Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Пусть )У (Е) = Л"Е' Э ет Э )й(Е) Э Л"Š— аналогичный пучок дифференциальных операет е„ Б. Мольеранзе Геометрическое преобразование Фурье 129 мы видим, что 9 Зач, 468 торов,действующих на сечениях и'Л"Е'.Можно проверить (либо непосредственно в локальных картах, либо используя рассуждения, примененные в (1.1) ), что существует изоморфизм У: йр(Е) — йг(Е'), и что при каждой тривиализации Е этот изоморфизм переставляет операторы умножения и дифференцирования в слоях. Вообще говоря, всю теорию полезно излагать именно в этих терминах.
Я, однако, не буду этого делать, ограничившись лишь несколькими указаниями. ! Замечание (1.3). Пусть Š— Š— проективная компактификацня векторного пространства Е и а, а' — две проекции Е ХЕ'. Полагая Л'= рем Эе- [и), имеем У.лх= р Л =у 1.л' (мы пишем ) вместо 1Х !о). Можно также определить У, й = д'1,Л', где 1', = Г2!'.О, а 11 — функтор дуалнзацни Я 'еь" (, тес ) [с(!гпХ)' (переводящий. левые модули в правые, здесь я слегка отклоняюсь от обозначений книги [Во)). Имеем 1*1,Л' = Л', что дает морфизм 1,Л' — ь 1 Л' и, значит, морфизм У, — » У „. Можно показать, что этот морфизм является изоморфизмом.
Докажем это утверждение для случая и =1 (случай произвольного и, а также более общий случай векторного расслоения, рассматривается аналогично). Достаточно установить требуемый результат в случае М = %~(Е) = С [х, д,]. Положим Е' =Š— (О). Рассматривая у =х-' как координату на Ее, на- ходим Г (Е' Х Е', р,,Ф) [1]' = Г (Е" Х Е', 1'„р л(') [! ] = = С [у, у-с, Б, д„, дф(д,); тензорно умножая иа е — кь = е-ьСз, можно' перейти к сечениям 1 Л'.
Принимая во внимание формулу р(у, у ', $,, д„, д )т® е-1Сз = = р (у, у ', $, ди — —,, д1+ — ) (т Э е Мз), Г(Е' Х Е', !'Л') = С [у, у' ', 5, дср д )/(1+ уд ). Обозначим полученный модуль через' Я, а его подмодуль О [у ь, д„, де]с(1+ удв) через М'.
Требуемое утверждение легко вытекает из приводимой ниже леммы и из того, что Ойс =( [у, 1 дср дь]с(1+уд1)в[!), где индекс «с!» означает, что мы рассматриваем правый идеал. Лемма (1.4). Имеем Я = Я' (в частности, !'„Я есть когерентньсй модуль). Достаточно установить, что действие у на Я' биективно. По двойственности это эквивалентно тому, что действие (правое) 1+уд на Е=ч,[у, В, дсо дф(у)е биективно. Каждый элемент Е единственным образом записывается в виде ~, бьрь Ь, де) ь *+с и з-с й)0, где 6 д„=б, 6 у=йб . Вводя фильтрацию по й и переходя к соответствующему градуированному модулю, находим, что йт(1+ удь) = 1, откуда следует лемма.
[Приведенные рассуждения можно интерпретировать как частный случай теоремы об «умеренной специализации», более подробно об этой теории см., например, [За). На этом языке приведенные выше рассуждения утверждают, что сс-функция модуля 1„Л' в бесконечности равна 1, так что «умеренная специализация» равна О.Ц 2. РЕШЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Для комплексного аналитического (гладкого) многообразия Х и левого когерентного йрх-модуля М положим Зо! М = = Юе (М, С ) [и]; если М вЂ” правый когерентный мсх-модуль, положим с)ск (М) = М Э сУх. Аналогичные определения есх даются для ограниченных комплексов с когерентными когомологиями, при этом Зо! М=11сс(стМ).
Если Х вЂ” гладкое алгебраическое многообразие над ( и М вЂ” левый когерентный сй>х-модуль, то через Зо!М будет обозначаться комплекс Зо!М" на Х'". Аналогично определяется 1)ст(М). Отметим, что мы никогда не будем рассматривать пучки алгебраических решений, которые, по-видимому, не представляют большого интереса. Пусть теперь Š— векторное расслоение ранга и над С, М— правый (Ус(Е)-модуль конечного типа и .4' — соответствующий й!>г-модуль.
Положим Зо!М=Зо1 уу; обозначая через ссе,„пучок голоморфных функций на Е, имеем, очевидно, Зо! М = =Юе м, (М, Овьи)[п). Задача состоит в изучении связи между С = Зо! М и С = Зо!У М. Для этого следует, отправляясь от (1.1) и (1.3), т. е. от формулы УМ=у'! (р*Мэе ') [п] Б. Мильвранж исследовать, как различные функторы связаны с функтором «Зо!», Обратный образ не доставляет особых проблем: легко видеть, что Зо! р'М = р'6 [2п] (= р'6). С другой стороны, тензорное произведение Эе-' не меняет «Зо!», влияя лишь на условия роста на бесконечности (при желании можно сказать, что это влияние состоит в том, что голоморфные функции умножаются на е- ).
Наконец, собственный прямой образ д' комму. тирует с «8о!», см., например, [Во] или [Ме — 2]. Таким образом, вся сложность связана с открытым вложением 1. Если У = = (р" М Э е- ) [и] — голономный регулярный модуль, то ЬО1(1,У) получается применением продолжения нулем, т. е. совпадает с 1,(ЯО!дГ).
Однако в нашем случае У не регулярен (и в общем случае даже не голономеи), так что продолжение нулем следует заменить другим функтором, включающим условие «умеренного роста», ПОЛОЖИМ Х = Š— Е, 0 = О!~,< е ~еп, Я = Я!е е >ьп, и Обозначим через д[гформальное пополнение 6' вдоль УХЕ'. Справедлива следующая лемма. Лемма (2.1). Имеем Ргуэ,и ((1 Л')'", д ! ) = О. Эта лемма может быть доказана с помощью вычислений, аналогичных (1.3) и (1.4).
Она является частным случаем следующего общего результата: если Х вЂ” гиперповерхность в комплексном аналитическом многообразии Х,задаваемая уравнением ! = О, а М вЂ” когерентный Я -модуль, то РЯ ь, (М !! Сг)=О; см. [Ма — 4]. Продолжим д[г нулем на ЕХЕ и определим «умеренное продолжение нулем» р!гу как комплекс [Π— »д!г], в котором первый член имеет степень О, а второй — степень 1. Из предыдущей леммы вытекает, что (2.2) Яо!(,У = ЕМое,((1.зУ)'", 1в С) [2п].
Заметим также, что (1„Лг)еи можно заменить на яьп, где У— произвольное когерентное продолжение Ж. (В самом деле, если Š— когерентный !Б-модуль, сосредоточенный иа Я Х Е', то )оев (Е, 1п,о) = О.) Комплекс )и6 можно описать также следУющим обРазом (случай и = 1 разобран в [Ма], общий случай исследуется аналогично): (2.3) Пусть р» ' — пучок дифференциальных форм класса %' на Е Х Е', которые являются плоскими (т. е.
равны О вместе !з! Геометрическое преобразование Фурье со всеми своими производ о з одными) вдоль УХ Е'. Тогда комплекс ь, л ч !ш6 квазиизоморфен комплексу Дольбо (р (2.4) Пусть Вг (или просто В) — вещественное раздутие Е вдоль Х, это просто компактнфикация шарами расслоения Е. Мы б дем использовать следующие обозначения:  — Š— проекция, г и г' — проекции В Х Е' на два сомножителя, Я = В в Е и я: Е-  — вложение. Обозначим через лр» пучок на В ХЕ', определяемый следующим о разом: на б: н ЕХЕ' он совпадает с О; росток оз»~ (,~) В ХЕ' есть множество голоморфных функций УП(ЕХ Е') (где 0 — некоторая окрестность (х, $)), — которые имеют нулевое асимптотическое разложение в бесконечности (т.
е. убывают быстрее любой степени !!х!1-'). Тогда ', 0 =,Ф», через и обозначается производный функтор дпрямого образа ( .. з б (М. В. десь и далее в обозначениях произвоного функтора буква «К» будет опускаться). Вернемся теперь к нашей задаче. Как мы вид ели, задание 6 = Бо1М определяет Яо)зч', а задание Зо!((„зч) определяет Ьо!Я'М. Однако ЯО1(!'„зч') задается формулой (2.2) и задание Ьо! М, вообще говоря, недостаточно для определения БО1(1„зч): нужно добавить данные в бесконечности («условия убывания») на Ьо! М. О ся часть доклада представляет собой, ущ у, , по с еств, спе ва сл чай комментарий к этому утверждению.
Рассмотрим сп р у М = !у'(Е). Для вычисления ЯО1(1,Ж) удобно перейти к промежуточному модулю бу.»~ и записать Яо!(1„Лг) =л Ф [2п], где (У, в»~~) [здесь Чг"(Е Х Е') рассматривается зг(ехеэ »о как постоянный пучок на В Х Е', он действует на вб поскольку ь»» инвариантно относительно дифференцирований ввиду неравенства Коши]. В координатах имеем йГ = С [у,в,д„, д звиад .
+ хз). Поэтому Ф представляется комплексом Кошуля К д +х бьб» )[ — и]. Легко проверить, что ненулевые к е кого- К(д +х — и . К дг,+хи мологии этого комплекса живут лишь в р р азме ности О и что онн п едставляют со о подп б й дпучок лр»~, образованный голоморфр г е,' не зависит от $. Это можно ными функциями вида е-,', где,е з я обозначазаписать в следующем виде (напомним, что через о озн ется вложение Е Х Е'- В Х Е'): Ф=(й,р'бге..Эе-') '. (2.5) Геометрическое преобраеоеооие Фурье 132 Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
