Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В частности, отображение О',(Х, (»») — «П, Марэ(Х(й), 6»), К»-функция следа Тгасек к, для каждого конечного поля й, пропускается через группу Гротендика и из теоремы плотности Чеботарева вытекает, что на группах Гротендика соответствующее отображение инъектнвно. Предположим теперь, что нам задан морфизм йн Х-»- У схем конечного типа над х",. Для каждого конечного поля й морфизм «р индуцирует отображение»ры Х(а)-»- У(»«) конечных множеств, которое в свою очередь индуцирует два отображения между пространствами функций на этих конечных множествах: отображение обратного образа (»р»)' и суммирование (интегрирование) по слоям (фь)», Эти отображения задаются следующими формулами: (»ра)*: функция 1 на У(й) переходит в функцию 1о»р» на Х(а), (»р»),:функция ) на Х(й) переходит в функцию у~-»Е)(х) на у(а), суммирование ведется по хан(»ра)-»(у). Более или менее ясно, что если К вЂ” комплекс на У, то функция следа обратного образа этого комплекса равна обратному образу функции следа К; Тгасе,„», = (»р„)' (Тгасе, ).
Тот факт, что функция следа производного прямого образа с компактным носителем )г»р»К комплекса К задается формулой Тгасе ,, = (ф ) (Тгасе „), является весьма глубоким (по существу, это принадлежащая Гротендику (01] формула следа Лефшеца). Прежде чем переходить к обсуждению работ Ломона по 1-адическому преобразованию Фурье, полезно напомнить, как формализм Гротендика позволяет рассматривать общее понятие «интегральиого преобразования» в 1-адических когомологиях. Ситуация такова.
Нам задана схема 3 конечного типа над «т., иа которой число 1 обратимо, две 5-схемы конечного типа Х и У и 1-адический пучок У на расслоениом произведении Х )«,з У. Идея состоит в том, что У играет роль ядра нашего интегрального преобразования. Если задан комплекс К на Х, то мы онределЯем комплекс Т , (К) на У как »(Ргт»(Рг,(К) Э У"). ВвидУ формулы следа Лефшеца значение функции следа То-, »(К) на у(й) в точке у, которая лежит над данной точкой з ен о(й), задается формулой у»-» ~ Тгасек х(х) Тгасек «-(х, у), где суммирование ведется по всем точкам х ен Х(й), которые лежат над ген о(й). Другими словами, функция следа комплекса Тр-, » (К) на у(а) получается нз функции следа применением интегрального преобразования, задаваемого функцией следа У" на расслоениом произведении Х(й) Хзы» У(й).
Аналогично можно определить другой вариант Тл-,. интегрального преобразования, задавая Т (К) на У (К) как Н. Катя Работы ктомова !!Ргт. (Рг,'(К) Э У"). ИмеетсЯ естественный моРфизм «забываниЯ носителей», отображающий функтор Тж, ~ в функтор Тл ., который в общем случае совершенно не обязан обладать никакими специальными свойствами. Учитывая все сказанное выше, мы зафиксируем конечное поле я характеристики р, отличной от !, целое число и Ф 1, стандартное аффинное пространство А" над й с координатами хь .... ..., х, и двойственное аффинное пространство с координатами уь ..., у„. Зафиксируем также нетривиальный 1~кзначный аддитивный характер ф поля й.
Как указал впервые Хассе [На], применение аддитивного характера ф к накрытию Артина— Шрайера (изогения Ленга гк — »г — го, д:=Сагй(я), группы С над й) аффинной прямой А' над А' над й задает гладкий !-адический пучок 2' ранга 1 на А ', функция следа которого совпадает с ф на я и равна фа Тгасе»ы на каждом' конечном, расширении й' поля я. Обратный образ 2'о при произвольном морфизме /: с — А' обозначим Мои>., в частности, у нас есть пучок 5~ (т,„к на А" ХА", который мы будем -использовать кгол в качестве ядра при определении двух вариантов РТ«, и РТо,. преобразования Фурье.
Если Я вЂ” пьпоизвольная схема, то, беря обратный образ всей картины на (А К А")з, мы получим преобразования РТж ив и РТо...з из (А")з на двойственную схему (Аа) До сих пор рассуждения использовали формализм Гротендика и были чисто формальными. А именно, мы сделали то, что нужно было сделать (и что Делинь сделал, см. [Пе-3] ) для определения понятия преобразования Фурье на комплексах (а именно, РТ~) на А" над конечным полем, которое индуцирует классическое преобразование Фурье при переходе к функциям следа, и заметили, что РТ~ имеет аналог РТ„который не обладает никакими очевидными свойствами в контексте функций следа. Чудо, возникающее при исследовании преобразования Фурье, содержится в следующей теореме. Теорема 1 (Вердье).
/Тредположим, что схема 5 имеет конечный тип над некоторым расширением поля й, Тогда канонический морфизм «забывания носителей» а: РТа, ~ з — РТа ., в является изоморфизмом. Приведем набросок первоначального доказательства Вердье„ которое, кстати, никогда не было опубликовано.
Легко показать„ что функтор РТж ь в инволютивен с точностью до скручивания Тейта и сдвига градуировки; точнее, композиция РТ», в о РТ-, в [2и] (п) является тождественным функтором. То же верно при замене ф на обратный характер ф.
Функтор, сопряженный к РТ-, з, есть РТч „з так что по сопряженности получаем, что РТч,. з удовлетворяет тем же условиям инволютивности, что и РТя. из. Зафиксировав выбор 1/д, д:=Сагй(й), мы можем делать сдвиг Тейта на (1/2). Обозначим через А (соответственио А) функтор РТч, в [и](п/2)(соответственно РТ-, в [и](л/2)) н через В (соответственно В) функтор РТж .. з [п] (п/2) (соответственно РТ-, в[и](и/2)). Рассмотрим морфизмы функторов ! 2 3 АоАоА — ~. ВоАоА — ~. ВоВоА — а ВоВоВ.
Если мы примем без доказательства, что обе композиции АоА-»ВаА-»ВоВ, АаА †»ВоА-+ВаВ являются тождественными морфизмами тождественного функ- тора, то 2о1 будет Ыл, а За2 будет Ыв. Поскольку каждый из морфизмов 1 и 3 равен а [и] (л/2)', мы видим, что а обратим, и обратным морфизмом является 1[ — п] ( — л/2). ° Этот замечательный результат, объединенный с результатами из работы Делиня [!)е-2] работает при исследовании экспоненциальных сумм от нескольких переменных как весьма эффективный «черный ящик» (т. е. ничего кроме формулировки утверждений знать не нужно).
Следует отметить, что это и не удивительно, поскольку само преобразование Фурье возникло в связи с экспоненциальными суммами. Мы, однако, не будем обсуждать здесь эти применения (ср. [Вг], [йа-Еа], [Ка-3]), а рассмотрим вместо этого замечательную структуру, которую Лампи открыл в одномерном преобразовании Фурье (и=1) над Ю = й и которую он назвал «прннципом стационарной фазы», а также на двух найденных им приложениях этого принципа, каждое из которых на первый взгляд не имеет ничего общего ни с каким преобразованием Фурье. пеинцип стдционкгной акзы Напомним (ср. [Ног], 7.7), что в простейшем виде классический принцип стационарной фазы применяется к интегралам вида ~ ф(х) ехр(!!/(х)) йх по пространству Юо, где ф — Ят-функ- Н.
Катя ция с компактным носителем, / — У -функция и 1 — вещественный параметр. Этот принцип утверждает, что если йтаб(/) не обращается в О ни в одной точке Вирр(у), то интеграл как функция ! быстро убывает при 1-»-оо; отсюда следует, что если / имеет конечное число критических точек в Вирр(ф), то асимптотически при 1-«-оо этот интеграл представляется в виде конечного числа слагаемых, по одному для каждой критической точки / в Вирр (Ф) .
В р-адическом случае также существует принцип стационарной фазы, который даже проще, чем в вещественном случае, в том смысле, что в достаточно хороших ситуациях он приводит к точным, а ие к асимптотическнм формулам. Предположим, что нам даны гладкая л.р-схема )т конечного типа, имеющая относительную размерность н, и функция / на 17 (т. е. / является е", -морфизмом из т' в аффинную прямую Д '). Предположим, что / является «функцией Морса» в следующем смысле: подсхема Р с )7, задаваемая обращением в О ягаб(/), является конечным этальным накрытием над е, (например, )т задается уравнением х1х» ... х„+~ — — 1 в Д"+', /=х~+ х, + ... + х„»1 и а+ 1 взаимно просто с р).
Рассмотрим интеграл ~ ехр(2ти!/(х))»(х по )т(л,р) и будем считать, что ! ~ () стремится к оо я.-р-адическом смысле. [Мы считаем, что функция ~р, фигурирующая в вещественном случае, есть характеристическая функция 17(2, ), а вместо 'Р берется )т(ь! ).) Под интегралом мы понимаем следующее. Если огбр(г) — т «. О, то ~ есть сумма (1/р) " ) Х Х ехр(2п!г/(х)) по всем х еп У(е,/р"'Е), где для определения комплекснознач ной функции г р-~. ехр (2п)х) нужно вложить»„:р/т,'р в ()/е, как р-примарную компоненту. Легко видеть, что если Р(е,,) пусто, то при т ) 2 интеграл абраи!ается в О, а в общем случае при т ) 2 интеграл является суммой весьма простых локальных членов, по одному для каждой из конечного числа критических точек х„п епР(е, ).
Точнее, для четного т этот член является значением (1/~/р) х ехр(2пй/(х)) в х.вь в то время как для нечетного т ) 3 локальный член получается из этого значения умножением на нормализованную гауссовскую сумму (корень четвертой степени из 1!) (1/~/ р) ~, ехр(2«ир — ЧН(х)), суммирование по х ен (е/ре.)", где Н(г) — квадратичная функция, задаваемая вычетом по модулю р гессиана / в х„«. К сожалению (т) при т = 1 ситуация не столь проста. Работы Ломано Как мы должны интерпретировать принцип стационарной фазы для одномерного 1-адического преобразования Фурье? В интеграл ~у(х)ехр(11/(х)) е(х входит функция с компактным носителем ~р(х), роль которой состоит, однако, лишь в том, чтобы обеспечить сходимость.
Если опустить этот сомножнтель, то аналогом рассматриваемого интеграла в случае конечного поля будет сумма 2»р(!/(х)), где х пробегает конечное поле й. Эту сумму можно переписать в виде Х»р(гх)(Ф(у~к, таких, х что /(у)=х)), и мы узнаем в этом выражении сумму ~ ф (гх) Тгасе» ! о (х), т. е. преобразование Фурье функции х следа пучка У, являющегося прямым образом У = — Щ, что совпадает с значением в момент ! следа комплекса РТ(ар ). Для «разумного» многочлеиа / (достаточио, чтобы его степень была взаимно проста с характеристикой поля, или, более общо, чтобы соответствующее отображение К1 в себя было этальиым в общей точке) критические значения / — это в точности точки А', в которых комплекс У не гладок.
Для того побы продолжить эти рассуждения, удобно напомнить конкретное описание 1-вднческого пучка на кривой в терминах теории Галуа. Пусть к — совершенное поле, Х вЂ” собственная гладкая геометрическая схема над й, К вЂ” поле функций й(Х) на Х, К"»в сепарабельное замыкание К, Па):=Па!(К»»р/К). Для каждой замкнутой точки х схемы Х, рассматриваемой как дискретное нормирование К/й, зафиксируем лежащее над ней место х поля К"р и обозначим через 1(х) с Р(х) с Па! подгруппы инерции н разложения; отвечающие сделанному выбору х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
