Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Для такого М преобразование Фурье РТ(У ) является одним пучком У:= 1><РТч(У), который гладок на <Б и имеет йгорь(У)= = йгп(М). По формуле обращения ХРТ-(У ! совпадает с (скручиванием Тейта) У. Используя теорему 2, (3) для вычисления ранга Л<РТ-(У) в общей точке, который, как мы знаем, должен равняться йгп(М), мы видим, что все оо-изломы У не превосходят 1. Зная это и то, что Л<РТ-(У ) гладок на 6, мы получаем, что (2) вытекает из (3). (3) Для рассматриваемых У имеем, что все оо-изломы У® со<,„> не меньше 1 для всех а чь О.
Поэтому, обозначая через Л> часть У(оо)(11, отвечающую излому 1, мы получаем Р(со)- представление, обладающее тем свойством, что все оо-изломы !>1®.хо<„> равны 1 для всех а. Меняя роли 0 и 1 в каноническом продолжении, мы получаем «каноническое продолжение !>Ъ, т. е. гладкий пучок Л' на <э, продолженный нулем, который является ручным в точке 0 и имеет в качестве Р(оо)-представления Л>. Тогда РТ(М) будет гладким пучком на А' ранга йш (Л'); играя с преобразованием Фурье и формулой для ранга в обшей точке, мы получим, что !>>=0 (см. [Ка-2], 8.5.7).
° Следствие 7. Пусть !>! — произвольное Р (оо) -представление. Тогда РТч 1ос(оо, оо)(!>!) = Ов том и только том случае, если все изломы Л> не превосходят 1. Доказательство. Как и ранее, обозначим через Я' каноническое продолжение Л<, Обозначим через Х> все й!шЛ< изломов >>г, считая с кратностями. По принципу стационарной фазы, РТ«1ос(оо, оо)(Л<)=0 в том и только том случае, если ранг 105 Работы Ломона И. Катя 104 !1(Л') в общей точке, равный Х~ гпах(Хь 1), совпадает, с б!ш, 1ос(0, оо)(Л'(0)), т. е. б!шЖ.
° Теорема 8. Пусть У вЂ” ненулевое 0(о )-представление, все изломы которого больше 1. Тогда РТч1ос(оо, оо)(У) отлично от ' нуля, все его изломы больше 1 и РТ-!ос(оо, оо)«РТ,!ос(оо, оо)(У) = Ф( — 1). Функтор РТе1ос(оо, оо) является автоэквивалентностью кате-, гории Р(оо)-представлений с изломами, большими 1; в частно- сти, он переводит неприводимые представления в неприводимые. Доказательство. Пусть все оо-изломы М больше 1 и Л' — кано- ническое продолжение, как выше. Тогда РТ, (Ус) гладок на А'.
Применяя к РТ- от этого пучка принцип стационарной фазы,. находим, что М( — 1) = РТ- 1ос(~, )(РТ (Ж)(~)), и применяя принцип стационарной фазы к члену в скобках, по- лучаем (РТч (Л ) (оо)) = РТч! ос (О, оо) (Л' (0)) Я РТч 1ос (оо, оо) (Л' (оо)) = =(ручное представление)(ВРТч1ос(оо, оо)(У), откуда следует требуемая инволютивность, поскольку РТ- 1ос(оо, со) переводит ручные представления в 1. Остальные утверждения получаются чисто формально. Пусть РТ-!ос(оо, оо)(У) = А, Я А>, — разложение вида (изломы ~1)Ю(изломы )1). Ввиду следствия 7 и инволютивности по- лучаем, что с точностью до скручивания Тейта, Л7 = РТ„-1ос(оо, оо)(А,). Применяя РТ, 1ос(оо, оо), получаем, что, с точ- ностью до скручивания Тейта, РТ, 1ос(оо, оо) (У) = А>ь т.
е. все его изломы больше 1, что и утверждалось. ° Замечание 9. Поскольку у неприводимых представлений имеег-, ся только один излом (с некоторой кратностью), то действие РТч1ос(оо, оо) на изломы можно вычислить по известному действию на кондукторы Суона н на ранги. Проводя соответствую- ' щие вычисления, получаем, что если Л! имеет излом (а+ Ь)/а, кратности а, то РТч 1ос(со, оо) (У) имеет излом (а+ Ь)/Ь кратности Ь. Для того чтобы понять ситуацию в точке О, иам нужна сле- ' дующая Теорема 1О (Ламан).
Существует точный функтор РТч 1ос (оо, 0) из категории Ьадических 0(оо)-представлений в категорию 1-адических 0(0)-представлений, такой, что для каждого Ьадического пучка У на А', не имеющего сечений, сосредоточенных в точках, существует четырехчленная точная последовательность 0 (0) -представлений 0 — «Н~ь(А1ЭЬ. У )-«МРТ(У)(0) — «РТч1ос(оо, 0)(У (оо)) — « Н,(А Э6, У) О. Предположив, как и выше, что такой функтор существует, мы можем использовать каноническое продолжение для выявления его свойств.
Лемма 11. Если У (оо) неразветвлен, то РТ„! (-, О)(У-( )) =У.( )( — Ц. Доказательство. Если 'У (ко) неразветвлен, то существует геометрически постоянный пучок У на А', для которого У(оо) = = У (оо). Применение НРТ к такому пучку дает 1 и Не (А' ЭЙ, У) = Нс (А' Э Ь, 61) ЭУ(~:~) = =У( )( — 1)=У ( о)( — 1). И Предложение 12. (1) Если Л7 — О( о)-представление, все изломы которого не меньше 1, то ГТ 1ос(оо, 0)(У) =.О. (2) Если Ж вЂ” ручное (соответственно 7(оо) -унипотентное) 0(о )-представление, то РТч 1ос(оо, 0) (Лг) — ручное (соответственно 7(0)-унипотентное) 0(0)-представление того же ранга.
Доказательство. (1) Пусть У вЂ” каноническое продолжение У, продолженное нулем на А'. Тогда вблизи точки 0 РТь(У) является одним пучком Л~РТ (У ) в степени 1, так что результат немедленно вытекает из четырехчленной точной последовательности теоремы 10. (2) Все сводится к случаю, когда поле й алгебраически замкнуто и У= Ых(оо). В этом случае та же точная последовательность показывает, что РТ,!ос(оо, 0)(Л1)= Ж-(0) И Теорема 13. Пусть М вЂ” 0(0)-представление с Миь1 =0 и М— 0(оо)-представление, у которого все изломы меньше 1 и Ун > =О.
Тогда М ( — 1) ж РТ- 1ос (оо, 0) «РТ, 1ос (О, оо) (М), М ( — 1) = РТ 1ос(0, оо) «РТ01ос(оо, 0)(У). и. Катя Функтор РТ» 1ос(0, оо) задает эквивалентность категории 0(0)- представлений М с Мца' = 0 категорией 0(оо)-представлений М, " у которых все изломы меньше 1 и Мц >=О. Квазиобратным к нему является функтор РТ„-!ос(оо, 0)(1).
Функтор РТо!ос(О, «о) переводит неприводимые представления в неприводимые и представления М, имеющие излом а/Ь с кратностью Ь, в представления М, имеющие излом а/(а + Ь) с кратностью а+ Ь. Доказательство. Рассмотрим представление М, удовлетворяющее условиям теоремы, и обозначим через У его каноническое продолжение на С, продолженное нулем на А'.
Тогда РТ У [1] о является одним пучком эв" и, поскольку У (оо) — ручное представление, принцип стационарной фазы дает ээ(оо) ж РТо)ос(0, оо)(М). Применяя к УУ точную последовательность из теоремы !О, получаем первый требуемый изоморфизм. Этот изоморфизм показывает, что ввиду предложения 12(2) РТ, 1ос(0, оо)(М) не имеет ненулевых /(оо)-инвариантов. Рассмотрим теперь М в точке оо, удовлетворяющее условиям теоремы, н обозначим через У его каноническое продолжение на Б, продолженное нулем на А'. Снова РТ-(У) [1] является одним пучком эв, гладким иа б, поскольку все изломы М меньше 1; однако Зйа может быть отлично от О.
У иас есть короткая точная последовательность пучков на А' 0 и ээ -4 эбэ (УЧ О, где 1: чэ -«А' — вложение. Беря преобразование Фурье, получаем короткую точную последовательность 0-«(постоянный пучок ЗЬо)-«РТе(Ц'уу) [!]-«У( — 1) — «О. Ввиду принципа стационарной фазы Уй(оо) = РТ-1ос(0, оо)(М)~ РТ-1ос(оо, оо)(М). Однако второй член обращается,в О, поскольку все изломы М меньше 1 (следствие 7), а значит (предложение 6) и все изломы эв(оо) (1. Отсюда в свою очередь РТэ(К У«т)[!](оо) ж РТе 1ос(0, со) (ээ (0)); приведенная выше точная последовательность дает в оо 0-«тривиальное 17(оо)-предст.
Ма-« — «РТэ!ос(0, оо)(УУ, (0))- У(оо)( — 1) — «О. Независимо от всего этого применение теоремы 10 к У дает 0- Ма-«Н(0) — «РТ„-)ос(оо, 0)(М)-«0. Работы Ломова Применяя РТ, 1ос(0, оо), получаем отсюда точную последовательность 0- тривиальное 1!(оо)-предст. Уйо-«РТо(ос(0, оо)(Ж(0))- -«РТ 1ос (О, оо) а РТ- 1ос (оо, 0) (М) — «О, откуда, сравнивая с приведенной выше резольвентой для У(оо) ( — 1), получаем второй изоморфизм теоремы. Теперь, ввиду леммы 5 РТ-1ос(оо, 0)(М) не имеет ненулевых 7(0)-инвариантов. Формулы для наклонов получаются формальными вычислениями (см.
замечание 9). ° В некотором смысле теоремы 8 и 13 являются наиболее вызывающими и менее всего понятыми из всего, что до сих пор возникло из идеологии Ломона, связанной, с принципом стационарной фазы, поскольку эти теоремы приводят к некоторым замечательным и абсолютно неожиданным преобразованиям в пространствах 1-адических представлений групп разложений в равных характеристиках.
Было бы очень интересно понять, что происходит здесь «на самом деле», с тем чтобы сделать что-нибудь похожее в случае неравных характеристик. СЛЕДСТВИЯ О ДЕТЕРМИНАНТАХ Приведем теперь один частный на первый взгляд вывод из описанной теории, который, как окажется, имеет весьма важные следствия. Предположим, что У вЂ” гладкий пучок на 6 над конечным полем Ь, продолженный нулем на А', для которого представление У" (оо) неразветвлено.
Тогда на С РТ (У ) [1] является гладким пучком МРТ(У ), причем его 0(оо)-представление имеет единственный локальный вклад РТ, 1ос(0, оо)(У (0)), все изломы которого меньше 1, а !э(0)-представление виртуально равно Н,(б ЕЬ, У) — Ио(6 ®Ь, У) — У ( )( — Ц. Поэтому бе! МРТ(У ) гладок на б; он неразветвлен в точке О (поскольку сам пучок МРТ(У ), будучи расширением двух тривиальных представлений 7(0), унипотентен в точке 0) и имеет ручное ветвление в точке оо (по теореме Хассе — Арфа, поскольку все оо-изломы МРТ(У") меньше 1). Поскольку А'чэ одиосвязна в ручном смысле, бе! МРТ(У) неразветвлен в точке оо, так что его прямой образ на Р', который мы обозначим через!В, гладок на Р'.
Поскольку Р'®Ь односвязно, йО является геометрически постоянным пучком ранга 1, так что он 1ОВ и. Кьгц Работ»»»томова 1БВ с необходимостью имеет вид а«»е для некоторой 1-адической еди- ницы а. Это значит, что для любой замкнутой точки х в Р' и лю- бого элемента Р, ее 1«)(х), лежащего над автоморфизмом Фробе- ниуса, Р действует на Ю(х) как а"»е<">.
Сравнивая действие в точках 0 и оо, мы получаем два уравнения для а, из которых вытекает следующая странно выглядящая формула: (14) бе!(Р ]РТ, 1ос(0, оо)(9 (0)))=д"»»1в>;к', )<йе!(Р ]У (оо))[бе!(Р» ]Нс(Бт Э Й, У ))/де!(Рь]Не(ВтЭ й, У ))1, которая выражает с301(РгоЬ ]Н;(У )) в терминах У (0) и У (оо). Переходя к несколько более общему случаю, предположим, что 9 — гладкий пучок на бм, продолженный нулем на А', для которого все изломы представления '.У (оо) меньше 1 (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
