Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Для групп нечетного порядка это сделал Нойкрих [26). Для неразрешимых групп (например, для простых неабелевых групп) надо действовать иначе. Наиболее эффективный метод, известный до настоящего времени, состоит в установлении соответствий между расширениями полей Я(Т) и Я. Напомним,, в чем оно состоит. д РАсширения 1й(т) и РАсширения а Пусть Ет — некоторое конечное расширение Галуа поля Я(Т) рациональных функций над (1, и пусть 6 — его группа Галуа. Если придать Т некоторое значение ! ~ !и, не лежащее в определенном конечном множестве 5 =5(Е,), то можно определить «специализацию» Ет (см.
ниже), которая является этальной алгебра над Я (т. е. произведение конечного числа полей), ранга т =[Е,:(г(Т)[ =[ 6[, на которой действует группа 6. Если же Ег является полем, то оио будет некоторым расширением Галуа поля Я с группой Галуа 6, Пример. Если т=2 и Ет — — Я(Т,Х) с Ха= Т, то можно положить 5 =(О). Если Гаев« не принадлежит 5, то Ег совпадает с алгеброй Ц [Х)/(Ха — !), которая изоморфна Я.'зс',«1, если !— квадрат в йг, а в противном случае совпадает с квадратичным полем («(!/! ). Обозначим через 1тг(Ет) множество таких элементов я Я'~5, что Ег является полем. Теорема 2. (Гильберт).
а) Множество !гг(Ет) бесконечно. Ь) Допустим, что Ет — регулярное расширение поля (г(Т),. т. е. (см. Бурбаки, А. Ъ'. 136) что вг алгебраически замкнуто в Ет- Группы Гаева на 0 Ж.-П. Серр Тогда суи(вствуег бесконечная последовательность !ь ..., Г„, ... элементов из 1гг(Ег), такая, что поля Е,, линейно разделены над Ц. Оба этн утверждения являются следствиями теоремы непряводимостн Гильберта, см.
[8], [12], [14]. С другой стороны, из доказательства следует, что «большинство» значений 1ен0'~5 принадлежит 1гг(Ег). К примеру, если ограничиться »~Х, то число 4 с [1]~(йГ, не принадлежащих 1гг(Ег), оценивается сверху величиной 0(у»»о) при у-»- оо. Геометрическая интерпретация алгебр Е». Поле «г(Т) — это поле рациональных функций на проективной прямой Р» над (г. Точно также, Ег совпадает с полем функций на гладкой проективной кривой Е над «г, которая абсолютно неприводима тогда и только тогда, когда Ег является регулярным расширением поля «1(Т). Группа 6 действует точно на Е, а фактор Е/б отождествляется с Р».
Таким образом, можно рассматривать Е как накрытие л: Е-»-Р» с группой Галуа 6. Если Х ~ Р» — множество точек ветвления л (которое непусто при г ) 1), то в качестве 5 можно взять множество таких (ен( ~, которые лежат в Х. Если 1ф5, то слой л-»(!) над ! является конечной этальиой 0-схемой с алгеброй Е».
Тот факт, что Г принадлежит 1гг(Е ), означает, что такой слой сводится к одной точке (с точки зрения схем) или что различные геометрические то(кн слоя л-'(1) сопряжены между собой (другая формулировка: не существует собственной подгруппы Н в 6, такой, что г является образом некоторой рациональной точки из Е/Н). ~риложения к группам Галуа над (г. Если б является некоторой конечной группой, то обозначим через Оа!г(6) и Оа!с(6) следующие два свойства группы 6: Оа!г(6) — существует некоторое регулярное расширение Галуа поля «г(Т) с группой Галуа б.
Оа! (6) — существует бесконечное число расширений Галуа поля «1 с группой Галуа 6, которые линейно разделены друг с другом. Из теоремы 2 в) следует Теорема 3. Оа!г(6) =э- Оа! (6). Более общо, из свойства Оа1г(6) вытекает, что является группой Галуа над любым гильбертовым полем ([14], гл. 9) характеристики нуль. Можно высказать предположение о том, что Оа!г(6) выполнено для любой конечной группы 6: контрпримеров пока не известно. Отметим в связи с этим: а) Из Оа!г(6») и Оа!г(бо) следует Оа!г(6» Х бо): это легко.
Ь) Оа!г(б) справедливо, если б абелева, см. [27]. (Пример» если б порядка 3, то в качестве Ег можно взять расширение, определенное уравнением Хо — ТХ'+ (Т вЂ” 3) Х+ 1 = О с дискриминантом а =(То — 3Т+ 9)о; более того, это расширение даже. универсально в смысле [27].) с) Неизвестно, выполнено ли свойство Оа!г(6) для любой. разрешимой группы; это так для некоторых групп Фробениуса см. [4].
й) Оа!г(6) выполнено для 6=5, и А, (Гильберт [12]). е) Оа!г(б) выполнено для большинства из двадцати шести спорадических групп, см. 3 3. Этот факт выводится из теории «жесткости», резюмированной ниже в 3 4. 3. НАПОМИНАНИЯ О КОНЕЧНЫХ РАСШИРЕНИЯХ ПОЛЯ Начиная поиск расширений поля 11(Т), хорошо сначала построить такие расширения над полем С(Т). Эти последние описываются, как известно, следующим чисто, топологическим способом; Зафиксируем некоторое конечное подмножество г.
=[!», ... ..., 1»] точек проективной прямой Р»(С)вм5о. Следующие объекты соответствуют взаимно однозначно друг другу (по модулк» изоморфизма): 1) конечные расширения С(Т), неразветвленные вне Е,. й) конечнолистные накрытия Р»(С) ',Е. [Если Е/С(Т) неразветвлено вне Е, то ему соответствует накрытие, задаваемое соответствующей кривой Ес-»Рь и остается выколоть точки из Е, Так доказывается импликация 1) =:.й).
«Теорема существования Римана» показывает, что это соответствие является эквивалентностью, см. к примеру [11],. ехрозе Х1Ц В свою очередь объекты типа й) классифицируются с помощью фундаментальной группы л» = л»(Р»(С)'~Е. !о), где Го— некоторая отмеченная точка вне Е.
Более точно, они соответствуют следующим объектам: й!) конечные множества странзитивным действием группы л». [Соответствие устанавливается сопоставлением накрытию его слон, над отмеченной точкой 1о, на котором естественно действует фундаментальная группа л», см. [11], ехрозе (/.] Остается описать ль Для этого выбирается путь с», соединяющий»о с 1о (1(» й) и не проходящий ни через какую из точек 1ь 1чь О, ю'.
Продолжая с» петлей, обходящей г» в положительном направлении, и возвращаясь обратно к»о по тому жепути сь мы получим некоторый элемент з» енл„зависящий от в! Группы Галуа на 0 лС4Г. Серр выбора пути с~ (однвко ею. класс сопряжекностн от этого выбора не зависит). Если с; выбраны хорошо, то группа п1 определяется следующим копредставленнем. и~ —— (з„..., з», з~ ... з» вЂ” — 1). В частности, п~ — это свободная группа с базисом (зь ..., з, ~). (Внимание: если пути с; выбраны не хорошо, то может оказаться„что з; не порождают группу п1!) Этн различные эквивалентности показывают, что конечная группа 6 является, некоторой группой Галуа некоторого расширения поля С(Т), не разветвленного вне у =(Гь ..., Г») в том и только в том случае, когда 6 может быть порождена й элементами дь ..., й», удовлетворяющими соотношению дь ...
..., д»=1 (т. е. может быть порождена й — 1 элементами). Это условие не очень ограничнтельно: достаточно взять й большим. Более серьезная проблема состоит в спуске от С(Т) к «!(Т). Общего способа нахождения такого спуска не известно, однако, по крайней мере, есть один случай, в котором такой спуск строится без особых трудностей («жесткий» случай). 4. ЖЕСТКОСТЬ Пусть 6 — некоторая конечная группа с тривиальным центром, н пусть Сь ..., С»(й ) 3) — классы сопряженности 6. Обозначим через Р =Р(СЬ .', С») множество таких наборов (й'ь, у»)'~С1Х ХС», что уь .... д»=! и обозначим через Р' подмножество Р, образованное такими (яь ..., д»)ее Е=Р, которые порождают 6. Группа 6 действует сопряжением на Р и на Р'. Определение.
Семейство (Сь ..., С») называется жестким, если 6 действует транзитнвно на Р' и если Р' не пусто. Оно называется строго жестким, если Р = Р'. Отметим, что 6 свободно действует на Р'. Поэтому жесткость равносильна условию [Р'[ = [ 6 [, откуда [Р [ ) [ 6 [ (в случае равенства жесткость является строгой). Целое число можно независимо подсчитать с помощью таблицы характеров группы 6: если выбрать с~~ Сь и положить г; =~Уз(се) [= =[6[/[С;), то мы будем иметь (1) [Р[= ~~' Х(с1) ... Х(с»)/Х(1) х где у пробегает множество неприводимых характеров группы 6.
(Упражненяе: если се, ..., с» суть элементы произвольной конечной группы,то покажите, что число таких хь ..., х» ев 6, что х,с,х~ х»с»к» ... х»с»х» =сь, равно [6[» ~ 2(с,)...4(с»)Х х ХХ(се)/Х(1) '. Вывести отсюда (1), полагая се — — 1.) Кроме того, напомним, что класс сопряженности С группы 6 является рациональным над Я нлн просто рациональным, если выполнены следующие эквивалентные условия: (2) Каждый характер 6 принимает на С рациональные значения.
(3) Если с~ С и если (ее Х взаимно просто с порядком элемента с, то с' также принадлежит С (т. е. если образующая некоторой циклической подгруппы 6 принадлежит С, то это же верно н для всех других образующих.) (Пример: все классы сопряженности симметрической группы, нли, более общо, группы Вейля, рациональны.) Теперь можно сформулировать основную теорему данного доклада; с точностью до некоторых вариаций эта теорема принадлежит Белому, Фриду, Матцату и Томпсону см. [2[, [9[, [10[, [18], [22[, [23[, [30).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
