Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В частности, существует бесконечно много ! ен Х, таких, что спе- циализированное уравнение Х" + Х"-' + 1 с группой Гал а Я . (У неприводимо над (1„ алуа „. ( пражнение: покажите, что можно взять 1 = — 1.) Для группы РБИзОР,) порядка 168, вложенной в Зн Малле и Магнат [17] дают следующее уравнение: Х" — 56Хэ+ 609Хз + 1190Х4 + 6356Хз + + 4536ХЯ вЂ” 6804Х вЂ” 5832 — ТХз (Х + 1) О.
Они показывают также, что если специализировать Т в некото-, рое целое число 1, г = — 1 (шод 35), то полученное уравнение б зак ам Ж -П. Серр неприводимо, а его группа Галуа совпадает с РВЕз(Р1). О таком явном результате можно лишь мечтать! -Случай групп РВА!(Р11) и РЯй~(Е!3) также рассмотрен в [17], случай ВЕ3(Рз) — в работе [22], Кар. 111, а случай группы Матье М13 — в [24]. Здесь приведено уравнение степени 12, задающее М13'. Х'3+ 100Хп+ 4050Х'3+ 83700Хз+ 888975Хз-1- + 3645000Хт 10570500Х3 107163000Хз + + 100875375Х1 +-1131772500Хз — 319848750Хз + + 1328602500Х + 332150625 — 9765625ТХ3 = О.
3 ВЕЩЕСТВЕННОСТЬ Можно сформулировать вопрос о локальных свойствах (над ь[р н над 11) расширений поля Я, полученных по методу жесткости. В одном случае можно довольно просто ответить на этот воцрос: для локального поля )с и для расширения Ег/$Х(Т), построенного с помощью теоремы 4 исходя из трех рациональных классов С1, Сз, Сз, удовлетворяющих условию жесткости. В этом случае расширение Ег неразветвлено вне трех рациональных точек (и 13, !3 иа проективной прямой Р1. Поскольку Р1(м) гомеоморфны окружности, то эти точки подразделяют Р!(11) на три сегмента: [Гь !3], [13,13] и [13, 11]. Пусть 1~ Р1(1х) ртличается от 11. Точке 1 соответствует некоторый элемент с! группы б, определенный с точностью до сопряжения, который задает комплексное сопряжение этальной алгебры Е1, отвечающей й Имеем с',=1.
Требуется определить класс с1. Из соображений непрерывности следует, что с! зависит только от сегмента, на котором находится й Пусть для определенности Г лежит межДУ 11 и 13. ВыбеРем (31,зз,зз)~ Р'. Имеем В!зэзз = 1~ з1 ее С1 откуда -1 -1 -1 -1 з1 'зз зз ез" ВЗ =1ю и з!'ЕВС1,зз ез ззееСз,зз'ЯСз, посколькУ классы С! Рациональны. Имея в виду предположение о жесткости, мы заключаем, что существует единственный элемент сее 6, такой, что -! — 1 -1 -1 — 1 -1 ЕЗ,Е =Е1, ЕЗЗЕ =ЗЗ ЗЗЗЗ И ЕЗЗЕ =ЗЗ ° 1"руааз! Гаауа аа 31 Имеем се = 1, и несложно показать, что искомый класс (с1) н есть класс комплексного сопряжения с. Из этого описания с! выводится, к примеру, что с!Ф1, если [6]) 6. В частности, расширения Я,группой Галуа которыхявляются неабелевы про-, стые группы, снабженные жестким триплетом рациональных классов, никогда не являются вполне вещественными.
Было бы интересно посмотреть, что происходит при переходе к другому случаю. 7. ДРУГОЙ ТИП ПРИМЕРОВ: ГРУППА А„ Благодаря Шуру известно, что группа А„допускает един.- ственное нетривиальное расширение А„с помощью группы Х/2Х: 1-» Т/2Х вЂ” !. А„-~ А„— ~ 1. Его можно получить, например, вкладывая А„в 50„(К) и взяв обратный образ в спинорном накрытии ортогональной группы. Поскольку А„является группой Галуа над Я, и даже над О(Т), можно спросить, обладает ли Х„теми же свойствами. Это приводит к следующей проблеме вложения: если Е/К вЂ” некотороерасширение Галуа струнной Галуа А„, то при каком условии можно вложить Е в некоторое такое расширение Галуа Е, группа Галуа которого совпадает с Х,7 Если К вЂ” алгебраическое замыкание поля К, то это эквивалентно тому, что гомоморфизм Оа!(К/К)- А„, отвечающий Е/К, поднимается до некоторого гомоморфизма Оа1(К/К) — ! А„.
Препятствием для такого воднятия является некоторый элемент а„(Е) группы когомологий Нз(Оа1(К/К), Х/2Х). Вычисление а„(Е) легко проводится с помощью следующего результата: Предположим, что характеристика'поля К не равна 2, и обозначим через Е„ подполе элементов, неподвижных относительно подгруппы А„1, имеем [Е„: К] = и.' Отображение Š— Е, заданное правилом х Тге 7к(хз), является некоторой квадратичной формой ранга и над К, инвариант Витта которой совпадает с препятствием а„(Е), определенным выше ([28], теорема 1).
Все сводится поэтому к нахождению примеров, в которых этот инвариант Витта равен нулю. Это сделала Н. Вила [ЗЗ] для некоторых исключительных расширений Галуа 31(Т) с группой Галуа Аа. Она установила, что свойство Оа!г(Х„) выполнено в каждом из следующих случаев: — п — 0 или 1 (шо11 8); — и = 2 (шо11 8) и и — сумма двух квадратов; 69 Грувлм Галун ла 42 Ж.-П. Серр — и†= 3 (гпой8), н п удовлетворяют некоторому условию «А(в, которое на практике всегда проверяется.
Все гТ„обладают свойством ба)г, зто доказано теперь ]Ь[естром, см. Л. о! А!ЙеЬга, )990 (в печати). ЛИТЕРАТУРА [Ц Вауег Р., Ыогеп(е Р., ч!)а Х. М~з полине нгоире де ба!оЬ виг ЕЬ С. К. Асад. Зс!. Рапв 303 (1986), 277 — 280. [2] Белый Г.
В. О расширениях Галуа максимального циклотомического поля(ЛИзв. АН СССР. Сер. матем. 43, 1979, 267 — 276. [3) Ве!у! б. ч'. Оп ехгепв1опв о1 йе шахйпа! сус1о1опнс $!е!д ЬачшН а ЙЬ чеп с1аьв!са! ба!о(ь нгоир, Л. Сге!!е 341 (1983), !47 — 156. [4) Вгиеп А., Лепвеп С., Уи! Х. Ро!упош!а!в злй РгоЬепшв Егоирв о1 рг!ше денгее ав ба1о1в нгоирз П, Л. о$ ХшпЬег ТЬеогу, 24 (1986), 305 — 359. [5] Сопмау Л., Сиг1Ь К., Хог1оп 3., Рагйег К., $(гпвоп Й. АТЬАЗ о1 $!п!!е бгоирз, С!агепдоп Ргезз, Ох1огд, !985.
[6) Реп1хег К. Ксана!египн чоп вушр1еЫ!ьсЬеп бгнрреп а!в ба!о!внгирреп ОЬег $$, Р!р!ошагЬеИ, Каг1вгиЬе, 1987. [7] Реп $)г, А, апд Аг аге ба!о!з нгоирв очег пшпЬег $!е!дв. Л. о$ А18еЬга !04 (1986), 231 †2. [8) Рг!ед М. Оп Н!!Ьег$'в !ггедис1ЫИ(у йеогеш„Л. о$ ХишЬег ТЬеогу, 6 (1974), 2!! †2. [9] Рг!ед М. Р)е1дь о$ деппИ(оп о$ (ипс$юп $!е1дв апд Ниптнх $апппеа, бгоирь ав ба1о!з Егоирв, Сопнп. А12, 5 (1977), 17 — 82.
[10] Рг!ед М. К!8!дну апд аррнса11опз о1 йе с!ахай!са11оп о1 Мшр1е нгоирь го гпоподгошу, ргерг!п1, 1987. [1Ц бгойепд!есй А. Кечмепгеп(в е1а!ев е1 нтоире (опдашепга1 (ЗОА1), Ьес1. Хо1ев 1п Ма1Ь. 224, Зрг!пнет-$гег!ай 197!. [12] Н!!Ьег1 Р. ОЬег д!е 1ггедиЫЫ(на$8апхег га1юпа!ег Рип)г(!опеп шИ иапх- хаЫ!Ееп Кое1Итйеп1еп, Л. Стене 1!0 (1892), 104 — 129 (-бев. АЬК П. 264 — 286). [13] Нип1 Р, С.
Канопа! гь2!дпу апд 1Ье врогад!с нгоирв, Л, о$ А!ЕеЬга 99 (1986), 577 †5. [14] $,апн 3. Рипдашеп1а!ь о$ Р1орнвпппе беоше1гу, Зрг!пНег-Ъ'ег!ан, 1983. [Имеется перевод: Леиг С. Основы диофантовой геометрии.— М.: Мир, 1986.] [15] Ма!!е б. Ро!упопиа!з чдй ба!оЬ атоирв Аи1(Мзз), ййзз апд РЗ(.з(ре2з очег б, в печати.
[16) МаИе б. Еххер1юппепе бгирреп чош Ьдейур а!в ба!о(внгирреп, в печати. [17] Мане б., Ма1ха1 В. Н, Йеанмегипн чоп бгирреп РЗ).ь(рр) а!з ба!о!внгирреп ОЬег $$, Май. Апп. 272 (1985), 549 — 565. [18) Ма1ха1 В. Н, 2иг Копв1гиЫ!оп чоп 2аЫ вЂ” ипд Рипйпопеп1гогрегп шн чогпенеЬепег ба!о)в8тирре, НаЫ!ИанопввсЬг!$1, Каг!зпйе, 1980 (см. также Л. СгеИе 349 (1984), 179 — 220). [19) Майа1 В. Н. Етче( Аврейе 1сопз1гиЬЬчег ба!о!з(Ьеог(е, Л. о$ А!иеьга 96 (1985), 449 — 531. [20] Ма(ха1 В. Н.
ЙеаИв(египн епдИсЬег бгирреп а!з ба!о!внтирреп, Мап. Май. 51 (1985), 253 — 265. [2Ц Майа1 В. Н. Торо!он(всЬе Аи(ошогрЫвшеп 1п дег Ьопз(гиЫ!чеп ба!о(зйеог!е, Л. Стене 371 (1986), 16 — 45. [22] Ма(ха1 В. Н. Копь!гимгче ба1о!зйеог1е, $лс1. Хо1ев ш Май. 1284, Зрг!пнет-'чег1аи, 1987, 286 р.
231 Матха1 В. Н. ЙанопаИу сгИег1а 1ог ба1о!в ех1епьюпз, 1987, в печати. 24] Ма1ха1 В. Н., 2еЬ-Магьсн)ге А. Кеань!египи дег Ма1Ыеиигирреп М» ипд М„а!ь ба!о!ьнгирреп ОЬег б, Л. о1 ХшпЬег ТЬеогу 23 (1986), 195 — 202. 25) ХеимгсЬ Л. Оп ьо1чаЫе пшпЬег Ие1дв, 1пчеп1.
Мв1Ь. 53 (1979), 135 — 164. 26] Шафаревич И. Р. Построение полей алгебраических чисел, имеющих данную разрешимую группу Галуа. Изв. АН СССР 18 1954, 525 — 578. [27] Ба(ппап Р. бепепс ба!о!в ех1епвюпв апд ргоЫешз !п Ие!й 1Ьеогу, Адч. !п Май. 43 (1982), 250 — 283. [28] Зепе Л:Р. $.'!пчаг!ап! де %61 де 1а 1оппе Тг(х'). Сошш. Мапь Не!ч. 59 (1984) 651 †6. [29) БЫЬ К.-и. Оп йе сопМгисноп а( бв!о!ь ех1егвюпв о$1ипс1юп ИеЬЬ, Май. Апп.
207 (1974), 99 — 120. [ЗО] ТЬошрзоп Л. б. Зоим Иппе Егоирв гчЫсЬ арреаг аь ба!($./К), чгЬеге К ~ ЩМ ). Л. о( А!ИеЬга 89 (1984), 437 †4. [ЗЦ ТЬопгрвоп Л. б. РЗ1., апд ба!Ыз Егоирь очег (Л, Ргос. Йифегв нгоирв йеогу уеаг 1983 — 1984, СагпЬгЫЕе Оп!ч. Ргева (1984), 309 — 319. [32) ТЬошрзоп Л. б. Зогпе Инне нгоирв о1 1уре бз гчЫсЬ арреаг ав ба!оЬ нгоирз очег 41, ргерппЬ 1983. [33] Н!!а Х. Оп сеп1га! ех1епв1опв о$ А, аь ба!о!в нтоир очес О, АгсЬ. Май. 44 (1985), 424 †4. [34] %е!! А.
ЧЪе Ием о(. деппгНоп о( а чапе1у, Ашег. Л. Май. 78 (1956), 509 — 524 (=Ое. Зрй П, 291 — 306). 71 1. ПРОБЛЕМА ДЮЛАКА НЕНАКОПЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ Жан-Кристоф Йоккоз Ненаконление предельных циклов О. ВВЕДЕНИЕ Этот доклад можно рассматривать как продолжение доклада„ сделанного Мусею [1] в ноябре 1985 г:, читателю, интересующемуся историей второй части шестнадцатой проблемы Гильберта, мы предлагаем обратиться к этой статье. Гильберт поставил вопрос об определении максимального.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
