Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В терминах введенных данных конструктивный 1-адический пучок У на непустом открытом подмножестве (/с: Х вЂ” это непрерывное 1-адическое представление Уя группы Йа1, которое почти всюду неразветвлено (1(х) действует тривиально для всех х, кроме конечного числа), заданное вместе с непрерывным представлением У„группы Р(х)/1(х) для каждой точки х~ (1 и Р(х)-эквиварнантным отображением (отображеннем «специализации») зр„: ӄ— »Уя, которое является изоморфизмом для почти всех х. Говорят, что пучок У является гладким в точке хеп(1, если зрх — изоморфизм. Если отображение зр„инъективно для всех х с (1, то говорят, что у У нет сечений„ сосредоточе»гных в точках.
В самом деле, имеем изоморфизм»ха!(й/й)-модулей Н'((1®й У) = 9 1п«»щ(Кег(зрх; Ух — »Уя)), хо и 7 зак. 468 98 и. Кагч Раеоти Ломо»а где 1п4ы> обозначает индуцирование с подгруппы Р(х)/1(х) ж ж Па!(д/я(х) ) на группу ба!(я/я). Если отображение зр„задает изоморфизм У с инвариантами подгруппы инерции (У») ~ для всех хан (/, то говорят, что У продолжается (функтором прямого образа) с множества гладких точек.
Разность размерно'стей а(шУ» — о(шУ, обозначается йгор„(У). Полезная аналогия с У'"-случаем состоит в том, чтобы рассматривать «Р(х)-представление У»» как «асимптотическое разложение в проколотом диске вокруг точки х по модулю функций, которые бесконечно дифференцируемы на всем диске и обращаются в 0 в точке х вместе со всеми производными», а дополнительные данные зр„: У» — «У» как попытку аппроксимировать У константой на всей (непроколотой) окрестности х. Если задан пучок У на (/ и замкнутая точка х схемы Х, мы обозначим через У(х) «У» как Р(х) -представление». Важно отметить, что У(х) имеет смысл для любой точки Х, в то время как У„имеет смысл только для точек х из (/. Во избежание путаницы со скручиванием Тейта мы будем обозначать У(х) полужирными буквами, например У( — 1).
Для дальнейшего напомним понятие «наклоиов» или «изломов» конечномерного 1-адического представления М группы инерции 1(х) (см. [Ка-Ц или [Бе-2[). Напомним, что 1:=1(х) обладает «верхней» фильтрацией замкнутыми нормальными делителями 1и1, ген Р>о, и подгруппа дикой инерции Р является замыканием объединения [ [ Р'>. Известно, что М обладает ка»)о ионическим разложением («разложение изломов») М= Я М(г), г~о гьо таким, что М(0) = Мг, и для всех г 0 имеем (М(г)) =О, в то время как при з ) г группа Р действует на М(г) тривиально.
Полезно рассматривать изломы как аналоги порядков экспоненциального роста. Будем говорить, что г является изломом М, если М(г) — ненулевое подпространство, и назовем д)гп(М(г)) кратностью излома. По теореме Хассе — Арфа для каждого г с М(г) Ф 0 произведение г)( й1ш(М(г)) является целым числом. Сумма 2, г)(д(т(М(г)) есть кондуктор Суона М, г>о рассматриваемый как представление 1(х); кондуктор Суона обозначается Бог(М) или Зтчх(Х). Формула Эйлера — Пуанкаре в варианте Гротендика (см. [Йа) ) для гладкого пучка на гладкой связной конвой (1 над алгебраически замкнутым полем характеристики -ь1 имеет вид у, ((Г, У ):= Е, ( — Ц йпи Н~ Я, У ) = = гап1г(У ) т,(П) — Е» х-вБЮ» (У ), где т((/) — топологическая эйлерова характеристика, равная '2 — 2у — 4ь (х — (/)- Покончив со всеми приготовлениями, мы можем теперь вернуться к объяснению того, что означает «принцип стационарной фазы» для 1-адического преобразования Фурье.
Если мы рассмотрим РТ(У ) (оо) как «асимптотическое раз.ложснне в точке оо» пучка РТ(У ), то принцип стационарной фазы должен быть утверждением о том, что Р(оо)-представление РТ(У)(оо) является прямой суммой членов, соответствующих точкам исгладкости У в А', и, возможно, еще одного члена, отвечающего точке оо; при этом считается, что «локальный член», отвечающий точке х, функториально зависит от следующих данных: зр„: ӄ— «У (х), если к~А', У (оо), если х = оо. Для того чтобы это имело смысл, нам нужно лишь знать, что РТ„[Ц [Ц означает сдвиг всех степеней на 1, Ж' — ' (1([Ц ) = = Яу'(К)) переводит, или почти переводит, пучки в пучки.
Для каждого пучка У на А' определим «наивное преобразование Фурье» как пучок й(РТ»(У), задаваемый равенством МРТ» (У ):= УУ' (РТч (У )):= ~' Ргм (Рг[У Э 2'ч г»ю). Теорема 2. Предположим, что У вЂ” 1-адический пучок на А' над яо не имеющий сечений, сосредоточенных в точках. Тогда (О) Пучки Я'РТ»(У) равны 0 при 1чь1, 2, и пучок Яво не имеет сечений, сосредоточенных в точках. (1) РТ,,(У ) [Ц является пучком (с необходимостью совпадающим с НРТ»(У)) в том и только том случае, если Нс(А Эй, У Э Увы»))=0 для всех аоикб.
(2) ог пучка НРТ„(о~) нет сечений, сосредоточенных в точках. (3) Существует наибольшее непустое открытое множество (/~А', на котором РТч(У) гладок в том смысле, что на (/ комплекс РТ, (У ) [Ц совпадает с МРТ,„(У ), и НРТ (У) гладок на (/. Точка Г ен й лежит в Р в том и только том случае, если все изломы 1(о )-представления У ЭЖ»и„> не меньше 1, или, эквивалентно, в том и только том случае, если целочисленная функция у «Ячт (У ЭЫчм»1), определенная на двойственном пространстве к А'„достигает максимума в точке й Ранг 1»'РТ»(У ) на (Г Равен х (л — 1)+ ~, бек(х)($»т„(У )+ бгор„(У)), и. Катц Работы Лолона 101 где первая сумма берется по всем изломам Х» 1 представления У (оо) (с кратностями), а вторая — по всем замкнутым точкам х прямой А'. (4) Если пучок У является расширением с помощью прямого образа гладкого пучка с непустого открытого множества 11, который геометрически неприводим (е. е.
неприводшв как представление п1(сГЭя,Б)) и не изоморфен геометрически ни одному из пучков,Учи,! для 1 ее й, то РТВ (У ) [11 есть один пучок 1УРТч(У) и пучок 1УРТВ(У) удовлетворяет тем же условиям, что и У . Доказательство. Утверждения (0) н (1) непосредственно следуют из того, что пучок 2'ч!а„> гладок на А' и ЗВГ (2'»<а 1)= = 1 для а Ф О. Равенство ЯбоРТ(У ) = 0 эквивалентно тому, что У не имеет сечений, сосредоточенных в точках.
Часть (2) следует теперь из того, что по формуле обращения для преобразования Фурье РТ-(РТ (У)) является одним пучком, сосредоточенным в степени 2, и из интерпретации сечений, сосредоточенных в точках, в терминах Н,. Часть (3) следует из (2) о и из формулы Эйлера — Пуанкаре, Часть (4), доказанная впервые Брылинским [БГ), является еще одной формой формулы обращения для преобразования Фурье. ° Пример. Если в (1) все изломы пучка У (оо) меньше 1 (напри-' мер, если У (оо) является ручным), то (1 = ( (мультипликативная группа). Чуть ниже мы увидим, как выглядит РТь(У) в точке О. Замечание, Комплекс К на А' называется Гп-превратным, если Ж' = 0 прн 1 чь Гп, Гп — 1, йй"' сосредоточен в точках и вв -' не имеет сечений, сосредоточенных в точках.
Переформулирован утверждения (0) и (2) теоремы 2, можно сказать, что функтор РТ[1[ сохраняет Гп-превратность. Именно так интерпретировал этот результат Ламан. Если У вЂ” пучок, не имеющий сечений, сосредоточенных в точках, то мы будем часто обозначать 0(оо)-представление 14РТ»(У)(оо) через РТч(У )(оо), хотя, строго говоря, его следовало бы обозначать (РТ, (Р) [1]) (оо). (Явный учет этого сдвига на 1 привел бы к непрекращающимся проблемам с индексами; сам Ламан обходит эти проблемы таким образом, что называет РТ функтор, который мы обозначили РТ [1].) Теперь наконец мы можем сформулировать принцип стационарной фазы для 1-аднческого одномерного преобразования Фурье над совершенным полем я.
Теорема об 1-аднческой стационарной фазе 3 (Ломон). Для каждой замкнутой точки 1 в А'() оо существует точный функтор РТ»1ос (Г,оо) из категории 1-адических 0(1) -представлений в категорию 1-адических 0(оо)-представлений, такой, что для любого Бадического пучка У на Д', являющегося продолжением нулем гладкого пучка на непустом открытом множестве в А' — 5, имеется каноническое разложение 1УРТ»(У ) (оо) в прямую сумму 0(оо) -представлений ГУРТ,(т)(. )= 63 РТ,! (1, ° )(У (з)).
«ызи ю ЛОКАЛЬНЫЕ СЛЕДСТВИЯ: ПОДРОБНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЛОКАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Как только стало известно, что разложение на локальные члены существует, мы можем вывести свойства отдельных локальных членов РТ 1ос(1, оо) с помощью 1-адического аналога «разложения единицы», который состоит в применении теоремы к различным пучкам У, имеющим заданное локальное поведение. Такой метод перехода «от глобального к локальному», имеющий долгую и почетную историю в теории чисел, в нашем случае можно существенно упростить путем систематического использования «канонического продолжения». Лемма 4 (см.
[Ка-1)). Пусть задано 1-адическое представление М группы 0(0). Тогда существует гладкий пучок У на Б, заданный вместе с изоморфизмом У (0) 0 представлений 0(0), такой что слой У (оо) является ручным. Более того, группа 1(0) и геометрическая фундаментальная группа и, («» Э й, т[) имеют один и тот же образ в Ап1(У я). Такой пучок 3' называется каноническим продолжением. Подставляя в теорему канонические продолжения У (точнее, их продолжения нулем на А') и их сдвиги (с тем, чтобы сдвинуть «плохую» особенность из точки 0 в произвольную рациональную точку з), мы можем провести полный анализ локальных членов, если мы поймем, как устроены функторы РТ 1ос(оо, оо), в случае когда М вЂ” ручное0(оо)-представление. Ксчастью, здесь не возникает никаких препятствий.
Лемма 5, Если М вЂ” ручное 0(оо) -представление, го РТ» 1ос (оо, оо) (М) = О. Если 14 — ручное (соответственно 1(0)-унипотентное) 0(0)-представление, то РТ, 1ос(0, оо)(АГ)— ручное (соответственно 1(0) -унипотентное) 0 ( ) -представление того же ранга. Н. Котц >02 Работы йемена Доказательство. Вопрос является геометрическим, так что мы можем предположить й алгебраически замкнутым. Применяя к М отвинчивание, можно свести все к случаю, когда М = У (оо), где У есть У (оо), а У" есть либо © (гладкий пучок на А'), либо пучок Куммера <ох<„> (гладкий пучок на 6, продолжен- ный нулем) для нетривиальногохарактера >< группы п>(<В )" '.
Поскольку РТ(Я<) есть б-функция, сосредоточенная в точке О, а пучок Ц< является гладким на А', имеем РТ, !ос(оо, оо) (ч)<) = РТ(<.<<) (оо) = О, так что РТя!ос(оо, оо)(М)=0 для любого неразветвленного М. Для Ы'„<,> имеем РТ(Ы„<„>) (1] =.У„-<„>, где у, — обратный характер, откуда («) РТв!ос(0, оо)(Ых<„>)ЯРТя1ос(оо, оо)(Ых<н>) = ( х <н>) ( ) х <е>' и этот пучок имеет ранг .1 . Поэтому один из пучков РТо1ос(оо, оо)(.хх<,,>) или РТч!ос(0, оо)(Ых<,.>) равен нулю, а второй имеет ранг 1. Применяя аналогичные рассуждения к Ы„-<„п, РТ(1] от которого есть Ы, „„®.У„<„>, получаем, что один из пучков РТя!ос(оо, оо)(Х-<„») или РТ,1ос(1, оо)(Ю„-<„и) равен нулю, а второй имеет ранг 1.
Рассмотрим теперь пучок У, являющийся продолжением нулем пучка Ых <,<<„»> на 6 — (!). Этот пучок гладок в точке оо, 1(0)-изоморфен Ях<«> в О, 1(1)-изо- морфен .Ух-<„» в 1, и РТ(1] от него есть гладкий пучок ранга 2 на 6 .- Поскольку У гладок в оо, разложение РТ(У)(оо) в соответствии с принципом стационарной фазы не имеет члена, отвечающего (оо, оо), откуда РТ(У ) (оо) = РТ !ос(0, оо)(2'„<„>)ЩРТ,„!ос(1, оо)(Я'„-<„> ).
Подсчитывая ранги, мы получаем, что каждый из пучков РТ, 1ос(0, оо)(К„<„>) и РТ, 1ос(1, оо)(Ы'„- „, ) должен иметь ранг 1, откуда вытекает требуемое обращение в 0 пучка РТо!ос(оо, оо)(Ых< >). Теперь из (ь) следует„что для нетри- виального >< РТ '"(О -)Фх<.>)=РТ(Рх )(-)=йУх<е (непосредственные вычисления показывают, что это верно н для тривиального ><), и второе утверждение леммы доказано. ° Предложение 6.
(1) Для любого Р(0)-представления М имеем РТч 1ос(0, оо)(М) = Зчгь(М)+ йт(М). (2) Все изломы РТч!ос(0, оо)(М) как представления 1(оо) .ченыие 1. (3) Если У вЂ” пучок на А', не имеющий сечений, сосредоточенных в точках, то РТч(У) гладок на 6 в то.ч и только том случае, когда оо-излом У равен 1. Доказательство. (1) Пусть У вЂ” каноническое продолжение М, продолженное нулем на А'. Член РТо 1ос(оо, оо) для этого пучка равен О, так что ввиду принципа стационарной фазы Рт(У )(оо) = РТ$!ос(0, оо) (М) и по теореме 2, (3) РТ(У") — гладкий пучок на <э ранга В~а(М)+ йш(М). (2) Мы уже знаем, что это утверждение справедливо в случае, когда М вЂ” ручное представление, так что достаточно рассмотреть случай, когда все изломы М положительны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
