Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Определим теперь пространство Е'-спиноров на )г как оэо = Ег(У) Э Л(Ж~) = = 5()Е')Э5((гг)ЭЛ(й)г1). Мы уже знаем, что на этом пространстве действует группа В!11»,г«, РШя, причем действие Г)!!(я суперсимметрично. Определим оператор Дирака ()о на мйо как — 1м пг действие элемента НО ее (гя~ . Так как квадрат этого элемента равен (г(/с(0) я, то его индекс — это просто 5((гг).
Сейчас уже возможно определить (по крайней мере груба) оператор Дирака Я на Лгм. На М опредрлено расслоение 36м со слоем Жо, так что пространство Ег-спиноров на )Чм — это пространство сечений Л(М)ЭЖм. Определим Ы =.'«)м-[-Я,„, где Ым — обычный оператор Дирака на М, тензорно умноженный на лэм, а оператор Яя послойно индуцирован оператором 'Юо на оэм Индекс .й легко сосчитать, так как расслоение Мм биградуировано действием 7» Х ]Гя вращениями, конечномерно в каждой бистепени, причем Ыг сохраняет биградуировку. Поэтому индекс Ы вЂ” это индекс оператора Дирака на тензорно умноженный на послойный индекс (Яя) на М, т. е. на 5(Ю') = =5((Вд"Тм).
Итак, мы проделали несколько шагов в направлении обоснования формулы локализации для (4.4). 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КОГОМОЛОГИИ Вернемся к классической алгебраической топологии. В большей части важных применений критическими свойствами рода являются его свойства целочисленности. Лучше всего обсуждать их на языке обобщенных теорий когомологий. Рассмотрим мультипликативную теорию когомологий Ь', для которой 2 обратимо в Ь' (точка). Обозначим градуированное кольцо Ь' (точка) через Я. Ориентация Ь* — это нечетный элемент 5~ Ь'(Р ), который при ограничении на Ьг(р') дает каноническую образующую (здесь нечетность означает, что $» —: — $ при действии комплексного сопряжения на Р ).
Выбор ориентации, если он возможен, сразу определяет множество структур ( [2, 21] ), в частности: (1) классы Черна с1"1(Е)~Ь«и(Х) комплексного расслоения ЕнаХ; (В) изоморфизм Тома Ьг(Х) — ~- агьо(Е+) для любого вещественного ориентированного и-мерного векторного расслоения Е на Х; (ГВ) отображение Гизина /,: Ь'(М) — Ь'-"(В) для любого рас- слоения [; Š— В, слои которого — ориентированные и-многооб- разия; (!ч) Р-значный род Фм где Ф»(М) =и, '(1) «и Н ~'"~; (ч) градуированный нечетный формальный групповой закон Р на Я, где Р(х, у)=~пах'у! ееРпх, у]] определяется как с!»'(ЕЭМ)=Р(с11»)(Е), с!1»1(М)) для любых двух комплексных ! линейных расслоений / и М.
Здесь через Е+ обозначено пространство Тома для Е, 6" (х) = = Ь* (Х, точка), а нечетность и градуированность Р означают, что ао ее Н вЂ” ' +! — '1, а Р( — х, — у) = — Р(х, у)., По свойству (!1) существует универсальная ориентированная теория (г' и каноническое преобразование»г'-»-Ь" ее в любую другую. Теория (г" — это ориентированная теория кобордизмов, ее кольцо коэффициентов 11" (точка)=На — это кольцо Тома, к которому добавлена '/,. Универсальное отображение На- 1»* (точка) — это Ф». Пример. Пусть Н = С [б,е] — градуированное кольцо модуляр- ных форм для Го(2), где 61«е Я вЂ” 4, ее= Н вЂ” г — те же, что и в (2.2).
Пусть Ь'(Х)=Н" (Х;Н) (т. е. Ь'(Х)=Ф Нг — '(Х;Н-1)). Элемент я(и) из (2.3), рассматриваемый как элемент Н'(Р"; Я) при отождествлении и с образующей Н'(Р; х),— это ориентация, приводящая к эллиптическому роду. Чтобы показать, что коэф- фициент при и» в 5(и)=я(и,т) действительно принадлежит /а Ь1 Н-г»-, заметим, что при [ ) ~ Г,(2) [. с а') поскольку обе части имеют одинаковую бипериодическую по и, одни и те же нули и одинаковую производную при и =(), Фор- мальный групповой закон для Ь" — это теорема сложения Эйлера для интеграла (2.2): (5.1) Р(х, у)= хг (у) + уг (х) где г(х)=(1 — 2бхг-[- ех») иг.
Отметим, что Р определено пад подкольцом л, ['/г] [б, е]. Квиллен сделал очень плодотворное наблюдение (ср. [2], [21]) о том, что категория ориентированных теорий когомологий над Е ['/г] «в большой степени» эквивалентна алгебраической категории пар Я, Р), где Я вЂ” антикоммутативное градуированное кольцо над г.,['/»], а Р— градуированный нечет- 202 Эллиптическая когомология Г. Сигал ный формальный групповой закон над Е. В частности, Еа — это подлежащее кольцо универсальной формальной группы Лазара.
гут ыть даже в точНасколько мне известно, эти категории могу б ности эквивалентны, однако неизвестен общий мета вания тео и р и когомологий паре ()г, Р). Несмотря на это закон Р щий метод приписыопределяет гомоморфизм )га-+-Е, причем если )7 е ли плоско над а, то я= 9яа)г — искомая теория. Ландвебер заметил в [16], что для того, чтобы Оя было теорией когомологий, для )г достаточно быть плоским при локализации в простых идеалах Еа, инвариантных при действии группы автоморфизмов универсалькаж ной формальной группы. Он определил эти идеалы дога простого числа р из г, групповой закон имеет некоторый инвариант, называемый весом ([21]). Для каждого р и в кото ом— веса й существует единственный простой идеал 1,, е Р ,м редукция р м — это универсальный групповой закон веса я в характеристике р.
Ландвебер определил простое алгебраическое условие на Еа-модуль )г, которое гарантирует, что 11я — теория когомологнй. Оно было применено в [17] для доказательства следующего факта: Теорема (5.2). Пусть Я=7.['Я [б,г,з — '], со структурой Еамодуля, возникаюи(ей из эллиптического рода, т. е.
формального группового закона (5.1), Тогда Е(Р=(г* ®я„— теория когомологий. Это и есть эллиптические когомологин. На самом деле теорема Ландвебера преобразует й' в р-локальную теорию (г,' я> для каждой пары (р, я), связанную с групповыми законами веса я над р-локальными кольцами. Эти теории называются теориями Джонсона — Вильсона [21]. К-теория — это амальгама всех ьг; > с (г = 1; эллиптическая теория — с 7г = 2. Теорема (5.2) доказывается очень просто чисто алгебраическими методами, но настоящий вызов — это найти геометри кое описание ЕИ .
Ключом здесь может стать и удивительная теорема Хопкинса — Куна — Равнеля [14], к формулировке которой я теперь перехожу. Пусть 6 — конечная группа. Хорошо известно [3], что К'(В6) — это пополнение кольца характеров Е(6). Точнее, для каждого простого числа р можно определить «характер» для любого т ($). Этот характер — функция на множестве 6 классов сопряженности 6 порядка степени р со значениями в алгебраическом замыкании Цр поля р-адических чисел.
Он индуцирует изоморфизм К(В6) Ех,(;)р- Мар(6,; (1р), где К" (В6),— р-адическое пополнение К*(В6). Для эллиптических когомологий аналог 6 — это 6п~, т. е. множество класр сов сопряженности пар коммутирующих элементов 6 порядка степени р, а аналог ~ — это 77, алгебраическое замыкание поля частных р-адического пополнения Е = ЕИ' (точка). Теорема (5.3). ([14]). Для любой конечной группы 6 имеется изоморфизм Е1Т(В6)р ®ягг — » Мар [6р~'; гт), где ЕИ'(В6)р — р-иди«еское пополнение ЕИ" (В6). Эта теорема наводит на размышления, поскольку эллиптический род многообразия М мыслится как интеграл по пространству отображений тора в М, а множество пар коммутирующих элементов 6 — это множество классов гомотопий отображений тора в В6. 6.
РАЗМЫШЛЕНИЯ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КОГОМОЛОГИЙ Определим для пространства Х категорию й», объекты которой — точки Х, а морфизмы из хо в х1 — это пути в Х, соединяющие хо с х,; два пути отождествляются, если они отличаются только параметризацней. Функтор из зл» в категорию конечномерных векторных пространств — это в существенном то же самое, что векторное расслоение над Х со связностью (если только функтор непрерывен в подходящем смысле).
Хорошо известно, как по таким объектам строится К-теория. В [23] я описал категорию Ж, объекты которой — компактные ориентированные одномерные многообразия, а морфизмы нз 5г в 51 — это пары (г., а), где ( — риманова поверхность с краем дг., а а — изоморфизм между дХ н 5, — 5о, Две пары (г,,сс) (г.',сг') отождествляются, если они изоморфны.
Для любого пространства Х можно определить категорию В'», объекты которой — пары (5,»), где 5 — объект $', а з — отображение 5- Х. Морфизм из (5о, зо) в (5ь з~) — это тройка (Т., а, о), где (г.,сс): 5о- 5,—.морфизм в У, а о: г.-ч-Х вЂ” отображение, совместимое с (з,, з1). Категория Ж» — естественный аналог Эг», нз которой получаются векторные расслоения. Удобно рассматривать функторы из м в категорию П топо- логических векторных пространств с морфизмами типа ядерных.
Если такой функтор Е голоморфен в естественном смысле, то Е (5') — это представления конечного типа с положительной энергией группы Р!11(5'). Если быть более точным, то необхо- Г. Сигал димо рассмотреть проективные представления $' некоторого определенного целого положительного уровня А. Наложив дополнительное условие — условие стягиваемости, сформулированное ниже,— мы обеспечим то, что характер Е(5') будет модулярной формой веса А. Теперь определим эллиптический объект уровня А на Х как л т проективный функтор Е: [5'х-и[/ уровня )г, голоморфиый и удоетворяющий условию стягиваемости, Такой объект состоит из вбесконечномерного векторного расслоения на пространстве петель ЫХ, эквивариантного относительно действия Р[[[(5!) и снабженного некоторыми дополнительными структурами, соответствующими связности для Я».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
