Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 30
Текст из файла (страница 30)
2.3. Лемма. Длн У ) 1 множества й|(Гв) и Й(Ги) я~~~~~~~ под многообразиями в многообразиях К(Тяе) и )1(Тте) соответственно размерностей бд — 3 и 6д — 6. П 3. РАЗЛОЖЕНИЯ ХЕГОРА И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНВАРИАНТА Пусть ) — упорядоченная функция Морса на замкнутом ориентированном трехмерном многообразии М, и пусть 1 в регулярное значение функции Г, разделяющее критические точки индексов 1 и 2. Множества (Г ( Г) и (Г ~ 1) — это два тела рччек (й'| и Юя, которые, пересекаясь по общему краю )о = () = Ту, дают в объединении многообразие М. Такое разбиение )й'| ()е )Р, называется разложением Хегора рода д многообразия М (д— род поверхности Р).
Порядок В'| и Ух имеет значение: он позволяет ориентировать г как край (р'| (с внешней нормалью). Если М' = (е", ()е,В", то, взяв связные суммы вдоль краев, можно образовать разложение Хегора йг, Ф ((Р', ()г „,((Р, ~Р йР,' многообразия МФМ'. Если М' = 5' — единичная сфера в ~Ст со стандаРтным Разложением ХегоРа () г| ~ ( ~ гт1) О (1г| ~ '= 1гх!), мы получаем на М = Мч)85г элементарную стабилизацию разложения Хегора исходного многообразия М.
Стабилизация получается повторением этого процесса. 3.1. Теорема Райдемайстера — Зингера ((5' 4)) Два разложения Хегора одного и того же многообразия стабильно изоморфны. П Дальнейшие сведения о разложениях Хегора можно найти в работе [%]. Пусть (й| ()е 1Рт — некоторое разложение Хегора рода д многообразия М и ń— поверхность Е с вырезанным диском.
Рассмотрим диаграмму Ван Кампена : ТГЩ) ЙЕЕ|ТЦРе1 — а пг(Р) тт|(М) | :хм,(и;) все гомоморфизмы которой являются сюръекциями. На уровне пространств представлений эта диаграмма индуцирует следующую диаграмму включений: Л,= я „~ цит)г=я;Я(ТГ,(М)). Д~ Нетрудно показать, что я|()й|) — свободная подгруппа 'ранга у„ следовательно, чг, является подмногообразием половинной размерности в Н„=Д(1.тя).
3.2. Ориентации пространств )ч|„Л, гт, | || Фиксируем ориентацию трехмерной сферы 5'. Вообще говоря, ориентации (.|| зависят от выбора базисов групп п|(Ю';) и поэтому произвольны. Однако можно ограничиться такими базисами,(а|,Ь|, ..., аг, Ьи) группы п|(г„), которые являются '1 50 А. Марем Новыа инвариант длх трехмерных гомологических сфер симплектическими для ориентации поверхности Р,; в этом случае кривая б представляет собой край поверхности Р„.
Согласно лемме 2.2 ориентация Е„также не зависит от выбора базиса. Ориентируем ~7 как слой субмерсии д. Подобиымобразом ориентируем Й и 0! как базы 50(3)-расслоений Й - Й и 0! — т 4 . Так как пространство Н„ является произведением 2д экземпляров сферы 52, его ориентация не меняется при изменении ориентаций сомножителей 5', То же самое верно и для пространства Н (поскольку ориентации базы 52 субмерсии д и группы 50(3) меняются одновременно!).
В результате ориентации О! и 02 (соответственно О! н 4) меняются так же, как и ориентация 5'. Обозначим через (ф, 02) гомологическое число пересечения О! и 02 в Е„. Тогда из лемм 2.2 и 2,1 вытекает следующее утверждение. 3.3. Лемма. Многообразие М является и-сферой тогда и только .тогда, когда (Ос, 02) = ~ 1. В этом случае О! и 02 грансверсальны в томке, отвечающей тривиальному представлению. В частности, для произвольной й-сферы тривиальное представление определяет изолированную точку и пересечение ()! П 1гх компактно. Следовательно, в этом случае можно определить гомологнческое число пересечения О! и йгх в Й, обозначаемое чер ° М, Ф;.
3.4. Предложение — определение. Число 2 ( 1) (х!' 02)а/(О! !чо)а„ не зависит от РазложениЯ ХегоРа Ю'!()т (Ра и-сфеРы Н; это ин- вариант Кассона )ч(Н) сферы Н. Доказательство. Согласно 3.2 указанное выражение не зависит ни от ориентации 52, ни от конкретного выбора ориентаций 0! и 02. Поэтому в силу теоремы 3.1 достаточно заметить, что оио инвариантно относительно элементарной стабилизации. В самом деле, в этом случае пространства Н„, О! и 02 превращаются в 5'Х 52ХН„, 52Х 1 ХО! и 1 Х5'Х 02 соответственно.
Новый знаменатель имеет вид ( — 1) ~' (5 Х 1, 1 Х 5 ) (О! 02) = ( — 1) (0! 02)а„. Аналогично изменяется и новый числитель, однако, поскольку б1ш (,!! = Сйш0! — 3, меняется знак. П Мы увидим в 6.3, что число(!',1с, 02)й четно (главным образом потому, что отображение 52- 50(3) имеет степень 2); это 1 объясняет наличие в формуле множителя —. 2 ' 4. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ХИРУРГИИ, СХЕМА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ !.1 Любое ориентированное трехмерноемногообразие М является краем ориентированного четырехмерного многообразия 32.
Перестраивая, если необходимо, многообразие )й' (заменяя оснащенные окружности 5' Х 02 на 02 Х 5'), можно считать, что для многообразия 1Тт существует функция Морса, постоянная на М и не имеющая иных критических точек, кроме минимумов и точек индекса 2. Прикленваюшие сферы этих критических точек. образуют зацепление Е, снабженное тривиализацией своего нормального расслоения. Говорят, что М получается хирургией вдоль Е н что многообразие ГР' есть след хирургии (см. [Н], глава 6). Если М является й-сферой, то форма пересечений )а' унимодулярна.
Переходя к связной сумме с ~СР2 (в результате чего к Е добавляется незаузленная компонента с числом зацепления ~1), можно превратить форму в диагонализируемую ([3е[, с. 91 и 98 русского перевода). Реализуя диагональную форму гладкими ручками, мы получаем, что числа пересечений каких- либо двух компонент из Е равны 0 и что числа самопересечений тривиализацнй равны ~1.
Таким образом, уровни, разделяющие критические точки, образуют последовательность Тг-сфер 52 = = Но,, На = Н, где Ноь! получается из Н; хирургией с коэффициентом . 1. Поэтому мы можем вычислить 1. шаг за шагом,, используя свойство ч) теоремы 1.1. Свойства ш) и !У), равно как и свойство й), вытекают из А.2. Для доказательства свойства ч) мы получим в $,5 следующее утверждение. 4.1. Предложение. Разность Л(К„+!) — Х(К„) является целым числом, не зависящим от и. Обозначим этот инвариант узла К через )ч'(К).
Из предложения.4.1 следует, что для зацепления (К, Е), состоящего из двух компонент с нулевым числом зацепления, сумма ! ) (й, Е) = лХ' ( 1) Тч (Кич! Егч!) с, 1-о не зависит от й и 1. Очевидно, что ) а(К, Е) представляет собак разность инвариантов 1.'(К), когда К рассматривается в й-сферах Еыт! и Е!. В $6 мы докажем следующий результат. А. Марен 4.2. Предложение.
Если (К, Е) — ограничивающее зацепление, т. е. если К и Е ограничивают две непересекающиеся поверхности Зейферта, то /."(К, /.) = О. Если Е = С является краем диска, трансверсально пересекающего узел К в двух точках, то можно отождествить //-сферу Е / = С / с Н = С,, а узел К вЂ” с его образом, в результате чего происходит изменение скрещивания (см. [К11, с. 264).
Следовательно, в этом случае ).в(К, С) представляет собой вариацию )'(К) при изменении скрещивания в окрестности С. Изме.нение скрещивания в окрестности С' называется непвресекаю- 41 к 8 и с Рис. 1. Рлс. 2. щимся с изменением скрещивания в окрестности С, если для дисков Н и 1/', ограничивающих С и С', 0П К не разделяет 1/'П К на К. В этом случае С и С' ограничивают поверхности Зейферта, пересекающиеся в дополнении к К, и значит, как в Н = Ко, так и в К/ имеет место равенство )" (С, С') = О. Разворачивая и перегруппировывая это равенство, мы получаем следующее утверждение. 4.3. Лемма. ),в(К, С) инвариантно относительно непересекающегося изменения скрещивания узла С.
П Для того чтобы отождествить /1'(К) с — Л" (1), ограничимся случаем узлов в 5г. (Общий случай получается индукцией по числу хирургий, необходимых для перехода от 5г к Н.) Так как любой узел можно развязать последовательным изменением скрещиваний, то достаточно отождествить )чв(К, С) с вариацией 1 — Л (!) при изменении скрещивания.в окрестности С. Заметим, что согласно формуле Конвея (А.1) для этой вариации верна лемма 4.3. Следовательно, можно предположить, что (К, С)— это зацепление, представленное на рис.
За). Так как узел К тривиален, то ),е(К, С) = ).'(К(п)). Но согласно лемме 4 3 разность л'(К(п — 1)) — 2,'(К(п))=то(К(п), С) не зависит от и (см. рис. ЗЬ) и Зс)). Поскольку (рис. Зй)) узел К(О) тривиален, .а К( — 1) — трилистник, достаточно доказать равенство А'(К) = Новыа инвариант длв трехмерных гомологических сфер 15аг = — Лкм(1) длЯ тРилистника. А оно вытекает из следУющего утверждения, доказываемого прямым вычислением. 4.4. Предложение. Пусть К вЂ” узел рода 1 в незаузленной поверхности Зейферта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
