Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(3.4). Предыдущий результат предполагает, что следует систематически исследовать преобразование (3.1). Будем говорить, что пучок на Е является однородным (соответственно монодромическим), если он постоянен (соответственно локально постоянен) на орбитах действия Р+ (соответственно,С.*). Будем также говорить, что объект категории Вь(Е, С) является однородным, если его пучки когомологий однородны, обозначим через Г1ьь,„(Е, С) полную подкатегорию Вь(Е, С), образованную такими объектами.
Определим аналогично монодромическую подкатегорию. Если мы начнем с произвольного 6ен оЬВз(Е, С), то ввиду (3.1) У" ь6 будет однородным. Поэтому ожидать существования 137 Геометрическое преобразование Фурье !36 Б. Мал»кране« чисто пучковой теории, в которую входила бы формула обращения и т. д., можно лишь в случае, когда сам комплекс б взят однородным. В действительности можно' видеть, что У+ является эквивалентностью Р», (Е, С) — «Р» (Е', С) с обратным функтором У= («формула обращения для преобразования Фурье») и все функториальные свойства, которые естественно было бы ожидать (коммутирование с двойственностью, перестановка инъективности и проективности и т. д.), оказываются справедливыми. У этой теории существуют дальнейшие обобщения в контексте вещественных векторных расслоений на разумных конечномерных топологических пространствах, см. [ВГ], [В— — М вЂ” Ч.
В однородном случае У+ можно описать и некоторыми другими способами, как, например, следующим; для открытого подмножества (/с:Е' положим бо=(хепЕ; Кех$>0 для всех 5'ен 1/] («поляра» (/). Для каждого пучка С-модулей б на Е рассмотрим предпучок (/-«Гс.б на Е', переходя последовательно к ассоциированному п)счку, к ограниченным комплексам и к производным категориям, мы получим функтор Р»(Е, С) — « Р», (Е, С), ограничениекоторогона Р», (Е, С) изоморфноУ-«.
В такой форме Уе есть частный случай преобразования, введенного Сато [8 — К вЂ” К] в рамках микролокального анализа; точнее «микролокализация Сато» может быть рассмотрена как деформация нормального конуса, дополненная «однородиым преобразованием Фурье», см. по этому поводу [К вЂ” В] (в [8— — К вЂ” К] связь введенного преобразования с обычным преобразованием. Фурье не проясняется, там это преобразование служит прежде всего для построения «пучка Ю» и появляется как когомологическнй вариант «теоремы об острие клина»). (3.5). Вернемся временно к случаю векторного пространства Е над С (иижеследующее обобщается на случай голоморфных векторных расслоений). Пусть 12 Š— Š— проективное пополнение Е.
Для монодромического %'(Е)-модуля М легко показать, что Зо1М также монодромичен. Обратно, пусть 6 еиоЬР»(Е, ( )— такой комплекс, что )„б имеет конструктивные когомологии. Тогда по «соответствию Римана» [К], [Ме — !] существует комплекс йт(Е)-модулей М с голономными регулярными когомологиями, для которого Зо! М = б, и М единствен с точностью до единственного изоморфизма в Р»( йт(Е) ). Если б, кроме того, является монодромическим, то можно показать, что комплекс М также монодромичен (т.
е. его группы когомологии монодромичны) . При соответствии Римана модули (= комплексы, которые ацикличны всюду, кроме степени 0) отвечают превратным пучкам; с другой стороны, У переставляет голономные регулярные монодромические модули над )»т(Е) и над %'(Е') [отметим, что это неверно, если опустить слово «монодромический»]. Наконец, мы видим, что У+ переводит моиодромические превратные пучки в монодромические превратные пучки; этот результат может быть доказан непосредственно без обращения к соответствию Римана. Ввиду недостатка места я отсылаю к литературе и, в частности, к [Вг] читателя, интересующегося такими вопросами, как характеристические многообразия, близкие н исчезающие циклы, преобразование Радона. Относительно применений к теоч рии групп см.
также [Н вЂ” К]. 4. УСЛОВИЯ РОСТА Введенное в $ 3 однородное преобразование Фурье дает несколько неожиданным образом удобный способ выразить условия роста в бесконечности, которые оказываются связанными с формулой (2.6). Этот способ систематизирует и обобщает на случай нескольких переменных конструкции, рассматривавшиеся различными авторами, см. в особенности [Š— 2], [Ко], [РЬ вЂ” 2]. Выберем на Е систему координат х=(хь .', х„). Обозначим через ]]х]! соответствующую эрмитову норму н введем полярные координаты (р,б), полагая р =][х[], Ю =х/]]х!]еп8»"-Ь Для гз.О обозначим через Яв~"(Я в честь Бореля) следующий однородный пучок на Е.
Росток Яе~' в точке 0 есть пространство целых функций / порядка ( г в следующем смысле: сусцествуют А и В, такие, что ][(х) ] (А ехр(В]]х]!'). (Внимание; <е это определение не совпадает с общепринятым!) Росток Яв в точке а = (ро, де) Ф О есть индуктивный предел (при е — 0) пространств голоморфных функций в секторе ][Π— б"]!«. з, р ) ) 1/е, имеющих порядок г в этом секторе. Определим пучок Яв ', полагая его равным 0 в точке 0 и налагая условие убывания порядка ) г; существуют А ~ 0 и В ) О, такие, что в рассматриваемом секторе ][(х) ] ( А ехр( — В]]х[!').
Один из многочисленных вариантов рассматриваемого результата состоит в следующем. Теорема (4.1). При г ) 1 существует изолорфизм («преобразование Лапласа — Бореля») 1ЗЭ Геометрическое преобразован е Фурье 138 Б. Мальзриноо При этом изоморфизме действие %(Е) на первом члене и действие ~'(Е') на втором члене соответствуют друг другу при Я.
Имеются также следующие предельные случаи: 1) ~ Яе = й1е" ° В) вг (У$в /з1)е ') мЯе", верхний индекс «( — 1» означает «убывание быстрее любой экспоненты ехр( — В]1х1])»; отсутствие верхнего индекса в правой части означает, что никаких условий роста не налагается. Эти результаты могут показаться несколько удивительными: росту порядка г' в бесконечности на Е' отвечает убывание порядка г иа бесконечности в Е. Я хочу напомнить, что существуют аналогичные формулы для ох+ (эхе~'), О ( г ( 1, которые, однако, переводят условия роста (соответственно убывания) иа бесконечности в условия роста (соответственно убывания) в нуле; такие утверждения являются, конечно, более привычными. Я хочу коротко объяснить, как случай В) связан с формулой (2.6); другие формулы доказываются аналогично (читатель, которого интересуют детали, может найти их в [Ма — 4] для случая и =1).
Доказательство проводится в два этапа. Первый этап. Пусть У вЂ” открытое ныпуклое множество Е' и 9'о — пространство функций /~ Ж (Е), обладающих следующим свойством: для каждого э~ У функция х ~1(х)е- 1 принадлежит сР(Е). Тогда комплекс К (дз„,9'в) ацнкличен всюду, кроме степени и, а в степени и отображение 1 ~ 1(х) е-"1йх Л /1 йх отождествляет его когомологии с Г (У, Ув, ). Это утверждение является еще одним вариантом «фундаментального принципа Эренпрайса», относительно ссылок см. замечание (2.9).
Ясно, что при рассмотрении общего случая теоремы 4.1 для получения аналогичных результатов нужно добавить условия роста в бесконечности на У. Второй этап. Пусть аен Е, аФО; запишем а в виде а=(ро,бо) и применим предыдущий результат к выпуклым оболочкам У, откРытых множеств ]~6 — Оо]] = е, Р ) 1/г. ПолагаЯ Ко =1пп амтв, мы находим, что когомологии комплекса К/дх, У,.) — е »р равны м! ., в степени О и равны О в других степенях. Проводя пучковизацию предыдущего результата на В,мы приходим к следующему утверждению.
Пусть д, — пучок на В, равный 0 „на Е и образованный функциями экспоненциального роста (соответственно функциямн, убывающими быстрее любой экспоненты) в окрестности точек х в бесконечности, для которых Ке ха ) О (соответственно Ке ха ( 0); тогда Н (В, У, ») = — ОприйФпиН (В,О ) — Я„ ( — ! Остается показать, что ЕГ(ВУ, ) = ~ ~Вг 1Ве эи ь — пз. П сть ۄ— семейство замкнутых выпуклых конусов, которые целиком, за исключением вершин, содержатся в усть, — с области К ) О. Из (3.4) легко выводится, что второй член в предыеха (гЕ, ~'11оз~ ). Т едущей формуле записывается в виде Р!"з !Е, й1в 1 г,. ребуемое равенство вытекает из упражнения по приведению пучков «к однородному виду», в детали которого я здесь не вхожу, я ничего не говорю также о случае а = О.
3. СЛУЧАЙ н = 1 В заве шение я хочу указать, как можно рассмотреть случай голономного )Г(Е)-модуля М для одномерного векторного проа Е. Я не знаю, как обобщить этн результаты иа пространства . е е на некто ные странства более высокой размерности, а также на в р расслоения ранга 1. Впрочем, если понять, как обстоит дело в случае расслоений ранга 1, легко разобраться и с общим случаем, используя, например, 1«1-модульный вариант формулы У [(й) = ~ е-" йг ~ 6 (à — хэ) [ (х) йх ],, Я буду придерживаться обозначений 2 1 и 2, в частности, Š— Е обозначает проективную компактификацию Е и Š—  — его шаровую компактификацию, положим также оо)=Š— Е, 5 =  — Е.
В окрестности бесконечности ((„.яьо) есть мероморфное векторное расслоение со связностью, которое, , можно описать пучком его горизонтальных сеи то, что чений иа 5, снабженным условиями роста„образующими то, чт называется «структурой Стокса», Напомним точно, что это такое [Ве], [Ма — 3]. 1) Пусть 1 — следующая локальная система на 5; в окре- стности точки О она совпадает с пространством разветвленных дифференциальных форм а= ~, а„х" йх (ко у конечная с мма в маленьком секторе Хо,: ]х! ) 1/г, [агд(х) — 6 ] ( г по мо- дулю членов с и ( †!. Локальная система 1 снабжена локаль- ным отношением частичного порядка: а о, ; а( „, если е имеет умеренный рост в Хо,, для некоторого е ) О. 141 140 Геометрическое преобразованы Фурье Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
