Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

1). Будем называть связующей геодезической отрезок с постоянным наклоном, соединяющий две особые точки. Это понятие широко используется в $ 4. Обратно, структура плоскости с коническими особенностями индуцирует дифференциальную форму, если все углы при вершинах — целые доли и. Таким образом, для определения квадратичной дифференциальной формы достаточно иметь одно слоение постоянного наклона: действительно, это есть измеримое слоение и оно обладает корректно определенным трансверсальным слосннсм, а именно ортогональным относительно данной структуры плоскости слоением. Если расслоение ориентируемо, илн, как говорят, оно может быть оснащено потоком, то легко проверить, что угол в каждой особой точке есть целая доля 2я.

Таким образом, эти два условия эквивалентны. То же самое можно выразить так: квадратичная дифференциальная форма может быть однозначно определена системой карт с координатными преобразованиями вида ,г+ с. Дифференциальные квадратичные формы, с которыми мы здесь имеем дело, ориентируемы, поскольку индуцированы потоком. Но мы фактически не используем этого. Действие группы РВЕ (2, (я).

На ЕЯ естественно действует группа 5х. (2, о), следовательно, она действует на пространстве квадратичных дифференциальных форм, рассматриваемых как система карт на Р'. для карты ср элемент у ~ Я(2, гс) порождает карту йф. Допуская в качестве координатного преобразования г и — г, получаем, что действие — 7 тривиально и возникает действие группы Рз(.(2, Е). В терминах расслоений действию' д отвечает двойственное расслоение, порождаемое образом при я-'. Поскольку это действие сохраняет площади, можно ограничиться рассмотрением множества форм с нормой 1.

Если у — геодезический сегмент, отвечающий координатам (Й, и) для формы д, то он является геодезическим сегментом и для уст, дев РБТ.(2, Р), что упрощает вычисление преобразованных под действием д исходных координат. Нас в дальнейшем будет интересовать действие трех одно- параметрических подгрупп группы РЬ1 (2, Р); гг егтг 0 подгруппа й'с=( 0 нг — 2 Действие этой подгруппы будет называться потоком Тейхмюллера или геодезическим потоком в силу причин, которые мы об- Рис. 2. Дейстиие РЗЦ2, 1с): непрерыиными линиями показано слоение, определяемое ф, пунктирными — слоение, определяемое уф.

судим ниже. Орбиты формы относительно этого потока позволяют исследовать эргодичность вертикального слоения. Если рассмотреть квадратичную форму вместе с парой измеримых расслоений, то получится, что под действием потока мера на вертикальном расслоении делится на егия, а на горизонтальном умножается на гпа. Таким образом, сжатие по вертикали н растяжение по горизонтали приводит к инварнантности меры в целом г' 1 подгруппа Ьг =- ~ (,О 1)' Этот поток называется орициклическим 1' (0) — 1п (0) '1 подгруп"а ме 1 з(п(0) соа(0)) Этот поток называется вращением.

Очевидно, что его траектории компактны. Он — единственный из всех трех — сохраняет конформную структуру и сопряженную метрику. Действие его состоит в повороте обоих слоений на угол — О. Типичность эргодичности для баллиардов в многоугольниках 22! 220 П.

Арну Поток, определяемый биллиардом на компоненте Мв, определяет на М слоение с постоянным наклоном и, следовательно, квадратичную форму д, которая является вертикальным слоением. Легко проверить, что вертикальное слоение формы Рад есть слоение, определенное компонентой Мв.

Таким образом, теорема 2 есть частный случай следующей теоремы, Теорема 2'. Пусть д — квадратичная дифференциальная форма. Тогда для почти каждого О вертикальное расслоение Яву строго зргодично. Мы введем сейчас некоторые геометрические понятия и результаты, нужные для доказательства теоремы, которое будет данов$4и5. Теория Тейхмюллера. Нас будут интересовать динамические свойства расслоений, инвариантные относительно сопряжения с помощью диффеоморфизмов. Поэтому естественно 'рассматривать пространства, конформных структур с точностью до единичной изотопии (т. е.

диффеоморфизма, изотопного тождественному). Этот объект называется пространсгвом Тейхмюллера поверхности М. Согласно теореме униформизации, это пространство совпадает с пространством римановых структур на М с постоянной кривизной (равной 1, О или — 1 в зависимости от топологического типа М), рассматриваемых с точностью до изотопии. Согласно теореме Тейхмюллера, если даны две конформные структуры С, и См то существует квазцконформное отображение оэ, которое отображает С~ в Сэ (с точностью до нзотопии) с коэффициентом растяжения гэг.

Число с~ называется расстоянием Тейхмюллера между С1 и С, (см. (1], (3, гл. 5) ). Действие чр осуществляет минимальное растяжение среди всех действий, переводящих С, в Сг, и, кроме того, имеет место следующее утверждение: существуют две дифференциальные квадратичные формы дь дг, такие, что д, = угу~ и С1 (Сг) — конформная структура, отвечающая дг (дг). Эта теорема дает возможность определить метрику на пространстве Тейхмюллера и, таким образом, возникает множество квадратичных дифференциальных форм с нормой 1, определяемых с точностью до изотопии, представляющее собой единичный касательный пучок к этому пространству, и поток йг, представляющий собой геодезический поток для данной метрики. Если пространство Тейхмюллера гомеоморфно открытому шару и поток д~ переводит все точки в бесконечность, то нет рекуррентности и траектории не переносят информации, они диффеоморфны, но не изотопны.

Будем называть модулярной группой М группу диффеоморфизмов М по модулю диффеоморфизмов, изотопных тождественному. Оно действует на пространстве Тейхмюллсра, которое называется модулярным пространством поверхности М. Множество дифференциальных квадратичных форм с нормой 1, определенных с точностью до диффеоморфизма, определяется действием модулярной группы единичного касательного пучка пространства Тейхмюллера. Это пространство обозначается ЯП. Польза этой процедуры состоит в наделении пространства форм с точностью до эквивалентности некоторой метрикой: если д, сходятся к д в этои метрике, то при замене д, на эквивалентные формы сходимость сохраняется, когда карты, определенные ди сходятся к картам, определяющим д.

В частности, если точки х, поверхности М сходятся к х , обозначи. х, 'точку, находящуюся на расстоянии Т от х; на слое дг вертикального расслоения, проходящего через х ; тогда определена сходимость хг к хг (в том случае, если траектория х не проходит через особые точки до момента Т). Кроме того, множество квадратичных форм с нормой 1, которые могут быть соединены геодезической длиной, не превосходящей е, компактно. Действительно, оио замкнуто и его можно спроектировать на кусок плоскости, который не содержит замкнутых геодезических, имеющих длину, меньшую е (если на плоскости имеется геодезическая длины а, то на ней существует максимальное кольцо, составленное из таких замкнутых геодезических, и геодезическая, входящая в границу этого кольца, имеет длину, не превосходящую сс).

Таким образом, показано, что модулярное пространство можно компактифицировать, прибавив поверхности, отвечающие особенностям кривых и заменив их тем самым коническими особенностями (см. [21). Следовательно, множество таких структур на плоскости, не содержащих коротких геодезических, компактно. Говорят, что дифференциальная форма рекуррентна, если ее положительная траектория в ЯП, порождаемая геодезическим потоком, имеет предельные точки, отвечающие некоторому значению длины, в противном случае она называется дивергенгной.

Предыдущее замечание дает критерий дивергентности, или расходимости. Покажем, что геодезический поток на Я() обладает конечной инвариантной абсолютно непрерывной мерой, откуда следует, что почти каждая форма рекуррентна. Случай тора. Конформной структуре на торе с точностью до изотопии отвечает единственная структура плоскости на торе, которая в свою очередь отвечает комплексной структуре на плоскости. Предположим, что первый вектор этой координатной системы есть 1, а второй принадлежит верхней П, Арну полуплоскости. (Это отвечает фиксации меридиана и параллели, нормализации метрики, так что длина меридиана равна 1, и выделению одной метрики путем фиксации длины параллели и угла, который она составляет с меридианом.) Таким образом, показано, что пространство Тейхмюллера тора биективно верхней полуплоскости. Можно проверить, что метрика Тейхмюллера отвечает гиперболической метрике (дх'+ ду')/у'.

Характеристики

Список файлов книги