Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 14
Текст из файла (страница 14)
числа А!(п) предельных циклов векторных полей на 'Рз, задаваемнх полиномами степени и. (Предельный цикл аналитического векторного поля )г, заданного на поверхности,— это изолированная периодическая траектория поля (г.) Сначала, конечно, требуется разрешить следуюшую гипотезу. Гипотеза конечности. Полиномиальное векторное поле на пло- скости имеет конечное число предельных циклов.
Эта гипотеза следует из результатов, анонсированных Ю. Ильяшенко, с одной стороны, [12], и Ж. Экалем, Ж. Мартине, Р. Мусею и Ж.-П. Рамисом — с другой [2,3]. Ранее в 1923 г. Дюлак опубликовал неверное (но интересное) доказательство истинности этой гипотезы [4]. Пробел в егсг построениях был обнаружен только в 70-е годы. В 1984 г. Ю. Ильяшенко получил доказательство истинности гипотезы для общих векторных полей любой степени (имеющих гиперболические особые точки — см. п. 2) [5], а Бамон несколько позднее вывел из этого, что гипотеза верна для произвольных квадратичных векторных полей [6].
Именно эти результаты были представлены Мусею в 1985 г. Уоссок уеап-Сьг!з1орье. Ноп-ассигпп!а!!оп бе сус!ез 1ппцез.— Зепг'. ВоигЬай1, 1987 — 1988, № 690, Аз!Ег!зцие 161 — 169, 1988, р.' 87 — 103. © перевод на русский язык,, С. И. Трифонов, 1990 Рассмотрим ориентированное слоение с особенностями 8 на аналитической поверхности М, в окрестности каждой точки М определяемое аналитическим векторным полем с изолированными особыми точками.
Назовем сложным циклом С слоения 5 компактное связное множество, являющееся объединением конечного числа особых точек и слоев слоения (У, для которого определено (одностороннее) отображение возвращения ') 1 в следующем смысле: существует трансверсальная слоению 5 аналитическая кривая Т: [0,1]- М, такая что Т(0)ее С, и слой, проходящий через точку Т(1), для достаточно малого 1 первый раз возвращается на кривую Т в точке Т(1(1)). Отображение [ имеет неподвижную точку О, сохраняет ориентацию, аналитична на интервале (О,е), но, вообше говоря, не аналитична в точке О. Проблема Дюлака.
Доказать, что сложный цикл не может быть пределом последовательности предельных циклов, Другими словами, требуется доказать, что если отображение !' не тождественно, точка 0 является изолированной неподвижной точкой этого отображения. Решение именно этой проблемы анонсировали Ильяшенко и Экаль, Мартине, Рамис, Мусею. Из нее следует истинность гйпотезы конечности: полиномиальное векторное поле на плоскости продолжается до слоения с особенностями на проективной плоскости РРЯ ( [7], [8] ), а теорема Пуанкаре — Бендиксона показывает, что компактные изолированные слои такого слоения могут накапливаться только к сло)кным циклам.
К моменту написания этого доклада (середина октября 1987 г.) автору не было известно о существовании хотя бы одного полного текста, содержащего решение проблемы. Но Экаль, Мартине, Мусею и Рамис оказали мне любезность, рассказав свое решение. Я признателен им также за предоставление большого количества своих рукописей.
В этом докладе после нескольких напоминаний (пп. 2, 3, 4) я изложу основные идеи их решения. Х РАЗРЕШЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ Определения. Особая точка ха аналитического векторного поля )г на поверхности называется элементарной, если 0)г(хе) имеет хотя бы одно ненулевое собственное значение; элементарная особая точка называется гиперболической, если оба собственных " В отечественной литературе принятые также названия функция последования, преобразование монодромнн. — Прим, нерее.
Ж.-д. ттояпвз значения вещественны, отличны от нуля и имеют разные знаки. В случае, когда одно из собственных значений обращается в нуль, элементарная особая точка называется полугиперболическай. Согласно теореме Зайденберга [9, 10, 1Ц о разрешении особенностей, при постановке проблемы Дюлака можно считать, что сложный цикл С содержит лишь элементарные особые точки. Немедленно исключается также случай, когда сложный цикл С слоеиия 5 состоит из единственной (элементарной) особой точки р: как показал Пуанкаре в [7], точка р может быть либо центром, либо фокусом, поэтому в этом случае проблема Дю- лака также имеет положительное РФ аз ра решение.
Результат Ильяшенко, получен- ный в 1984 г., упоминавшийся во т, введении, формулируется следую- щим образом: если все особые точт, т, ки сложного цикла С гиперболиче- ские, то сложный цикл С не являетт! ся пределом последовательности предельных циклов. Когда сложный цикл С слоения и! д, р 5 содержит больше одной точки (это мы будем далее предполагать), Рис. !.
существуют целое п) 1, гипербо- лические или полугийерболические особые точки (не обязательно различные) р!... р„, слои С1, ..., С„и аналитические кривые, трансверсальные к 5, обозначаемые через Тс [О, Ц-+.М, которые удовлетворяют следующим свойствам (для удобства обозначений положим рс — — р„, Сс= С„, Тс —— Т„): — с-(П !Р))о(!! с): — С! является сепаратрисой, соединяющей точки р! и р;+1„ ориентированной от р! к рс+1; — Т!(0) = д;ее Сь определены отображения соответствия !!: (Т! — ьд' — !)-~-(Ть д;), и отображение возвращения 1 на Т, разлагается в суперпозицию ) = 7„° ... »1!.
Обозначим через х; координату на Т!. Тогда отображение [1 является гомеоморфизмом интервала [О, е!) на интервал [О, в,'), аналитическим на (О, е;). Нам будет удобнее переносить особую точку 0 на бесконечность и работать с координатой у, = х или с координатой г! — — 1ои у!', будем обозначать через [! ото- и рв и бРажение, записанное в кооРдинатах г; 1, гь и Г! (соответственно [!) — то же отображение в координатах ус 1, у! (соответственно хс ь х;). (В дальнейшем условимся, что неподчеркнутые обозначения (соответственно подчеркнутые 1 раз, 2 раза) будут определять объект, записанный в координатах г (соответственно у, х).) 3. ГипеРБОлические ОсОБые тОчки.
ГРуппА ильяшенкО Пусть точка р = р; является гиперболической особой точкой, лежащей на сложном цикле С, и У вЂ” векторное поле, задающее слоение 5 в окрестности точки р. Так как сложный цикл С допускает отображение возвращения, линейное отображение Йу(р) имеет одно отрицательное собственное значение Х, соот- Тз., ветствующее устойчивой сепаратрисе С; !. в р, и одно .положительное собственное значение Х+, соответствующее неустойчивой сепаратрисе Сь Назовем отношение Х = — Х /Х характеристическим показателем слоения 5 в р) й,] точке р (он не зависит от выбора векторного поля 1').
Рис. 2. Предложение (Дюлак [4]). Отобрагсение соответствия 7! разлагается в асимптотический ряд вида 1!(г) Хг+Ь+ ~ е ! э" 1*Р „(г), тэ-0 »~0 и+с~! где Ь ее Р и Р,,— много«лены. Замечание. В случае когда )с иррационально, многочлены постоянны. Следуя Мартине ( [13]), мы обозначим через й (в честь Дюлака) группу (с операцией «суперпозиция») формальных рядов вида Р (г) = аг + Ь + ~ е '"Р1 (г), Хал где а О, ЬЕБР, Р1еей[г] и Л вЂ” дискретное в Р подмножество из Р+'. С другой стороны, мы обозначим через 3 (в честь Ильяшенко) подгруппу группы ростков в + со аналитических диффеоморфизмов, порожденных отображениями соответствия [ (заданными в координатах г) для всех гиперболических особых точек.
Предложение Дюлака определяет гомеоморфизм с(: 3- й! Ж.-К. г7оппов Теорема (Ильяшенко [5]). Этот гомеоморфизм инъектиеен. Следствие. К сложному циклу С, содержащему только гиперболические особые точки, нг могут накапливаться предельные цикл ьи Действительно, если отображение возвращения 1 не равно тождественному, его асимптотический ряд нетождествен, и поэтому Г не может иметь бесконечно большое число неподвижных точек. Доказательство теоремы основывается на том обстоятельстве, что любой росток [ ~ 3 переписывается в виде суперпозиции некоторого линейного преобразования и преобразования„ продолжающегося до голоморфного ограниченного преобразования области вида (Йе г ) К(1+]1ш г[) иа) для достаточно большого К~ 0; инъективность отображения с( выводится из теории Фрагмена — Линделефа [1, 5].
Экаль, Мартине, Мусею и Рамис усилили результат Ильяшенко, построив обратное отображение д-'. с((3)».3. Мы обсудим это в.п. 5. 4. ПОЛУГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 41, Пусть точка р= р; является полугиперболической особой точкой на сложном цикле С, )г — векторное поле, задающее слоение 6 в окрестности точки р, с 14 г ме»ство и 1» — ненулевое собственное зна- чение линеаризации ТИг(р).
Т~ т Мы будем называть точку р сжимающей, если 1» < О, и раст~ тягивающей, если 1» О. Смена ориентации в слоении 5 меняет сжимающие и растягивающие точки, а также меняет отображения 1 соответствия на обратные отображения. Далее мы будем предполагать, что точка р сжимающая.
Слой С; » является устойчивым инвариантным многообразием точки р; слой Ст касается Рис. 3. Кет 11)г(р) в точке р, и мы обо- значим через г+ 1 ) 2 порядок нуля у ограничения )г[с векторного поля на этот слой. Для лучшего понимания структуры слоения в окрестности полугиперболической особой точки р необходимо комплексифицировать слоение 6, поле )г (и трансверсали Т~ „ Т;) в окрестности точки р. Классификация этих особых точек для комп- 1»енонопление предельны циклов лексных векторных полей была дана Мартине и Рамисом [14, 15, 16, 17]; она основывается на классификации, полученной Экалем ([17, 18], см.
также статью Воронина [19]) для ростков голоморфных диффеоморфизмов (С,О) с тождественной линейной частью. 4.2. Геометрический подход Пересечение комплексифицированного инвариантного многообразия Ст » с окрестностью точки р является проколотым комплексным диском Ю", и голономия (преобразованиемонодромии), соответствующая этому многообразию (точнее, образующему элементу его фундаментальной группы), определяет росток голоморфного диффеоморфизма Ь на трансверсали Т» ь имеющей следующий вид: Ь (х,) = х, + сх,'.+', +..., с = (з, з < О. Рассмотрим малый сектор лй=(х, 0(]х[< 5, ] Агах]< — в~ и пространство 6 орбит итераций диффеоморфизма Ь в этом секторе. Оно является римановой поверхностью (биголоморфной О); если обозначить каноническое отображение ги йй-»-6, то » ! / / / Рвс.
4. отображение соответствия 1» аналитически продолжается на весь сектор 61 и записывается в виде [в = угаси, где дг (6„п(0) )-»- — (Ть ал) — росток голоморфного отображения. Существуют два замечательных продолжения, определяющие различные ростки отображений из (6, п(0) ) в (~С, 0),(с точностью до гомотетии на С); обозначим через ~~+ и ~~ поднятия на сектор йй этих продолжений. Тогда отображения ~г и ~г аналитически продолжаются соответственно на Ж,-д.
Во«кое следующие области: 333+ =~~х, 0<(х»< Ь, — — +е<Агпх< — ", — е~, 2г 2г (! зл 28 =(х, 0<»х»<Ь, — — +а<Атеях< — — е~, 2г 2г и получаются глобальной униформизацией пространств орбит преобразования 6 на Б+ и 63- (эти пространства биголоморфны С*). Можно написать следующее тождество: )! ~щ! о»! =- о! о(! где в+ и о — ростки голоморфных отображений ((С, 0» — (Ть д!). Замечание. 1) Хотя отображение 1! вещественное, функции У~+,Я, и! и 1(, вообще говоря, не являются таковыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
