Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

(Иначе она содержит траекторию, соединяющую две вершины, но легко видеть, что таких траекторий существует не более счетного числа (см. [4].)) Для биллиарда в прямоугольнике или, в общем случае, если, отражая многоугольник Р относительно его сторон, можно замостить плоскость, нетрудно доказать, что для почти каждого направления соответствующий поток строго эргодичен.

Это означает, что для него существует единственная нетривиальная (т. е. абсолютно непрерывная) инвариантная мера. Очевидно, что такой поток эргодичен, В общем случае это также верно, но существенно труднее доказывается. Мы это ниже продемонстрируем и докажем следующую теорему. Теорема !. Во множестве вгялуклых п-угольников (рассматриваемом как подмножество )к'и) многоугольники, ла которых биллиардный поток эргодичен, образуют множество типа Сг . Условие выпуклости облегчает доказательство, но не является необходимым: с одной стороны, можно показать, что имеются невыпуклые многоугольники, для которых найдутся нетривиальные инвариантные многоугольники, полученные с помощью описанной операции отражения, а с другой — удостовериться в том, что для любого целого л множество рациональных многоугольников, для которых группа Г имеет порядок, меньший и, плотно во множестве всех рассматриваемых многоугольников.

В данной общей формулировке теорема применима, например, к системе двух точечных частиц с массами т1 и ты движущихся без трения на отрезке [О, 1] и упруго сталкивающихся между собой и с концами отрезка. Легко доказать, что этой системе отвечает биллиард в прямоугольном треугольнике с катетами, равными ч[т1 и ч7тг (см. [6, с. 154]). Этот биллиард является рациональным, если его углы и-рациональны. Порядок Г, таким образом, определяется знаменателем соответствующих дробей. Из теоремы следует, что существует множество значений ть тг типа Сь, для которых эта система является эргодической. Теорема была доказана в [14] с использованием результатов предшествующих работ, в частности [17], Цель настоящего сообщения — дать полное и автономное доказательство.

Используемые леммы имеют, с другой стороны, и самостоятельный 14 згч ггг 210 Типичность эргодичности длл биллиардов в многоугольниках 211 П. Арну интерес. Это дает возможность, например, привести до ство Вича и Ма зура строгой эргодичности почти каждого пе е- доказателькладывания отрезков. пере- й !. ПРИНЦИП ДОКАЗАТЕЛЬСТВА Напомним, что поток называется строго эргодическим, если существует единственная вероятностная мера, инвариантная относительно его действия. Ясно„что динамическая система является по отношению к этой мере эргодической (поскольку ог д ой меры на инвариантное подмножество дало бы градругую инвариантную меру). Доказательство основано на следующей теореме.

Теорема 2. Для рационального биллиарда для почти каждого начального направления скорости поток, индуцируемый на с у и!ей поверхности, является строго вргодическим (т, е. оот- допускает единственную инвариантную меру). l Сведение к теореме 2. Обозначим через Ц(Р) единичн тельный п чок Р, единичный каса- пучок к Р, через ф) — соответствующий геодезический поток, а через )ь, — естественную меру на Ц(Р). Сравним для любой непрерывной функции 1 на У(Р) интегралы ЦТ ~ Т(ф)(г)) дг о и т'(1) д)ьр. Идея состоит в аппроксимации Р рациональи оь) иым многоугольником Р' и функции 1 некоторой функцией Т' на г (Т(Р'). При этом интеграл ЦТ ~ Т(ф,(г)) д! для «большинства» о точек г многоугольника Р аппрокснмируется интегралом ЦТ )Т'(ф,'(г))й.

Здесь используется следующая лемма: поскольку о многоугольник рациональный, то для почти любого начального направления второй интеграл сходится к интегралу по поверх- ности уровня ~ Т'(1)дА. (Здесь мы используем эргодичность м, естественной инвариантной меры, а не строгую эргодичность; но мне неизвестен более простой способ получения этого ре- зультата.) Если группа Г достаточно большая, то поверхность Мв проходит через все точки У(Р'), Отсюда интеграл по М в аппраксимирует интеграл по всему пучку ~ )'(1)д )г - а этот и!Р) интеграл в свою очередь аппраксимирует ~ 1(г)й)хр.

Во втои (Р) ром параграфе это рассуждение проводится подробно. Отсюда вытекает, что на плотном множестве типа бь временнйе средние сходятся к пространственным почти для каждой начальной точки и для любой непрерывной функции. Док зательсгво теоремы 2. Рассмотрим рациональный многоугольник Р со сторонами Аь ..., А„и обозначим через 5; отражение (к' относительно прямой, проходящей через начало координат и параллельной стороне Аь Группу, порожденную всеми 5ь обозначим Г. Единичный касательный пучок состоит из точек (х, О), х ~ Р, 0 ~ $) с отождествлением (х, О) и (х, 5;(О)), где х ее А.

Как уже отмечалось выше, естественное инвариантное множество Мв ††((х,ф(0)), х ее Р, Т ее Г) изометрично поверхности М, получающейся из прямого произведения РХГ при отождествлении точек (х, у) н (х, 5,у), где х ееАь Эта поверхность снабжена евклидовой структурой с .особенностями, индуцируемой евклидовой структурой на Р. Ограничение на М геодезического потока есть поток при постоянном угле О по отношению к этой евклидовой структуре.

Отметим, что излом, отвечающий каждой особенности, есть делитель числа 2п, что является необходимым условием для корректного определения потока, отвечающего постоянному наклону. Снизив таким образом размерности на единицу, поскольку единичный касательный пучок имеет размерность 3, а поверхность — размерность 2, нужно доказать, что на такой поверхности поток постоянного наклона является для почти любой величины наклона строго эргодическим. Существует простой случай, когда структура плоскости не содержит особенностей.

Это имеет место, когда отражения Р относительно сторон позволяют замостить плоскость и, следовательно„ многообразие М вЂ” тор. Тем самым мы получили поток на торе, который является периодическим, если угол наклона рациональный, или, в противном случае, — строго эргодическим, откуда и вытекает требуемый результат. То же самое относится к случаю прямоугольника, когда группа имеет порядок 4, равностороннего прямоугольника и правильного треугольника: эти примеры были исследованы достаточно давно (см.

[8) ). Если поверхность М имеет род два или больше, то исследование становится более трудным н требует привлечения теории Тейхмюллера. Евклидова структура на М определяет на М конформную структуру без особенностей, которая может быть распространена на всю М и определяет точку пространства моду-' лей над М. Поток, порождаемый данным направлением О, 14' д д Биллиардов в многоугольника х 2И Гиаичногть эрго ичногти лл 212 П.

Арку определяет меру на расслоении, а также, поскольку на М имеется конформиая структура, обладает ортогональной мерой на расслоении, т. е, квадратичной дифференциальной формой, являющейся элементом касательного пучка (за исключением точек ветвления; определения см. в $ 3). Предположим, что эта форма определяет евклидову структуру с общей площадью, равной 1, на единичном касательном пучке. Группа РБЦ2,!-') порождает естественное представление на слоях, в частности, три следующие однопараметрические подгруппы епг 0 1 Г соз (9) — з)п (9) индуцируют три потока, обозначаемые соответственно через по 1И и Ро'и называемые геодезическим, орициклическим и вращением. Легко проверить, что д есть квадратичная дифференциальная форма, индуцируемая ограничением потока, отвечающего биллиарду, на одну компоненту.

Дифференциальные формы, отвечающие другим компонентам, порождают все формы типа Яод. Таким образом, надо доказать строгую эргоднчность для почти каждого 9 вертикального расслоения Рад, что будет сделано в трех последних разделах при изучении орбиты Род с помощью геодезического потока. Важно хорошо убедиться, что имеются два уровня систем: поток пг на пространстве (,гй квадратичных форм с точностью до диффеоморфизма, а для каждой формы — вертикальное расслоение на поверхности М.

Свойства динамики этого расслоения связаны со свойствами орбиты геодезического потока, подобно тому как свойства вращения связаны со свойствами разложения в непрерывную дробь соответствующего угла вращения. й 2. РЕДУКЦИЯ К СЛУЧАЮ РАЦИОНАЛЬНОГО БИЛЛИАРДА Пусть Х вЂ” множество многоугольников (рассматриваемое как подмножество Ргл, где и можно считать совпадающим с числом вершин). Предположим, что это множество компактно. Это предположение не является ограничительным, так как пересечение с компактным множеством всегда таково и, кроме того, при любом целом и подмножество рациональных многоугольников, такое, что группа Г имеет порядок, не превосходящий и, плотно.

Поскольку при гомотетии ситуация не меняется, можно предположить, что все многоугольники имеют единичную площадь. Покажем, что в Х существует всюду плотное множество типа бг, состоящее из эргодических биллиардов. Это утверждение является обобщением теоремы, сформулированной во введении. обозначать через б расслоение над Х, состоящее из а на И(Р) представляет собой произведение меры ме ы Хаа а на ."з1 Поскольку Р имеет ед Лебега на Р и меры Хаара на . о ну ю площадь, 1г,— вероятностная мера. р ванию средних 1/Т ~ Г(гр,(з))г(Г, где 1' — произвольная непрерыво ная функция на б(Р).

ля одной икции. ДейДостаточно провести исследование для одно у ств ет счетная система непрерывных ункций бое б (Р) есть плотное. „на ц >, н (Г, ограничение которых иа лю ое — с- Е' (б (Р) ) . Покажем, что для любого 1 се у- подмножество в Е Х типа б, для кото- ществует всюду плотное множество а Р БЕЕ, и почти любой точки ь рог ого для любого многоугольника ее , и з я б(Р) 11ш г ~Г'(чэг(з)) ггг т О (Р) мого ез льтата надо взять пересечение. тео еме Бэ а образуют всюду плот- Е которые согласно теореме ф ыцнй люб й эргодиче- и меет место для всех интегрируемых нкций, в Е, о стим противное: ский биллиард содержится в .

Характеристики

Список файлов книги