Главная » Просмотр файлов » Труды семинара Бурбаки за 1988 г

Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 2

Файл №947402 Труды семинара Бурбаки за 1988 г (Семинар Н. Бурбаки) 2 страницаТруды семинара Бурбаки за 1988 г (947402) страница 22013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Если в области з) имеется плотность заряда 1 ([ее 7.з(Я)), а на ее границе удерживается заданный потенциал ио, то равновесный потенциал и: Й вЂ” [х есть решение следующей вариационной задачи: И) ет[Я ( )~о О)~е* — [Пе (Ее*:.=.. - ео]. ') Более полное решение задачи усреднения случайной структуры было дано Козловым в [501, см. также обзор [50 по усреднению различных случайных структур. — Прил, перел. Усреднение Э.

Аггуш (4) (2) имеем .Ои, = — $,. ! ае (5) получим (6) Риа !. 'д дх — д(ч (а ( — ) Ни,) = )' на й, и,=ие на дуг. находим (2е) (7) уравнение Эйлера которой имеет вид — д(ч(а ( — )Ои(х)) =1(х) на й, и=и, на д11. В реальной физической задаче е равно некоторому ее, малому, но конкретному. Как было объяснено выше, задачи (1), (2) корректно поставлены математически, но их численное решение затруднено. Идея теории усреднения — рассматривать в изучае- мых уравнениях а как параметр и устремить его к нулю.

Про- делав это для каждого е ) О, найдем решение и, системы урав- нений Вопрос в том, как перейти к пределу в (2,), когда з- О. Полагая + со ) Р ) а ) О, имеем а,(х):=а( — 1 = а>Она е Я. Из неравенства Пуанкаре получаем, что последовательность (и,; е-е- 0) ограничена в Н!(11) и, следовательно, слабо относительно компактна в Н'(Я). Поэтому можно выбрать подпоследовательность (которая также обозначается и,), такую, что и, и в Н'(11) слабо. Полученная информация: а ( —,) — ~ а (у) ду в Е" *-слабо, г .0и, Ни в 1.е слабо не позволяет перейти к пределу в (2,), так как произведение двух слабо сходящихся последовательностей не сходится, вообще говоря, даже в смысле распределений.

Весьма показателен переход к пределу в случае М = 1. Вводя эе = аейие, Последовательность Д,; г — е.О) ограничена в ье(Я) так же, как д и последовательность производных ~ — „$е: а~ 0~ (поскольку 61ч= —, когда Н = 1). Поэтомуона ограничена в Н!(Я) и, следх довательно, относительно компактна в ье(11) согласно теореме Реллиха — Кондракова. В результате можно перейти к пределу в (5). Обозначив через $ предел Ке-еК в Ь по норме, Переходя к пределу в смысле распределений в равенстве Объединяя (6) и (7), приходим к соотношению д ! ди (е) е* (1 1) Коэффициент усредненного уравнения в одномерном случае ра- 1 — 1 е!е.

°,() —,), -.--- --!', --.. -Е г Когда обе компоненты одинаково распределены, усредненная проводимость вычисляется как среднее гармоническое се и Р. Этот довольно простой результат относится к одномерному случаю. Элементарный физический анализ показывает, что в 13 усреднение 12 'а»(рв "мв«ернал" Рнс, 2. Рнс. 4. 1/л [ 1/д Рнс.

3 с в Ли+Си=) на Й, и=О на д11; двумерном случае геометрическое распределение (а не только количественное соотношение) различных компонент будет играть важную роль: взять, например, слоистую структуру с «изолируемыми» включениями. Предположим, что а мало по сравнению с р. Тогда материал будет хорошим проводником в направлении х и плохим в на- правлении у. Усредненный материал будет наследовать эти свойства, что можно резюмировать следующим образом: при усреднении смеси однородных изотропных материалов усредненный материал, вообще говоря, не изотро- пен. Интересен пример шахматной аль структуры: рассматривается И = у = =) О, 1[», состоящая из пе элементарных квадратов со стороной — (см.

1 а «се л рис. 3). На рисунке коэффициент ус- редненного уравнения равен среднему геометрическомуа и б: аь = 1(гаф '). Начиная с размерности 3 для шахматной структуры неизвестна формула, дающая ав, как функцию а и р (о((щие формулы, которые будут приведены далее, требуют решения вспомогательных вариационных задач).

'2.2. Течение жидкостей в пористой среде Математические модели, которые мы описываем ниже, сознательно упрощены (мы будем рассматривать, в частиости,скалярную задачу вместо векторной задачи типа Стокса или Навье — Стокса), но содержат относительно важные элементы усреднения реальных задач. ') Эта формула была получена в работе Келлера 152) Обобщенне этого примера см. у Диане 153). — Лрим.

перев. Рассматривается область 11 с множеством мелких «дырок», обозначаемых (Т,,;;(ен)(з)). Материал Я,=1)1 Ц Т,; обра(мг(е> зован дополнением к множеству дырок. Для того чтобы рассчитать плотность вещества предположим, что все дырки Т,,( получаются путем сдвига на вектор Й, г( ен х,п, гомотетического сжатия г,Т множества Т я у (с г, < 1): Предполагая, что. жидкость вязкая, зададим краевые условия Дирихле: и = О на да)е = дТе [.) да1«где Та = Ц Те, ( « (е) Итак, требуется исследовать краевую задачу, заданную в пер- фор ированной области Я, (ее граница не связна и распадается на множество компонент): 1 — Ьи,=у на Й, ( е) и, = О на дщ, = дТ, ()дал. Вариациоиная постановка этой задачи принимает вид (««> иг [«[~о(пг«,— [(.«*: е((о( ° ~,=о г.) Я и ' Исследование предельного поведения при з-» О задач этого типа зависит в действительности от величины г, или, иначе говори, от плотности дырок.

Когда г, оказывается того же порядка, что и е, действует закон Дарси, когда г, порядка епГ(п-е>(Л( = 2)— закон Бринкмана. Мы вернемся в дальнейшем к этим примерам. Упомянем о появлении в законе Бринкмана «дополнительного члена» в предельном уравнении: и, и в Н((Я) слабо, где и— решение задачи ' Тб Усреднение !4 д.

Атту!и здесь С вЂ” положительная константа, которую можно выразить в терминах гармонической мощности дырки Т в Ри, Перейдем теперь к описанию математического аппарата, позволяющего изучать указанные выше задачи. 3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД И МЕТОД КОМПЕНСИРОВАННОЙ КОМПАКТНОСТИ Энергетический метод можно охарактеризовать следующим образом: сначала получают равномерные оценки для (и,; е — 0), затем переходят к пределу в последовательности рассматриваемых задач, умножая их на различные пробные функции, подобранные подходящим образом. Пробных функций нужен достаточный запас, чтобы иметь возможность найти предельную задачу.

Главная трудность здесь, как мы отмечали, в том, чтобы перейти к пределу в произведении слабо сходящихся последовательностей..Метод компенсированной компактности в большинстве ситуаций позволяет обойти эту трудность. Для двух слабо сходящихся в ье(й) последовательностей (и„'е - О) и (о,; е - О) классический метод компактности может быть сформулирован следующим образом: предположим, что все первые производные последовательности (о,; е — ~0) ограничены в 32(й). Тогда последовательность (о„е — О) ограничена в Н' (й) и, следовательно, относительно компактна в (.2(й) согласно теореме Реллиха — Кондракова.

Из соотношений и, и слабо в Т.2(й) Ое н О СИЛЬНО В 32(й) следует и,о, — ио в П'(й) (в действительности в о(Т.!, Е.")1). В обсуждаемом случае компенсированной компактности полагают, что некоторые производные и, ограничены и некоторые производные о, ограничены, причем информация о о, должна быть в некотором смысле дополнительной к тому, что известно об и, для того, чтобы скомпенсировать отсутствие информации о части производных и,. Наиболее известным результатом является теорема типа дивергенция — ротор (Мюрат )31), Тартар )41)).

Прежде чем ее сформулировать, введем некоторые обозначения: для заданного распределения и ~ (П'(й))и, й— открытое множество в Рн, обозначим г~ ди йчи =~ —, !-! го(и = ~ — — —; 1 с, 1- 'Л!) ~П'(й) (, дх дх! ' Символами (, ) и ) ~ будем обозначать скалярное произведение и норму в С!и: (х, у)= ~ хоуп )х)=п/(х, х). ! ! Введем следующие два пространства: Х(й) =(и ее Т.е(й)", йчи ее Т.е(й)), У (й) = (о ее 2.' (й), го! о ее 2, (й)" ), с набженные нормами )!и!!х!а!=(!1и!! 2, и+110!та(! 2, )'и, !/2 1! о ~)т —— ()~ о))се и!и+ )! го! о ~~ 2 Теорема 3.1. Пусть последовательности (и,; е — е-0) и (о,; е — ~ О) удовлетворяют следующим условиям: и,- и в (ХУ(й))"" и ограничена в Х(й), о,— е-о в (!.2(й))и и ограничена в У(й). (и„о,) — н(и, о) в ТУ(й). Покажем, как описанная выше техника применяется в при- мере 1.

Сформулируем сначала более общий результат о сходи- мости, который охватывает также нелинейные ур авнения. Теорема 3.2. Для каждого е ) 0 определим и, из уравнения — йч А ( — ", Юа,(х)) = ~(х) в й, (3.1) на дй, и,=ио в котором А: Ри)( Ри- (ки удовлетворяет при некоторых О ( ( Хо ( Ло ( + оо следующим условиям: (!) А(, г) У-периодична; (й) (А (у, г,) — А (у, г,), г, — г,) > е.о ~ г, — г, (2 !!г'у ее Р', Уг!, го е= ь:н; (ш) ) А (у, ге) — А (у, г!) ) ~( Ло ) го — г, ) '!ту я И", т г„ге е= К".

Тогда и, — и в Н'(й) слабо, где и есть решение уравнения (3.2) ~ 32 — о(ч(Аьо (1)и))=1 в й, и=ио на дй и для каждого г е= (к" (3.3) Аьи (г) = ~ А(у, г+Юсв,(у))ду; т 17 Усреднение 1а Э. Аттуш С другой стороны < б(ч А (у, г + Ото, (у)) = 0 в 1' те, У-нериодична. (3.4) в Е,'(И)н слабо, в Т.е(И)н слабо, в ~,'(И)н слабо. Ои, — Ои Оо,— иг ие 4 ( 11ие) ' (3.5) Таким образом, ие-ии в Н',(И) слабо $е-и$ в ье(И) слабо. (3.6) о, (х) = (г, х) + еш, ( — '), (3.8) тее оаРеделкетск как Решение ваРиаЦионной задачи Доказательство теоремы 3.2. Непосредственно из гипотез (В) и (ш) следует, что последовательность (и„е- 0) ограничена в Н'(И).

Введем обозначение: Согласно (ш) последовательность (з,) ограничена в (Ее(И))". Следовательно, можно выделить подпоследовательность так, что Переходя к пределу в смысле распределений в равенстве — д)ч$,=1 в И, получим (3.7) — 81ч$=1' в И. Проблема заключается в установлении связи между $ и и1 Введем следующие пробные функции: для каждого фиксированного г~ Рн положим: где ш, — решение (3.4). В силу монотонности А для всех г ~ Р" и всех положительных ер Й О(И) имеем (3 9) ~ ер(х~ ~ '1 ( е, Оие) (е Осе) Оие Осе ) йх)~ О.

В (3.9) можно перейти к пределу с помощью теоремы 3.1. В са- мом деле: 11йч А( —, Ои,) = — Т ограничена в 7.т(И), Йч А ( —, Оо,) = д(ч А ( —, г + Ове ( — )) = 0 по построению то„ го1 (Ои,) = го1 (Оо,) = О. ,1 1' " Ои ) — +.Е в Ае(И) слабо, е' А(х О 1=А( °, г+Оше( ° ))( — )-и ~ А(у + ое У ~ ~р (х) (~ (х) — Аье (г), Ои (х) — г) йх =е О.. Поскольку это неравенство справедливо при всех положительных у е= О(И), то после локализации имеем: ф (х) — А"' (г), Ои (х) — г) ) О еУг ее Рн. Из строгой монотонности Аье (которую легко вывести из формулы (3.3)) следует Е(х)=Аье (Ои(х)), что в сочетании с (3.7) дает — 41ч(А~ (Ои)) =)' -в И. Это и есть усредненное уравнение. 4.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,38 Mb
Тип материала
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6552
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее