Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Более того, А восстанавливается по Т как результат применения Т к групповому кольцу Я, [6], рассматриваемому как левый Я, [6]- модуль; структура правого Щ[6]-модуля на (~~[6] используется для введения структуры правого Я~[6]-модуля на Т((.а[6]) (поскольку Т вЂ” функтор). Таким образом, мы получаем, что А = Т ((()~ [6]):= РТ !ос(0, оо) (()~ [6])4,) является правым проективиым модулем над групповым кольцом, таким что для любого левого 6-модуля М имеем А,— Я М = Агйп (М).
о~ !а! Это в точности означает, что А является представлением Артииа 6. Таким образом, мы получили геометрическую конструкцию представления Артина в случае равных характеристик. В случае неравных характеристик у нас до снх пор нет никакой априорной конструкции ни для представления Артииа, ни для представления Суона! ИЗ ЧЕГО СОСТОИТ И КАК ДОКАЗЫВАЕТСЯ ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ ЛОМОНА: НАБРОСОК Первое понятие, которое мы должны обсудить, кажется на первый взгляд не относящимся к делу, однако его связь с обсуждаемым кругом вопросов скоро станет ясной.
Это понятие данных для УЗБ (универсальной замены базы). Пусть нам заданы конечное локальное кольцо /т, порядок которого обратим на схеме Я, конечно представимый морфизм /: Х-«5 и й-плоский пучок )т'-модулей У на Х. Будем говорить, что данные (/, Р) (которые удобнее рассматривать горизонтально) У на Х-«5 являются ЗБ (заменой базы), если для каждой квазикомпактной квазиотделимой схемы у, каждого морфизма д: у-«-5 и каждого )г-пучка У на у естественный морфизм замены базы иа Х Зх Е/')~Х„У Лй.((й'(У)Е/'(У)), Работы томомо Н. 1(атц отвечающий декартову квадрату Ф на Хмтр 9наХ т е рассмотрим диаграмму У на Х РГ1 ХнеУ (31х Ы) Ц.181,К анте рт~ 8* является изоморфизмом. Будем говорить, что данные (Т, 1» ) являются УЗБ (универсальной ЗБ), если для любой замены: базы 3'- 3 пара () „Я з,), где Тэл Хэ,— »5', а У,— обратный образ У, является ЗБ.
Основной (трудный) результат теории УЗБ, который нам будет нужен в дальнейшем,— это теорема о «гладкой замене базы» ([ЗОА 4) Ехр. ХЧ), которая утверждает, что если 1— гладкий морфизм, а У вЂ” гладкий пучок свободных Я-модулей, то (1, У ) — УЗБ. Мы будем также использовать следующие шесть свойств УЗБ. УЗБ (О) Если 1 — конечный сюръективный радикальный морфизм, а ~ — гладкий пучок свободных Я-модулей, то (1„У ) — УЗБ. УЗБ (1) Если (1,У ) — УЗБ, а Ы вЂ” прямое слагаемое ~„то (1, Ы) — УЗБ.
УЗБ (2) Пусть Ц, У) — УЗБ, а 1: 3 — такое вложение открытого подмножества, что, обозначая через Х дополнительное к 3 замкнутое подмножество Х, имеем Я 11-'(Х) = О. Тогда для любого Ы на 3, для которого ограничение 1 на П является гладким пучком, ()',Я Эг"Ы') также будет УЗБ. УЗБ (3) Если (Т,Р) — УЗБ, а э — гладкий пучок свободных Н-модулей на Х, то (1,$' Э У ) — УЗБ. УЗБ (4) Если ) разлагается в композицию 1= пой, причем (Х,Л) и (й,рк) являются УЗБ, то и (г',Н) является УЗБ. УЗБ (5) Если (~,У) — УЗБ н 1 разлагается в композицию ) = у.й с конечным морфизмом й, то и (Х„Ь„У ) является УЗБ.
Свойства О, 1, 2, 3, 4 являются элементарными, в то время как для доказательства 5 нужно применить к морфизму й теорему о собственной замене базы. (Замечание для специалистов. То, что мы назвали здесь УЗБ, эквивалентно тому, что Иллюэи в ЯОА 4'/э называет «универсальной сильной локальной ацикличностью», делая аналогично оригинальному изложению в ЗОА 4, упор на свойство локальной ацикличности и выводя из него свойство УЗБ. Однако ниже мы будем испольэовать именно свойство УЗБ, так что предпочли выделить именно его, а не те локальные условия, которым оио эквивалентно.] Первое применение УЗБ состоит в сравнении 1- и .-вариантов интегральных преобразований. Пусть 3 — схема, Я вЂ” конечное кольцо, порядок которого обратим на 3, Х и У в две конечно представимые З-схемы, У вЂ” т(-плоский пучок 14-модулей на ХХэу, Тэ .
и Та-,, — интегральные преобразования, определяемые 1т '. Лемма 18. Пусть 1: Х Х вЂ” открытое вложение Х в собственную Б-схему Х. Рассмотрим морфием рг~.' ХХэ У вЂ” ~-Х и зададим на ХХэ У пучок. Если эти данные являются ЗБ, то морфизм функторов «забывание носителей» из Тл-, 1 в Тз- является изоморфизмом. Доказательство. Для каждого )с-пучка У на Х «проверим» свои- ство ЗБ в ситуации По свойству ЗБ (; Х 1д), йв-Э рг,й;.3 =-Л(1 Х 14). (~ Э(Рг;3')) И Л 0 Х п1)1(1т ®(р" ~й)) п эи„ия с р(рг,), = р для проекции рг~: Х Хзу требуемый нзоморфизм Тэ, ~ (У) -»Тэ. ° (з) И Объясним теперь основной результат Ломона о УЗБ в преобразовании Фурье, который использует методы предыдущей леммы для получения «геометрического» доказательства теоремы Вердье РТ~ ж РТ Теорема 19 (Ломон). Пусть й — конечное поле характеристики р, состоящее из д элементов, Я вЂ” конечное локальное кольцо, 11т Рабаты Дамана Н.
Ката поле вычетов которого содержит р различных корней р-й степени из 1, ф: (й, +)- Р— нетривиальный аддитивный характер. Обозначим через А' стандартную аффинную прямую над й и через у: А' — н Р' ее стандартную компактифихацию. Рассмотрим пучок не<на! на А'ХьА' и его продолженив нулем (1Х Х Ы), Ы, 1„„на Р' Х М. Данные (1Х(б),Ы„ыа1 РаХ„А' ' Р являются УЗБ. Доказательство. Утверждение является локальным по Р' в топологии Зариского, и над открытым подмножеством А'с: Р' мы имеем УЗБ по обычной теореме о гладкой замене базы. Поэтому мы можем ограничиться любой аффинной окрестностью точки аа. Обращая х, мы получаем следующую ситуацию: У вЂ” открытое множество в А' с координатой г=!/х, 1: У вЂ” (О)-е-У— вложение, и мы рассматриваем Предположим, что мы уже знаем, что для У Хаен — нУ эта ситуация является УЗБ для пучка (/ Х Ы), Ыч,„гнг Тогда по свойству УЗБ (2) та же ситуация будет УЗБ для (1 Х Ы), Ы,,„н1 ® рг', (!',Ы',,„, ), что изоморфно (с помощью сдвига уе-ьу — 1) ситуацйи с нашим первоначальным пучком (1 Х Ы), Ы'~,„ьа и морфизмом У Х (А' — (1)) У.
Поскольку свойство УЗБ локально по первому многообразию, мы получили бы полное доказательство. Теперь на УХаб мы сделаем ганзену переменной (Ау):= :=(г/у,у), получая Рассмотрим пополненное накрытие Артина — Шрайера Ю. Ре — Р' ю эГ =1/( пе — 1с) Его ограничение на аффинную прямую У с параметров ! является накрытием которое является конечным этальным накрытием Галуа с группой К вне точки 1 = 0 и вполне разветвлено в точке 1 = О.
Таким образом, имеем разложение в прямую сумму пучков на У ./(=ДЕ( Е 1,иьин,) нетрне. я и цо теореме о собственной замене базы для конечного морфизма п.мы можем взять произведение и на 6, получая разложение в прямую сумму пучков на У Хьб (пХ(б).)~=ДЕ.( 6! (1,~„пп,)~.Д). Таким образом, ввиду УЗБ (1) и УЗБ (5), нам остается доказать, что отображение (Р' — У,) Х 1Б У, (ю, у) у/(ю' — ю) вместе с постоянным пучком )г является УЗБ. Вводя еще одну замену переменной о:= 1/1е, мы получаем морфизм (А' — Нд ~) Ха1т..-~У, (о, у)' — ~уое/(1 — о'-').
В новых координатах (о,з):=(о,у/(1 — ое — ')) он записывается в виде (о, з) ~зон, т. е. является композицией конечного сюръективного радикального эидоморфизма (о, з) ~(ое, з) и гладкого морфизма (А' — р ~) Хь~ — нУ (о з)' ' оз Оба этих морфизма являются УЗБ.
° Отметим, что исходные данные в теореме Ломона, т. е. пучок Ж~ыа1 на А' ХьА', симметричны по х и у. Таким образом, соображения симметрии приводят к следующей теореме, важность которой для принципа стационарной фазы скоро станет ясной. Симметричная теорема 20 (Ломон). Пусть й — конечное поле характеристики р, состоящее из д элементов, 1т' — конечное локальное кольцо, поле вычетов которого содержит р различных корней р-й степени из 1, еГ; (й, +)- И вЂ” нетривиальный аддитивный характер.
Обозначим через А' стандартную аффинную прямую над я и через 1: А'- Р' ее стандартную компактификацию. Рассмотрим пучок!й'ьыа1 на А' ХьА' и его продолжение нулем (! Х Ы),Ы, ы„1 на А' Хы Р'. Донные являются УЗБ. Для того чтобы объяснить значение этого результата для принципа стационарной фазы, нужно напомнить теорию 118' Работы Ломона 118 И.
Катц исчезающих циклов. Рассмотрим следующую геометрическую ситуацию, Пусть 5 — спектр строго геизслева кольца дискретного нормирования А, т. е. полного и имеющего сепарабельно замкнутое поле вычетов и ): Х- Я вЂ” 3-схема. Обозначим через з замкнутую точку 3 и через ч) — геометрическую точку, лежащую над общей точкой 5 (т. е. спектр сепарабельного замыкания поля частных А). Предположим также, что нам задан пучок кручении У на Х: на 15с — — + Х +- — 1" ч юа го Наша задача — сравнить когомологии двух слоев Хз и Х» с коэффициентами в У (точнее в обратных образах ю'"У =У, и !'У' = У »), по крайней мере в случае, когда ! — собственный морфйзм. Используя спектральную последовательность Лере (сформулированную в терминах производной категории), имеем И'(Хюв У.») амн'(Х, И1,(~»)) И'(З„Ж„И)„(У.»)).
Из строгой гензелевости Я вытекает, что Н' (и, йР и! (оЮ»)) И' (, 'РР Н (У»)), и если морфизм ! является собственным, теорема о собственной .замене базы для ! дает И'(з, юЯ )!!' (У-»)) см Н (Х~ ю И! (У»)). Комплекс ю'Я1,(У;) на Х, обозначается ююЧ'(У ). Его достоинство состоит в том, что он является комплексом на Х,", который в случае собственного ! позволяет вычислить когомологии Х». Имеется естественный морфизм сопряжения ю'У -«югЧю(У ), конус которого (в производной категории) обозначается йФ (У ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
