Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Эииьир Арифметическая структура Ходжа 1Р называется целой, еслн 1Рт '1 = 0 прн нецелых а, Ь. Если Х вЂ” гладкая проектнвиая схема над (), то пусть Нв(Х) обозначает когомологии Веттн Х(С) с коэффициентами в (и, Н; (Х) — гнперкогомологии комплекса де Рама й' . На Нв (Х) имеется убывающая фильтрация гиНвя(Х), называемая фильтрацией Ходжа, и канонический изоморфизм сравнения (3.3) Нв (Х) Э С Нвл (Х) З С.
Полагая В'в=Нв(Х) и для п=р+ д (целые числа) (34) )Р"~'~=/ ()и~НЪл(Х)ЭС)П(1Эр)/ '(Р'Нрл(Х)ЭС), мы получаем разложение Ходжа (3.5) Юв=Нв(Х)ЗС= ® Н~~'~(Х)=ЗВ'"'". и+ » и Так определена целая арифметическая структура Ходжа а (Х) с ннволюцией р', заданной действием р на Х(С). По формуле Кюннета структура, связанная с произведением двух гладких проективных схем Х н У над (1, изоморфна тензорному произведению структур, отвечающих Х и У.
В этом $ мы хотим изучить арифметические структуры Ходжа, связанные с гиперповерхностями Ферма. Они являются целыми,'но допускают удобное выражение в терминах нецелых структур Ходжа, существенных для дальнейшего, которые мы сейчас определим. Обозначим через р группу е,(1)=Нрш(Я/е', Як), двойственную к Я/У. Для векторного пространства у' над Я задание градуировки )г Э С = ® )г (а) равносильно заданию некотои~огх рого допустимого действия й на г', т. е. такого, что стабилизатор любого элемента нз У открыт в,р; У(а) является тогда изотипическим подпространством )г Э С, для характера 1х, определенного элементом а ен (~/е., Для а ~ (,1/Ж вЂ” (О) определена функция у(а): р-» Ск посредством равенства (3.8) у(а)5) =з( — а) Г(( — а)). Обозначим через Е векторное пространство таких функций из р в (~, которые факторизуются через некоторый фактор вида й/пгр и имеют среднее значение, равное нулю.
Для а ~ ()/е, — (О) положим Ек~' "'= Су(а) (3.7) Циклогоиии и значении Г-фиикции Евл= ~. ()у(а) с= Е , ~о (3.8) (3.10) С[Ц= ® Е(и). а я В+ Перейдем к гнперповерхностям Ферма [Ка — ЯЬ; 1)МОЗ, 1; А2, $10). Зафиксируем два целых числа и) 1 и и) 2. Рассмотрим над () гиперповерхность Ферма Х, (или просто Х) в Р„1 степени т, заданную уравнением (3.11) х',"+ ... + х„" = О. То же уравнение определяет гладкую модель Х над 7 [1/п1[.
Символом 1 обозначается вложение Х в Р„1, и положим Нв (Х)мии Нв (Х)/" Нв (1 — 1)' Гиперповерхность Х обладает большой группой автоморфизмов, которая является полупрямым произведением группы Ю„, дейи ствующей перестановками координат, на группу ® ц, профак- 1 торизованную по подгруппе 11, вложенной диагонально. Слел дуя Андерсону, обозначим через Л группу ® ц„. Группа, двой- 1 ! и ственная к Л(С), отождествляется с ~ — У/е.) по формуле л (а, Л)= ЦЛ,-('г> 1 (3.13) Индексом т обозначим подпространства, соответствующие а ~ ек Я/У.
н аннулируемые т. Тогда Е является индуктивным пределом арифметических структур Ходжа Е . Градуировка (3,9) ЕЗС= Я) Е(а) и ож с Е(0)=0 и Е(а)=Ек 1' и отвечает действию 1Ъ на Е по правилу $ е($') =е($' — $) с $, $' ен р, е я Е Обозначим через В+ подмножество В, образованное такими ~ пи[а), что коэффициенты и, положительны.
Обозначим через (~(Е) симметрическую алгебру пространства Е, С [~Ц = (й [Ц Э С. Для а = = ~ п,[а] епВ+ обозначим через Е(а) образ в С;[Е) пространства (ЯЕ(а)" Г. Знньяр 1(иялотомня а нянчения Г-функции л — 2 Ял Нв (Х)рг(н «(Ел» »оп (о! р ~ о Нл — 2 (Х) Вв л (»хл Л= х л-1 11: Н',(Х)Вас = Н;(Х), 1-1 -...-С ! '" л — 2 г'-'... *--'Х о о о — гл 1)*л '»Н1" Ф»» Г(з,)/Г(з,+ ...
+зл) Х (1 — 1! /= Г(зс) обобщающего функцию с очевидными обозначениями. Группа, двойственная к факторчл гРУппе Л(С)/1» (С), ЯвлЯетсЯ подгРУппой 1ч — У/Е), опРедел ленной уравнением ~., а, = О. Символом Н, "2(Х) обозначает»=1 ся изотипическое надпространство для характера а группы Л(С). г 1 Через Ч' обозначается множество таких (аь ..., ал) он~ — л/я./ .
л что а, Ф 0 для всех 1=1, ..., п и ~' а,=О. Тогда имеет мес- 1-1 то следующее (см. 1)МОЯ,ргор. 7.4 и 7.6). Предложение 2. !) Н' (Х)рн ® С= 1-.];) Н, "'(Х). н»н Ч! Для любого а в=- Ч' пространство Н"-2(Х) одномерно иад Я л л и совпадает с Н", (Х)"'1, где г+1= 2 (ас) из+1= 2.; ( — ас). 1 1 Для доказательства сравниваются Н;, (Х) и Нв (У), где У = = Р '(~,Х, и то же самое для когомологий де Рама. Тогда фильтрация Ходжа на Н' (У) интерпретируется в терминах порядка полюса вдоль Х дифференциальных форм на У. Можно пойти дальше и вычислить периоды некоторых дифференциальных форм на 1/.
Для а еп Чс положим в,=тл 'Г((а,)+... +(а ))х, ( лд... х < 'л) — "' Л.. Интегралы формы в, цо определенным хорошо выбранным цик- лам на У(С) вычисляются [ОМОВ,3 7] с помощью вычисле- ния интеграла Н(з, Г)=Г(з)Г(с)/Г(з+1) =~ ия ' Х о Х (1 — и) ' ди . Тогда получается описание (примитивной) арифметической структуры Ходжа на Х.
Теорема 5 [А 2, Т)сш. 10]. Имеется изоморфизм арифметической структурь! Ходжа Н (Х)„в ( — 1) на ((с~л)ь (образованную точками из (с~", неподвижнь!ми относительно »»). Замечание 3. Данный изоморфизм эквивариантен относительно действия группы Л(С), и для всех вон 5„коммутативна сле- дующая диаграмма где Я„действует на (г~" перестановками сомножителей %. Для любой гладкой проективной схемы Х над»( и для любого простого числа 1 определены Радические этальные когомологии Н;(Х) для Х(Ц); это некоторое конечномерное векторное пространство над Я„ снабженное непрерывным действием группы Галуа й. Если Х имеет гладкую проективную модель над л,[1/сп], то это представление неразветвлено вне т.
Имеется канонический изоморфизм сравнения такой, что р*81 соответствует действию р енй на Н;(Х). Изоморфизмы 1! совместимы с изоморфизмом Кюннета. В случае схемы Х=Х„" для каждого простого числа р, не делящего т, можно вычислить след геометрического элемента Фробениуса г(р), действующего на Н;(Х), используя формулу следа Лефшетца, и посчитать число точек Х над полем Гр [см. РМОЬ, 1, ~~ 7]. В нашей ситуации мы получаем в результате следующее [см.
А1, 10.7] Предложение 3. Пусть элемент а ен В Я Во П В+ таков, что и = = и((а) и т(а)/т. А=[(,, ..., „! ( — (2) (,ло, А (л!— 1 Я(иилогомия и эиинеиия Г-фуничии 46 Г. Энньяр Тогда ар(«я)= — „„, "« ~~ ~~ зпп(о)(а, В) '1г(г(р)ав]Н! '(Х,)). аига Вил (С) а я.я Замечание 4. В параграфе б дана интерпретация этого равенства в терминах мотивов, основанная на замечании, что проектор 1 х~ -! р, = — „, аэ 1 зпп (а) (а, В) оз групповой алгебры группы а~я„; ЛЯС« автоморфизмов Х = Х„определяет одномерный фактор комплексного векторного пространства Нв (Х)«н ( — 1) З С, соответствующий при изоморфизме теоремы б некоторому фактору «Ев".
Если отождествить С [Е] с пространством симметрических тензоров на ]Е, то этот фактор совпадет с фактором ]Е(а) пространства С []Е], введенным в 3.10 (это будет выведено из замечания 3). 4. МОТИВЫ И ГРУППА ТАНИЯМЫ [ОМ051 Пусть Х и У вЂ” две гладкие проективные схемы над «'.). Назовем О-линейное отображение 1: Н' (Х) — «.Н' (У) абсолютным соответствием Ходжа, если существует 1) некоторое линейное отображение )ои. Ндя(Х) — «Н'я(У), такое, что [о (ЕРНоя(Х)) с: ЕаНоя(У) для всех р и всех и, и что 1 переводит ГЗ(йс в )ояЗЫс (см.
З.З). Й) для каждого простого числа 1 ()«[6]-линейное отображение 1«: Н,(Х) — «Н;(У), такое, что 1, переводит 1ЗЫ в ! Векторное пространство над О, отвечающее абсолютному соответствию Ходжа, будет обозначаться через С'"(Х, У). Замечание б. Произвольный цикл коразмерности йпп Х в Х)я, У определяет некоторое абсолютное соответствие Ходжа. Символом .Ф обозначим категорию, объектами которой являются гладкие проективные схемы, а морфизмы даются равенством Нанял(Х, У)=С'"(Х, У).
Существует некоторая аффинная групповая схема (см. [РМОЗ, Ру]) д над (г, называемая могивной группой Галуа, такая, что для любой ь)-алгебры Р множество д(Н) образовано Н-лииейнымн автоморфизмами функтора Х эНв(Х)ЗН (из аа' в категорию 11-модулей) совместимых с изоморфизмами Кюниета. По построению группа д действует на Н' (Х).
Кроме того (см. цит. раб.) „имеем: Теорема 6. !) у проредунгивна. В) Для Х, У ~ ОЬ(эУ) имеем С'"(Х, У) = Ного (Нв(Х), Нв(У)). Категория й мотивов (абсолютных мотивов Ходжа) для нас будет категорией (конечномерных алгебраических) представлений группы у над (). Оиа снабжена некоторым тензорным произведением. Для М4= и«У символом а«э(М) обозначается пространство представления М, а через МУ мотив, двойственный к М (контрагредиентное представление); ранг мотива М вЂ” это размерность пространства ыэ(М). Можно получить й исходя из .зу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
