Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Они также мажорировали порядок [Е(К)ы„,[ функцией инварианта рг и степени [К: Я. (Прн К= (;! ситуация еще лучше: Мазур ([Ма 2]„т. 8) доказал, что в группе Е(Я) не больше 16 точек конечного порядка.) Аналогичные оценки были получены Фреем и прояснены мадам Флексор ([Р1]). 3) Предположим, что для любой эллиптической кривой степень параметризации Вейля (в смысле [Ма 1]) модулярной и. ГИПОТЕЗА СЕРРА 1. Представления группы Галуа Пусть (;) — алгебраическое замыкание поля Я, 0о = = гка!(Я/(.)) — ее группа Галуа и Р— поле характеристики 1 ) О.
Рассмотрим представление р: Со — »СЕе(Р). Предположим, что гомоморфизм р непрерывен, т. е, пропускается через группу Галуа Па!(К/Р), где К вЂ” конечное расширение Галуа поля (.). Множество В всех простых чисел р, в которых р разветвлено, является конечным. Любому простому рф 5 отвечает элемент Фробениуса р(РгоЬр) группы 1ш(р), определенный с точностью до сопряжения. Положим а„= Тг р(РгоЬ„) Ф (р) — — бе1 р (РгоЬр) Предложение 2.
Знание элементов ар и еь(р) поля Р для почти всех р Гила, что то же самое, для множества простых р плотности 1) определяет представление р с точностью до полупростой оболочки. (19) Действительно, знание всех этих ав и ь»(р) определяет, по теореме Чеботарева, характеристический многочлен матрицы р(п) для всех элементов д группы 0о. Кондуктор представления р определяется формулой, аналогичной той, которая используется для определения кондуктора кривой Хв(АГ) мажорируется числом Л", где с — абсолютная константа. Тогда инвариант ре ограничен для всех эллиптических кривых над 1„1, которые являются кривыми Вейля (т.
е. гипотетически для всех). 5. Другие гипотезы Я отсылаю читателя к семинару Шпиро по алгебраической геометрии 1987 г, для изучения следующих гипотез, нз которых вытекает гипотеза 1: утверждения типа чгипотезы о малых точках» из [Бх]; эффективные варианты гипотезы Мордедла; арифметические аналоги неравенств Богомолова и Мияоки. С другой стороны, Войта опубликовал книгу [Чо], в которой сформулировал более общие гипотезы относительно высот точек алгебраических многообразий, определенных над числовыми полями. Эти гипотезы вдохновлены аналогией с теорией Неванлинны.
Из них вытекает гипотеза аЬс. Новые подковы к «теореесе Фермое 171 170 Ж. Оетерле Артина в характеристике 0; при этом следует ограничиться простыми, отличными от 1. Для всех простых рФ1 выберем продолжение на поле (1 р-адического нормирования на поле Я, обозначим через (6с)с> соответствующую последовательность подгрупп ветвления в 1сп(р) (равных (0) для достаточно больших с), а через й,— размерность подпространства всех р(6с)- инвариантов.
Положим п (р, р) = Х (6в: 6с1 ' (2 — й!). с-о Число п(р, р) = 0 тогда и только тогда, когда представление р неразветвлено в р. Теперь кондуктор представления задается формулой (20) У= П р"!е Р!. р,' с Порядок характера йе1р: 6о — т Р' взаимно прост с 1. Ега кондуктор (в обычном смысле) делит 1У: чтобы в этом убедиться, нужно сравнить приведенные формулы для кондукторов представлений р и бе1р. Из теории полей классов вытекает существование характера Дирихле сх (У/УУ)' — »Р' и элемента й группы У/(1.— 1) У, характеризуемых условием (21) с1е1р(ргоЬр) = — р"е(р) (р не делит 1У).
Если с — комплексное сопряжение, отвечающее вложению поля 1 ! в пале комплексных чисел (, то (22) йе( р(с) =( — 1) е( — 1). Серр (15е 3), 2 2) связал с представлением р вес я, являющийся целым числом ) 2, вычет которого по модулю 1 — 1 равен й+ 1. Определение веса я слишком техническое, чтобы напоминать его здесь. Мы лишь укажем, что вес зависит лишь от ограничений представления р на группы инерции, отвечающие простым р (относительно продолжений на поле Я р-адических нормирований на поле Я).
Пример. Пусть Š— полустабильная эллиптическая кривая, определенная над полем (1, Пусть 1 — простое число и р,: 6— — ~ 6Ле( Г!) — представление группы Галуа, доставляемое точками порядка 1 на кривой Е. Детерминант представления р!— это циклотомический характер х,: 6 -эГК, задающий действие группы 6а на корнях степени 1 из 1: зто следует нз свойств спаривания Вейля.
Имеем тс(РгоЬр)= р при р Ф1 и тс(с) = — 1. Характер е, отвечающий представлению рс, тривиален. Кондуктор представления р! делит кондуктор эллиптической кривой Е. Из анализа кривых Тэйта вытекает, что кондуктор представления р, равен произведению тех простых чисел р ~ 1, которые входят в разложение минимального дискриминанта Л кривой Е с показателем, не делящим 1. Вес представления р! вычислен Серром ([Ве3), предл.
5): он равен 2 или 1+ 1 в зависимости от того, делится на 1 или нет показатель, с которым входит простое 1 в разложение днскриминанта Л. 2. Модулярные представления Пусть У в натуральное число « 1, й — целое число ~2 и е: (~/У7)к- Ск — характер. Обозначим через (! полуплоскость Пуанкаре и через Ге(У) — подгруппу группы 5Лз(е, ), состоящую /а Ь~ из всех матриц вида ~ 1, таких, что с — = 0 шойУ. ~. й) Напомним определение параболической есодулярнай формы типа (У, я, е): это голоморфная функция на $, такая, что (23) ~( д)=е(й) (ст+й) 1(т) / а (с'! для всех ( ) я Ге(У) и т ен Ь, и стремящаяся к нулю при ~,с с() подходе к параболическим точкам. Такая функция допускает разложение в ряд е (24) Т= ~ а„с7" (с !7 =евпст). ! Если 1 не равно нулю, то (25) (-1) = (-1)".
Множество 5(У,А, е) всех параболических модулярных форм типа (У, й, е) является конечномерным векторным простран- ством над полем О.. Каждому простому числу р, не делящему У, отвечает оператор Гекке Т в пространстве 5(У,я,е). Если юв функция Т= ~ а„с( — элемент пространства 5(У,й,е), то ! ! (26) Тр С = ~ а„рУ" + и (Р) Р" ' ~ апс("о, Операторы Гекке коммутируют друг с другом. Пусть (а ) г н— система собственных значений операторов Гекке, т.
е. семейства комплексных чисел, такое, что пересечение всех собственных подпространств Кег(То — а ) не равно (О). Тогда кольцо Р, порожденное числами ао и е(р) для всех р, не делящих У, яв- ляется к.-модулем конечного типа. Пусть а! — ма — гомоморфизм 173 Новые оодходы к «теореме Фермот 172 Ж. Остер»в кольца Р в поле Р характеристики 1 ) О. По теореме Делиня ([О, 5], т.
6.7), существует непрерывное полупростое представ- 'ление р: 0,-~0Е,(Е), неразветвленное вне 6Ч и такое, что Тг р(ргоЬр) = ар, (27) 1 ( бе1 р ( ггоЬв) = р» 'и (р) для всех простых р, не делящих И'. Эти свойства характери- зуют представление р с точностью до сопряженности (предло- жение 2). Формулы (22), (25), (27) дают нам почетность характера бе! р, т. е. (28) бе1р(с) = — 1, где с — комплексное сопряжение, отвечающее вложению поли Я в поле комплексных чисел С. Определение 1. Непрерывное представление р: 0о- 0Е,(Р). полученное таким образом, называется модулярнь м представ- лением типа ()Ч, й, г).
3. Гипотеза Серра Пусть 1 — простое число, Р— поле характеристики 1 н р: Оо- '0Е» (г) — непрерывное представление группы Галуа 0о = Оа1(фЦ) поля Я. Предположим, что р удовлетворяет двум следующим условиям: а) р абсолютно неприводимо; Ь) характер де! р нечетен, т. е.
выполнено условие (28). Условие Ь) эквивалентно утверждению о том, что матрица /! О') р(с) сопряжена матрице ~ ~. При 1Ф2 любое неприво- 1,6 -1,) димое представление, удовлетворяюшее условию Ь), абсолютно неприводимо. Гипотеза 5 (Серр, слабая форма). В предыдущих предположе- ниях существуют целые л!» 1, й ~ 2 и характер ео:(л,/1«'тх) «- в ~- С к, такие, что р — модулярное представление типа (Ж, к, е) в смысле определения 1, Это утверждение (3.2.37) статьи [Бе 3]. Замечание '4. Иэ этой гипотезы вытекает, что модулярное пред- ставление р поднимается в характеристику О до ).-адического представления (см. [Е),5]): утверждение, доказательство кото- рого неизвестно, Вернемся к обозначениям начала этого раздела.
Пусть Л',й и е: (о,/тт' т)" — Р" суть кондуктор, вес и характер, ассоциированные с р (см. п. 1). Можно выбрать подкольцо Р поля С; гомоморфизм Р-ь-Р и характер го. (г./Агет)"-ь.Я", поднимающий характер е и имеющий тот же порядок, что и е. Гипотеза 6 (Серр, сильная форма). В предыдущих обозначениях р — модулярное представление типа (711,я,го) за исключением, может быть, двух следующих случаев: а) 1= 2 и р индуцировано с характера группы Галуа 0о Ы=Т)' Ь) 1 = 3 и р индуцировано с характера группы Галуа 0оттг-ь) ' Это утверждение (3.2.4) статьи [Бе 3), с точностью до того, что в нем случаи а) и Ь) не были исключены.
В апреле 1987 г. Серр нашел примеры, показывающие необходимость исключить случаи а) н Ь). В этих примерах представление р доставляло систему собственных значений, отвечающую модулярным формам в характеристике 1 в смысле Каца [Ка] типа (1т', я,г), но эта система не получалась редукцией шод1 никакой системы собственных значений, возникающей нз пространства 5()ч',я,ео). Этот феномен возникает лишь в случаях а) и Ь) (Серр, курс в Коллеж де Франс в 1987 г.) Для приложений, указанных в следующем разделе, это уточнение не играет роли.
Замечание 2. Гипотезу 6 можно проверять численно. Во многих специальных случаях это было проделано Местром. Некоторые из них находятся в статье [Зе 3), 9 5. 4. Приложения Мы приводим лишь набросок доказательств. Их подробное изложение см. в [Зе3) $4. А) Теорема Ферма Теорема 5. Оз гипотезы 6 вытекает теорема Ферма. Если теорема Ферма неверна, то существует простое 1) 5 и нетривиальное примитивное решение уравнения А'+ В'+ + С'=О. Поменяв местами А, В, С, можно считать, что эллиптическая кривая Е.,ь... где а=А', 5=В', с=С', является полустабильной (1, п.' 1). Пусть р; О, -«0Е, [Г,) — представление группы Галуа, доставляемое точками порядка 1 на кривой Е,,ь, Серр доказал его неприводимость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
