Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 38
Текст из файла (страница 38)
'цгеи А. ОЬег же Вевбпипипя П!г!сЫе(всьег Пе!Ьеп йигсЬ Гцпйпо. па1 д!е1сьипбеп, Май. Апп. 168 (!967), 149 — 156 (-Оеичгев Зс!. [!967а)). [Имеется перевод: в сбл Математика !4: 6 (1970),. Литература, добавленная при переводе ! 38 — ! 45.) Паршин А. Н. О применении разветвленных накрытий а теории диофантовых уравнеаий. Матем. сб. 180 (1989), № 2, 244 — 259.
Дринфельд В. Г. Накрытия р-адических симметрических обла. отей. Функц. анализ и его прилом. 10 (1976), № 2, 39 — 40. Черелиик И. В. Униформизация алгебраических кривых дискрет- ными арифметическими подгруппами РОЬ»(йч) с компактными факторами.— Матем. сб. 100 (1976), 59 — 88. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КОГОМОЛОГИИ (по Ландвеберу — Сгонгу, Ошанину, Виттену и прочим) Грэм Сигал Эллипгичесиал хогомология 189 контексте результаты озадачивают, а Виттен умеет эвристически объяснить, каким образом они становятся естественными в терминах анализа на пространстве петель. Здесь я не старался описать историю предмета, с которой можно ознакомиться по превосходному сборнику [1].
Сейчас наиболее значительными конкретными результатами кажутся эквивалентные характернзации эллиптических родов ((2.1) и (3.7) ниже), существование эллиптической теории когомологий Е11", а также информация, полученная о Е11'(В6), для конечной группы О. 1. За последние несколько лет в исследованиях различных нащравленнй появились указания на то, что пространство гладких петель ЫМ многообразия М полезно представлять себе как некоторое естественное «утолщение» М; прн этом М отождеств.ляется с подпространством АМ, состоящим из петель, стянутых в точку. В идеале хотелось бы изучать пространство непараметризованных путей, однако оно довольно неудобно в обращении, так что вместо него обычно рассматривают пространство .ТМ параметризованных путей, работая эквивариантно относительно группы диффеоморфизмов окружности, действующей на 2'М ,репараметризациями.
Важнейший стимул к такому восприятию ЫМ пришел из струнной теории элементарных частиц; он повлиял на математику в основном благодаря авторитету Виттена. Из собственно математики я бы отметил (а) работы Висмута (например, [8], ср. также [5]) по теоретико-вероятно.стному подходу к теории индекса Атьи — Зингера; (Ь) описанные, например, Гудвилли [13] и Гецлером — Джоунсом — Петраком [12] связи пространств петель и циклических когомологий, а также возможные следствия теорем Гудвилли в теории Вальдхаузена классификации многообразий; (с) определение Флоера групп когомологий «в средней размерности» для пространства петель симплектического многообразия.
Один из признаков возможного существования богатства неоткрытых геометрических свойств пространства петель — это существование эллиптических когомологий. Известные в настоящий момент о них факты, строго говоря, никак не связаны с пространством петель и могут быть получены с использованием стандартных методов алгебраической топологии. Однако в этом Беда! Огаеюе В!1!оно соьогоо1оду (абег ЕапдхчеЬег — Б!опд, Осьап!пе; "1!гп!еп, апд о!Ьегз).
— Беги. ВопгьаЫ, 1987 — 88, № 695, Аз!ег1зяпе 161 — 162, "1988, р. 187 — 201. © перевод иа русские язык, И. С. Захаревич, 1990 2. РОД Род — это правило, сопоставляющее 'каждому замкнутому ориентированному многообразию М комплексное число Ф(М), удовлетворяющее (1) Ф(М! ][ Мз) = Ф(М!) + Ф(М,), (И) Ф(М!ХМз)=Ф(М!) Ф(Ма) и (И1) Ф(М!)=Ф(Ма), если М! и Мз кобордантны., Иными словами, Ф вЂ” это кольцевой гомоморфизм 1л-,С, где Р— кольцо Тома ориентированных кобордизмов. Наиболее известные рода — это сигнагура (формы пересечения в средних когомологиях) и А-Род.
Они принимают значения соответственно в У и в л",['/з]. Число Эйлера ч!(М) — не род, так как неинвариантно относительно кобордизмов. Том доказал, что й Э (;) — кольцо полиномов (г[рз, Р4, р' ...] от классов четномерных комплексных проективных пространств. Значит, задать род в это Фо же самое, что задать формальный степеннои ряд 1ояе(х)=~ 2 +! Ф(Р )хл из .С [[х]]. Сигнатура и А-род удовлетворяют более строгому свойству мультипликативности, чем (И).
Снгнатура удовлетворяет тождеству Ф(М)=Ф(Р) Ф(В), если М вЂ” расслоение над В со слоем Р с компактной связной структурной группой. А-род имеет то же свойство в случае, когда Р— спинорное многообразие. Естественно встает вопрос о нахождении всех формальных степенных рядов 1опе, для которых Ф имеет это более сильное свойство мультипликативности. На него отвечает Теорема (2.1). Рад Ф мультипликативен для всех Расслоений на спинорные многообразия со связной компактной етРугстурной группой тогда и только тогда, когда 1оде является эллипгиче- 191 Эллиптических когоиологил Г. Сигал (2.2) Поразительно, что универсальный эллиптический род спинорного многообразия совпадает с характером унитарного проективного представления группы 11111(Ес) диффеоморфизмов окружности.
Точнее, если Е, ее О)11(Е«) — вращение на угол т, то существуют такие проективные унитарные представления Ем, что Ф(М)(т) = 1ТЯ,]Ем) — 1ТЯ,]Ем) как гиперфункция от т. В частности, Ф(М) имеет целые коэффициенты в разложении по степени д. ским интегралом, т. е. имеет вид л !одсь(х) = ~ (1 — 26Р+ е1') сиЖ о при некоторых 6, е ~ 1 .
Такой род Ф называется эллиптическим. Все эллиптические рода можно рассмотреть одновременно, введя универсальный эллиптический род Ф(М) со значениями в функциях 6 и з. Часть «только тогда» (вместе с частью «тогда» для расслоения со слоем Р'пь') была доказана Ошаниным [19], остальное было доказано Таубсом [25]. Интеграл (2.2) в случае ненулевого дискриминанта е'(6» — з) есть обратная функция для нечетной эллиптической функции э„ которая однозначно характеризуется своей решеткой периодов Е вместе с тем свойством, что она имеет нуль в некоторой точке со второго порядка на,С/Е (в остальных двух она имеет полюса).
Интеграл однороден, т. е. замена (6,е) на (Уб,).са) изменяет Е на )« — сЕ, а Ф(М) на )льпмФ(М). Поэтому (ср. [24]) эллиптический род Ф(М), определенный по (2.2), является модулярной формой веса с()тМ как функция (Е,,ь«). Обычно она нормализуется условиями Е=2яссл, +4пстл,, ь«=2пст, где т лежит в верхней полуплоскости Н. Тогда Ф(М) — голоморфная функция от теи Н, которая модулярна веса сПтМ под действием подгруппы Го(2) группы РБ(.г(Х), сохраняющей полу- период ь«. С другой стороны, так как со определяет спинорную структуру на эллиптической кривой С/ь', то можно говорить о существовании своего эллиптического рода для каждой эллиптической кривой со спинорной структурой.
Пространство Н(Го(2) можно компактифицировать добавлением двух вершин т =О, т = соо, в которых эллиптическая кривая вырождается. Эти точки соответствуют сигнатуре и А-роду. В терминах д = =е'"" мы имеем (2.3) з (и) = 2 (д йс/~и П с( (1 Чпги) (1 Чпг — «) (1 л Чп) ] и с 3. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ И ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ РОДА Предложение (3.1). Любой род Ф может быть единствен- ным образом представлен в виде (3,2) Ф(М) =(Ф(Тм), [М]), где [М] ~ Н„(М) — фундаментальный класс, Тн — касательное расслоение М, а Ф: КО ( ) — «Н"'" (;С) — стабильньсй экспонен- ссиальньсй характеристический класс вещественных векторных расслоений.
Здесь под экспоненцнальностью понимается свойство Ф(Е Ю Р) = Ф(Р) Ф(Р), а стабильность означает, что Ф(Р) = = е чьО в Н' (точка, С) =.С. Этот результат Хирцебруха хорошо известен [18]; отметим лишь, что (3.2) определяет инвариант кобордизмов в связи с тем, что при М =д(«с (Ф(Тм), [М] =е-с(Ф(Тст] М, [М]), где е=Ф(Й), =е с(йФ(Тчт), [Щ) по теореме Стокса =О. Экспоненциальный характеристический класс определяется значением на тя, т.
е. вещественном расслоении, соответствующем универсальному комплексному линейному расслоению Т1 на Р", причем Ф («1 ) может быть произвольным четным элементом Н" (Р','С) С,[[и]], где и и ~ Н'. Поэтому Ф(Т1„) (обозначим его, скажем, через р, (и)) есть еще один формальный степенной ряд, ассоциированный с Ф: Стабильное касательное рас-' слоение Р" есть (и+1)т1 — 2, поэтому (3.2) показывает, что Ф(Рп) — это коэффициент при ип в е 'рф(и) "с, так что формула Лагранжа обращения рядов ([10], с. !25) дает Предложение (3.3). Ряд е'1оц,(х) обратен к ряду иТрф(и), т. е.
е»1ояф(х) =и ФФ и/рф(и) =х. Предложение (3.1) можно переформулировать в терминах К-теории, поскольку характер Черна дает изоморфизм с)с: К(А')З.С вЂ” Н' '"(лТ;.1 ). Предложение (3.4). Ф(М) = п~ (Аф(Тм)), где Л«,с 'КΠ— » К 8 С— стабильньсй экспоненциальньсй характеристический класс, а ссм: К(М)с8«С — «.С вЂ” отображение Газика в К-теории, соответствующее пм: М- точка. 193 Эллиптическая когомология !92 Г. Сигал По топологической теореме Римана — Роха [11] пм (Р) = \ =(сп(Е)А(Тм), ]М!), поэтому сЬЛф(Е)=А(Е) 'Ф(Е). Примеры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
