Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Если в области з) имеется плотность заряда 1 ([ее 7.з(Я)), а на ее границе удерживается заданный потенциал ио, то равновесный потенциал и: Й вЂ” [х есть решение следующей вариационной задачи: И) ет[Я ( )~о О)~е* — [Пе (Ее*:.=.. - ео]. ') Более полное решение задачи усреднения случайной структуры было дано Козловым в [501, см. также обзор [50 по усреднению различных случайных структур. — Прил, перел. Усреднение Э.
Аггуш (4) (2) имеем .Ои, = — $,. ! ае (5) получим (6) Риа !. 'д дх — д(ч (а ( — ) Ни,) = )' на й, и,=ие на дуг. находим (2е) (7) уравнение Эйлера которой имеет вид — д(ч(а ( — )Ои(х)) =1(х) на й, и=и, на д11. В реальной физической задаче е равно некоторому ее, малому, но конкретному. Как было объяснено выше, задачи (1), (2) корректно поставлены математически, но их численное решение затруднено. Идея теории усреднения — рассматривать в изучае- мых уравнениях а как параметр и устремить его к нулю.
Про- делав это для каждого е ) О, найдем решение и, системы урав- нений Вопрос в том, как перейти к пределу в (2,), когда з- О. Полагая + со ) Р ) а ) О, имеем а,(х):=а( — 1 = а>Она е Я. Из неравенства Пуанкаре получаем, что последовательность (и,; е-е- 0) ограничена в Н!(11) и, следовательно, слабо относительно компактна в Н'(Я). Поэтому можно выбрать подпоследовательность (которая также обозначается и,), такую, что и, и в Н'(11) слабо. Полученная информация: а ( —,) — ~ а (у) ду в Е" *-слабо, г .0и, Ни в 1.е слабо не позволяет перейти к пределу в (2,), так как произведение двух слабо сходящихся последовательностей не сходится, вообще говоря, даже в смысле распределений.
Весьма показателен переход к пределу в случае М = 1. Вводя эе = аейие, Последовательность Д,; г — е.О) ограничена в ье(Я) так же, как д и последовательность производных ~ — „$е: а~ 0~ (поскольку 61ч= —, когда Н = 1). Поэтомуона ограничена в Н!(Я) и, следх довательно, относительно компактна в ье(11) согласно теореме Реллиха — Кондракова. В результате можно перейти к пределу в (5). Обозначив через $ предел Ке-еК в Ь по норме, Переходя к пределу в смысле распределений в равенстве Объединяя (6) и (7), приходим к соотношению д ! ди (е) е* (1 1) Коэффициент усредненного уравнения в одномерном случае ра- 1 — 1 е!е.
°,() —,), -.--- --!', --.. -Е г Когда обе компоненты одинаково распределены, усредненная проводимость вычисляется как среднее гармоническое се и Р. Этот довольно простой результат относится к одномерному случаю. Элементарный физический анализ показывает, что в 13 усреднение 12 'а»(рв "мв«ернал" Рнс, 2. Рнс. 4. 1/л [ 1/д Рнс.
3 с в Ли+Си=) на Й, и=О на д11; двумерном случае геометрическое распределение (а не только количественное соотношение) различных компонент будет играть важную роль: взять, например, слоистую структуру с «изолируемыми» включениями. Предположим, что а мало по сравнению с р. Тогда материал будет хорошим проводником в направлении х и плохим в на- правлении у. Усредненный материал будет наследовать эти свойства, что можно резюмировать следующим образом: при усреднении смеси однородных изотропных материалов усредненный материал, вообще говоря, не изотро- пен. Интересен пример шахматной аль структуры: рассматривается И = у = =) О, 1[», состоящая из пе элементарных квадратов со стороной — (см.
1 а «се л рис. 3). На рисунке коэффициент ус- редненного уравнения равен среднему геометрическомуа и б: аь = 1(гаф '). Начиная с размерности 3 для шахматной структуры неизвестна формула, дающая ав, как функцию а и р (о((щие формулы, которые будут приведены далее, требуют решения вспомогательных вариационных задач).
'2.2. Течение жидкостей в пористой среде Математические модели, которые мы описываем ниже, сознательно упрощены (мы будем рассматривать, в частиости,скалярную задачу вместо векторной задачи типа Стокса или Навье — Стокса), но содержат относительно важные элементы усреднения реальных задач. ') Эта формула была получена в работе Келлера 152) Обобщенне этого примера см. у Диане 153). — Лрим.
перев. Рассматривается область 11 с множеством мелких «дырок», обозначаемых (Т,,;;(ен)(з)). Материал Я,=1)1 Ц Т,; обра(мг(е> зован дополнением к множеству дырок. Для того чтобы рассчитать плотность вещества предположим, что все дырки Т,,( получаются путем сдвига на вектор Й, г( ен х,п, гомотетического сжатия г,Т множества Т я у (с г, < 1): Предполагая, что. жидкость вязкая, зададим краевые условия Дирихле: и = О на да)е = дТе [.) да1«где Та = Ц Те, ( « (е) Итак, требуется исследовать краевую задачу, заданную в пер- фор ированной области Я, (ее граница не связна и распадается на множество компонент): 1 — Ьи,=у на Й, ( е) и, = О на дщ, = дТ, ()дал. Вариациоиная постановка этой задачи принимает вид (««> иг [«[~о(пг«,— [(.«*: е((о( ° ~,=о г.) Я и ' Исследование предельного поведения при з-» О задач этого типа зависит в действительности от величины г, или, иначе говори, от плотности дырок.
Когда г, оказывается того же порядка, что и е, действует закон Дарси, когда г, порядка епГ(п-е>(Л( = 2)— закон Бринкмана. Мы вернемся в дальнейшем к этим примерам. Упомянем о появлении в законе Бринкмана «дополнительного члена» в предельном уравнении: и, и в Н((Я) слабо, где и— решение задачи ' Тб Усреднение !4 д.
Атту!и здесь С вЂ” положительная константа, которую можно выразить в терминах гармонической мощности дырки Т в Ри, Перейдем теперь к описанию математического аппарата, позволяющего изучать указанные выше задачи. 3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД И МЕТОД КОМПЕНСИРОВАННОЙ КОМПАКТНОСТИ Энергетический метод можно охарактеризовать следующим образом: сначала получают равномерные оценки для (и,; е — 0), затем переходят к пределу в последовательности рассматриваемых задач, умножая их на различные пробные функции, подобранные подходящим образом. Пробных функций нужен достаточный запас, чтобы иметь возможность найти предельную задачу.
Главная трудность здесь, как мы отмечали, в том, чтобы перейти к пределу в произведении слабо сходящихся последовательностей..Метод компенсированной компактности в большинстве ситуаций позволяет обойти эту трудность. Для двух слабо сходящихся в ье(й) последовательностей (и„'е - О) и (о,; е - О) классический метод компактности может быть сформулирован следующим образом: предположим, что все первые производные последовательности (о,; е — ~0) ограничены в 32(й). Тогда последовательность (о„е — О) ограничена в Н' (й) и, следовательно, относительно компактна в (.2(й) согласно теореме Реллиха — Кондракова.
Из соотношений и, и слабо в Т.2(й) Ое н О СИЛЬНО В 32(й) следует и,о, — ио в П'(й) (в действительности в о(Т.!, Е.")1). В обсуждаемом случае компенсированной компактности полагают, что некоторые производные и, ограничены и некоторые производные о, ограничены, причем информация о о, должна быть в некотором смысле дополнительной к тому, что известно об и, для того, чтобы скомпенсировать отсутствие информации о части производных и,. Наиболее известным результатом является теорема типа дивергенция — ротор (Мюрат )31), Тартар )41)).
Прежде чем ее сформулировать, введем некоторые обозначения: для заданного распределения и ~ (П'(й))и, й— открытое множество в Рн, обозначим г~ ди йчи =~ —, !-! го(и = ~ — — —; 1 с, 1- 'Л!) ~П'(й) (, дх дх! ' Символами (, ) и ) ~ будем обозначать скалярное произведение и норму в С!и: (х, у)= ~ хоуп )х)=п/(х, х). ! ! Введем следующие два пространства: Х(й) =(и ее Т.е(й)", йчи ее Т.е(й)), У (й) = (о ее 2.' (й), го! о ее 2, (й)" ), с набженные нормами )!и!!х!а!=(!1и!! 2, и+110!та(! 2, )'и, !/2 1! о ~)т —— ()~ о))се и!и+ )! го! о ~~ 2 Теорема 3.1. Пусть последовательности (и,; е — е-0) и (о,; е — ~ О) удовлетворяют следующим условиям: и,- и в (ХУ(й))"" и ограничена в Х(й), о,— е-о в (!.2(й))и и ограничена в У(й). (и„о,) — н(и, о) в ТУ(й). Покажем, как описанная выше техника применяется в при- мере 1.
Сформулируем сначала более общий результат о сходи- мости, который охватывает также нелинейные ур авнения. Теорема 3.2. Для каждого е ) 0 определим и, из уравнения — йч А ( — ", Юа,(х)) = ~(х) в й, (3.1) на дй, и,=ио в котором А: Ри)( Ри- (ки удовлетворяет при некоторых О ( ( Хо ( Ло ( + оо следующим условиям: (!) А(, г) У-периодична; (й) (А (у, г,) — А (у, г,), г, — г,) > е.о ~ г, — г, (2 !!г'у ее Р', Уг!, го е= ь:н; (ш) ) А (у, ге) — А (у, г!) ) ~( Ло ) го — г, ) '!ту я И", т г„ге е= К".
Тогда и, — и в Н'(й) слабо, где и есть решение уравнения (3.2) ~ 32 — о(ч(Аьо (1)и))=1 в й, и=ио на дй и для каждого г е= (к" (3.3) Аьи (г) = ~ А(у, г+Юсв,(у))ду; т 17 Усреднение 1а Э. Аттуш С другой стороны < б(ч А (у, г + Ото, (у)) = 0 в 1' те, У-нериодична. (3.4) в Е,'(И)н слабо, в Т.е(И)н слабо, в ~,'(И)н слабо. Ои, — Ои Оо,— иг ие 4 ( 11ие) ' (3.5) Таким образом, ие-ии в Н',(И) слабо $е-и$ в ье(И) слабо. (3.6) о, (х) = (г, х) + еш, ( — '), (3.8) тее оаРеделкетск как Решение ваРиаЦионной задачи Доказательство теоремы 3.2. Непосредственно из гипотез (В) и (ш) следует, что последовательность (и„е- 0) ограничена в Н'(И).
Введем обозначение: Согласно (ш) последовательность (з,) ограничена в (Ее(И))". Следовательно, можно выделить подпоследовательность так, что Переходя к пределу в смысле распределений в равенстве — д)ч$,=1 в И, получим (3.7) — 81ч$=1' в И. Проблема заключается в установлении связи между $ и и1 Введем следующие пробные функции: для каждого фиксированного г~ Рн положим: где ш, — решение (3.4). В силу монотонности А для всех г ~ Р" и всех положительных ер Й О(И) имеем (3 9) ~ ер(х~ ~ '1 ( е, Оие) (е Осе) Оие Осе ) йх)~ О.
В (3.9) можно перейти к пределу с помощью теоремы 3.1. В са- мом деле: 11йч А( —, Ои,) = — Т ограничена в 7.т(И), Йч А ( —, Оо,) = д(ч А ( —, г + Ове ( — )) = 0 по построению то„ го1 (Ои,) = го1 (Оо,) = О. ,1 1' " Ои ) — +.Е в Ае(И) слабо, е' А(х О 1=А( °, г+Оше( ° ))( — )-и ~ А(у + ое У ~ ~р (х) (~ (х) — Аье (г), Ои (х) — г) йх =е О.. Поскольку это неравенство справедливо при всех положительных у е= О(И), то после локализации имеем: ф (х) — А"' (г), Ои (х) — г) ) О еУг ее Рн. Из строгой монотонности Аье (которую легко вывести из формулы (3.3)) следует Е(х)=Аье (Ои(х)), что в сочетании с (3.7) дает — 41ч(А~ (Ои)) =)' -в И. Это и есть усредненное уравнение. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
