Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Теорема 4. Пусть 6 — некоторая конечная группа с тривиальным центром и пусть Сь ..., С» — ее классы сопряженности Сделаем следующие допущения: а) Классы С» рациональны; в) Семейство (Сь ..., С») жесткое. Пусть, с другой стороны, !ь ..., !» — различные гочки Р1(4!). Тогда существует единственное регулярное расширение Галуа Ег/6(Т) с группой Галуа 6, разветвленной только над 1ь такое, что образующие соответствующих групп инерции лежат в Сс Отметьте, что прн этом не уточняется, какие образующие групп инерции берутся: это не важно, поскольку классы рациональны. С учетом теоремы 3 мы получаем отсюда: Следствие. Если группа 6 допускает некоторое жесткое семейство рациональных классов сопряженности, то выполнено свойство Оа!г(6), и тгм более свойство Оа1 (6).
В частности, группа 6 является группой Галуа некоторого расширения поля «г. Доказательство теоремы 4. Рассмотрим сначала ситуацию над С. Покажем, что 1) существует некоторое расширение Галуа Е поля С(Т) с группой Галуа 6, имеющее желаемые свойства, т. е. неразветвленное вне й н имеющее в качестве образующих групп инерции некоторые элементы классов Сй РК.-П. Серр й) такое расширение единственно с точностью до изоморфизма (то есть если Е и Е' — два таких расширения, то найдется единственный изоморфизм Е-+.Е', коммутирующий с действием группы б и тождественный на С(Т)), [Для доказательства !) выбираются элементы д~ ее Сь ... ..., у»ен С», порождающие б и такие, что уь ....
дх =1. Согласно 9 3 существует гомоморфизм <р: »«1-»-6, который переводит з; в д; для всех 5 Поскольку этот гомоморфизм сюръективен, отсюда следует 1). Далее, предположение о жесткости показывает, что единственный с точностью до внутреннего автоморфизма. Отсюда выводится, что если Е и Е' два расширения типа Ь), то существует гомоморфизм Š— Е', согласованный с действием группы 6; единственность такого гомоморфизма следует из сделанных предположений, в частности, тривиальности центра 6.] Поскольку 1) и В) установлены, то из единственности расширения Е, снабженного действием группы 6, следует, что Е получается расширением скаляров из некоторого расширения поля Я(Т) с группой Галуа 6: для этого достаточно применить общий критерий Вейля для спуска поля определения [34].
(Фактически этот критерий утверждает, что каждая «разумная» проблема над полем К, имеющая единственное решение над алгебраическим замыканием К, имеет, также единственное решение и над самим полем К.) Замечания. 1) Метод доказательства приведенного эскиза был указан мне Делинем; он напоминает прием, использованный Ши [29], $2. Можно было применить и точную последовательность, связывающую группу яь алгебраическую над Я, и геометрическую группу я1 (см. Гротендик [1Ц, ехрозе. Х, р. 253).
Так делал Белый [2]. 2) Имеется' аналог теоремы 4, в котором сохраняется предположение о рациональности классов Сь но поле Я при этом заменяется на его максимальное циклотомическое расширение Я'»". Доказательство остается прежним. Варианты: Существование у группы б некоторого жесткого семейства рациональных классов сопряженности является довольно ограничительным условием (оно, к примеру, не выполнено для группы Ае).
Однако, его можно ослабить, причем сделать это несколькими способами. Ограничусь указанием двух, наиболее простых ситуаций: 1) Переход к группе, большей в два раза. Допустим, что 6' — подгруппа индекса 2 в группе б' с тривиальным центром, допускающей жесткий рациональный трип- Груза»е Галуа аа Гл лет (Сь См Се) (Пример: 6=А,„6'=3„, и~3.) Покажем, что тогда условие Оа1т(б) выполнено.
Согласно теореме 4, существует некоторое регулярное расширение Галуа Е поля»4(Т) с группой Галуа б; иеразветвленное над тремя точками (и ге, ге проективной прямой. Пусть К— подполе Е, неподвижное относительно действия 6. Это некоторое квадратичное расширение поля «1(Т), не разветвленное вне точек Гь (ь г„а потому разветвленное в точности над двумя из этих точек, скажем, над (1 и (е. Элементарно показывается, что К является чисто трансцендентным расширением «1: имеем К= =Я(У) с бе=с(Т вЂ” 1,)((Т вЂ” Г~~, с~Я'. Поскольку Š— это регулярное расширение К с группой Галуа 6, то мы видим, что свойство Оа1т(б) выполнено. 2) Ослабление предположения о рациональности.
Допустим, что группа 6 обладает таким жестким триплетом (Сь Сь Се), что С1 рационален иад «1, С, и Сз рациональны не над (1, а иад квадратичным расширением (4 ( 1/У) и сопряжены друг с другом. (Пример: 6 ='Ае, С1= класс элемента порядка 2; С» и Сз = = классы элементов порядка 5; Н = 5.) Тогда условие Оа1т(6) выполнено. Доказательство этого факта напоминает метод доказательства теоремы 4 со следующим различием: вместо того, чтобы выбирать точки Ге и ге, рациональные над (1, выбираются точки, рациональные над»«(.1/еТ) и сопряженные друг с другом. Относительно других вариантов (и в частности, таких, где используется действие группы кос на я1), я отсылаю к работам Фрида [9], [10] и Матцата [2Ц, [23]. 5.
ПРИМЕР 5.1. (Легкий) Возьмем 6=5„, и) 3 и выберем в качестве Сь С» и С» классы сопряженности цикл длины 2, н — 1 и и. Покажем, что так получается строго жесткий триплет: Задание некоторого элемента де ~ С» равносильно заданию циклического порядка на и буквах, Для того чтобы произведение я1де с некоторой транспозицией д1 = (аЬ) было циклом порядка (п — 1), необходимо и достаточно, чтобы буквы а и Ь были расположены последовательно в следующем порядке: Известно, что тогда д~ и уе порождают б, откуда и Р =Р'. Чтобы показать жесткость, достаточно заметить, что для двух Ж.-П. Серр фигур указанного выше типа существует единственный нзоморфизм одной на другую: (Пример: проверьте, что [Р[=[6), используя формулу (1) из $4, показав, что все члены в сумме справа равны нулю, за исключением тех, что соответствуют двумхарактерам !! степени 1.) 5.2.
(Трудный) Возьмем 6=М (простая группа Грисса — Фишера, т. е. «Монстр»). В качестве Сь Сз, Сз берутся классы типа 2А, ЗВ и 29А в обозначениях АТЛАСа [5]. Согласно Томпсону [30], этот триплет — строго жесткий. Это показывается в два этапа: 1) По формуле (1) из $ 4 с использованием таблицы характеров группы М, данной в [5], сравнительно несложно проверяется, что [Р[=[6). й) Остается проверить, что Р'= Р, т. е. если (дпдз,дз)~Р, то подгруппа, порожденная дь совпадает с М. Если бы это было не так, то эти элементы содержались бы в некоторой максимальной подгруппе в М.
Полный список таких подгрупп известен (в частности тех, которые содержат элемент порядка 29), и чтобы получить противоречие, надо привлечь классификацию простых конечных групп (см. [13], [30]). Не стоит даже говорить, что желательно иметь более простое доказательство.') 5.3. Простые группы Список простых групп 6, для которых свойство Оа1т(6) установлено, постоянно увеличивается.
Без учета ошибок, этот список содержит: 5.3.1. Знакоперемениые группы А„, п ~ 5 (Гильберт [12]): это выводится из случая группы Е„с помощью варианта 1 из $4 (сам этот метод восходит к Гильберту); 5.3.2. Все спорадические группы Мн, ..., Р за исключением лишь группы Матье Мзз, '! Доказательстэо теоремы о классификации простых конечнык групп часто провозглашалось, но никогда не было колкостью описано: одна нэ этапов доказательства так н не опубликовав. Зта етеорема» не доказана э общепринятом смысле этого слова, а ее ренлама является актом веры.
ГРрлаы Галуа аа о 5.3 3 Группы Шевалле типов РЯЕз(Рз), Р 5, если ! — 1= — 1 ~-) — 1: (Я!з!Ь [29]) РИ,з(Р„), р = 1 (шод 4): Т!зошрзоп [ЗЦ; РБР,(Рр), Р)3, р~2, 3(пзос!5): Оеп1хег [6]; 6з(Р ), р.) 5: Т(зогпрзоп [32]; Е (Р ,( „) для бесконечно многих р: Ма1!е [16], Кар. 9 (Отметим отсутствие в списке групп Шевалл ие простое.) евалле над Ре где б— 5.4. Примеры над (~сан Здесь имеется большое преимущество: не иа о аб о рациональности ассм д за отиться Р азобран (не считая оши" рассматриваемых классов сопряженности бки) случай всех спорадических групп ( елый [2], [3]) и валле (Малле [!6]), ° [ ], [ ]) большинства исключительных г уп Ш- рупп е- 5.5. Численные примеры 1алуаЕ,() Т сг пп Допустим, что группа 6 реализуется как транзитивная подать явное описание не всего расширения од- алуа Ег/ьз(Т) с группой 6, но по крайней мере, его подрасши- Наиб олее простой случай — это сама группа Я„: расширение К, связанное с жесткими триплетамн и 5.1 ( ), делить посредством уравнения Р- Х" +Х" '+ Т=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
