не своих, а других авторов, что делает изложение максимально доступным.
Пользующиеся широкой популярностью сборники докладов иа семинаре Бурбаки являются одним из основных источников оперативной информации о математических новостях во всем мире. Однако до сих пор они были известны нашим читателям лишь по переводам двух сборников избранных трудов: «Алгебра н теория чисел», М.: Мир, 1987 (под редакцией А.
И. Костри. кина и А. Н. Паршина) и «Математический анализ и геометрия», Мк Мир, 1990 (под редакцией А. Н. Варченко), а также отдельных статей в сборнике переводов «Математика» (до 1975 г.) и в журнале «Успехи математических наук». Теперь же, начиная с этого выпуска, издательство «Мир» намерено 'систематически публиковать полные') переводы докладов на семинаре Н. Бурбаки. Настоящее издание стало возможным благодаря любезному содействию Французского математического общества и в особенности проф. М.
Эрмана — главного редактора журнала «Астериск», где публикуются оригинальные труды семинара Бурбаки. В подготовке русского издания трудов семинара Бурбаки при'нимают участие специалисты из разный областей математики— Д. В. Аносов, А. Н. Варченко, А. И. Кострикин, Ю. И. Манин, ') Правда, доклад П, Картье был помещен ранее во втором иэ упомянутых выше сборников и здесь не публикуется. УСРЕДНЕНИЕ ! Э. Аттуш А.
И. Кострикиы 1. ВВЕДЕНИЕ '! Семинар Н. Бурбаки з издат«к»стае «Мир» А. Н. Паршин, М. М. Постников, А. А. Разборов, Д. Б. Фукс, А. Н. Ширяев, М. А. Шубин., Нет сомнения, что перевод трудов семинара Бурбаки будет способствовать своевременному ознакомлению специалистов с достижениями мировой математической науки — каждый математик найдет здесь статьи по интересующей его тематике.
Содержание: !. Введение. 2. Примеры. 3. Энергетический метод и метод компенсированной компактности. 4. Вариационная сходнмость. Методы Г- и ер!-сходнмости. Гь Сравнение различных методов. 6. Усреднение с неполной информацией. Стохастическое усреднение. В последние годы наблюдается значительный прогресс в изучении и использовании композитных материалов в основном в передовых областях технологии (новые материалы, атомная промышленность, космонавтика, ...).
Хотя структура этих материалов может быть очень разнообразной (слоистые структуры, волокна, пористые материалы), их общее свойство заключается в том, что они являются смесью различных хорошо перемешанных мелкозернистых компонент. Главная трудность, которая встречается при изучении физических уравнений, описывающих подобные материалы, заключается в том, что различные физические параметры (коэффициенты электропроводностй, упругости) разрывны и могут изменяться очень сильно от одной составляющей к другой. Численные методы типа метода А11опсь Неду.
Ногпоиепе1за11оп,— Беш. ВопгьзЫ, 1987 — 88, № 686, Аз1егыйпе, 161 — !62, 1988, р. 7 — 30. ') В предлагаемом вниманию читателя кратком обзоре Г. Аттуша затронут ряд глубоких результатов, связанных с обоснованием принципа усреднения для уравнений с частными производнымн, однако здесь не упоми-, яается о многих важных результатах, полученных в более позднее время.
Читателю, интересующемуся дальнейшими результатами и более конструктивными вопросами вычисления усредненных характеристик, рекомендуется обратиться, например, к обзору Козлова (49) и библиографии в нем.— !7рим. перез. © перевод на русский язык, А. Л. Пятницкий, 1990 3. Аттуш Усреднение конечных элементов, основанные на дискретизации, становятся здесь несостоятельными. Действительно, чтобы учесть условия перехода от одной составляющей к другой нужно выбрать шаг дискретизации очень малым в масштабе неоднородности микроскопической структуры материала; при этом 'время и стоимость расчетов становятся соответственно чрезмерно высокими. Теория усреднения основывается на следующей идее: когда компоненты смеси хорошо перемешаны, микроскопическая структура материала становится очень сложной, в то время как с микроскопической точки зрения его можно приближенно рассматривать как идеальный усредненный материал.
Целью теории усреднения является изучение этой проблемы, причем предпочтительнее рассуждать в терминах задачи усреднения, чем в терминах усредненного материала, поскольку процесс усреднения зависит от исследуемого физического явления. Численная обработка усредненной задачи выполняется классическими методами. Таким образом, возникает такой численный подход, который обусловлен развитием теории усреднения. Мы рассмотрим и другие применения этой теории (управление, оптимальное планирование...).
Не вдаваясь в подробности, скажем сразу, что изучение процесса усреднения затрагивает весьма тонкие математические задачи. Помимо технологической важности изучаемого объекта большое любопытство вызывает появление в некоторых задачах усреднения членов, называемых «инородными», что привело к появлению множества математических работ. Существует столько же задач усреднения, сколько физических задач, законов согласования и граничных условий (когда граничные условия играют роль на микроскопическом уровне, как это происходит в пористых, шероховатых и трещиноватых материалах).
Мы постараемся подробнее описать функционально наиболее общие методы как для линейных, так и для нелинейных задач, делая упор на: а) энергетические методы с использованием техники типа компенсированной компактности, развитой Мюра и Тартаром [31], [34], [41]... б) вариацнонные методы, использующие понятия вариационных сходимостей (Г-сходимость, ер1-сходимость, сходимость Моско), введенных Де Джорджи [20], Моско [30],"Аттушем и Уэтсом [7] ... и применяемых при усреднении в работах Марчеллинп [28], Карбоне [13], Дал-Масо и Модика [19], Аттуша и Буттазо [4]...
Будут рассмотрены также и другие методы в равной степени интересные с точки зрения решения задач усреднения, а именно: в) метод многомасштабных асимптотических разложений (см. Бенсуссан, Ж.-Л. Лионе, Папаниколау [9], Санчес-Пален- сия [38]), применяемый, в частности, при изучении линейных задач; г) стохастические методы, когда задача имеет вероятностную интерпретацию, см. Папаниколау, Варадан [36],Юринский [46].') В дополнение к перечисленным работам укажем еще несколько из большого числа работ, посвященных этой тематике: Бенсуссан, Ж.-Л. Лионе, Папаниколау [9], СанчесПаленсия [38], Аттуш [1], Марченко, Хруслов [29], Ж.-Л.
Лионе [26], Бахвалов, Панасенко [8]. 2. ПРИМЕРЫ В основном нас будут интересовать две модельные ситуации, важные е точки зрения применения различных методов, упомянутых выше. Мы рассмотрим краевые задачи, заданные в ограниченной регулярной области з1 из [к" (Ат = 1, 2, 3 в приложениях). Отметим, что х ее 11 — пространственная переменная, а к — действительная строго положительная величина, характеризующая «периодичность» микроскопической структуры. Сначала мы изучим детерминированную периодрческую структуру (в дальнейшем речь пойдет о задаче стохастического усреднения).
В этом случае, обозначив через У=[0, 1[" единичную клетку в ['", мы рассмотрим е-периодическую структуру в ак", заданную на кУ. 2.1. Уравнение элаитростатини Будем считать различные компоненты смеси однородными и изотропными. Тогда проводимость материала описывается функцией х эа(-), где си [х"-+- [х+ есть заданная У-периодическая функция. Для наглядности мы сначала рассмотрим материал, составленный из двух компонент с проводимостями а и р соответственно.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
