Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 47
Текст из файла (страница 47)
ГеоДезические траектории д характеризуют не строго эргодические формы, орициклический поток линейно преобразует координаты и позволяет провести сложные вычисления с другими потоками. Он является касательным к потоку вращений, орбиты которого мы хотим исследовать, следовательно, локально можно заменить орбиту потока вращений орбитой орициклического потока. Мы теперь покажем, что предельные точки геодезической рекуррентной не строго эргодической формы содержатся Ь замкнутом множестве В, все точки которого отвечают формам, обладающим вертикальной геодезической связкой. Далее покажем, что на отрезке орбиты геодезического потока большинство точек не принадлежит В.
Существует множество положительной меры, состоящее из таких О, что дь рекуррентно и не строго эргодично. Предположим, что существует достаточно большое У и 1ЕЯ П. Арне интервал 1=(е — ',е'), содержащий О, такие, что для большинства О ен1 уи)в близко к В. Но легко доказать, что орициклическая орбита угуо является хорошей аппроксимацией находящегося вблизи угро образа под действием аг орбиты группы вращений, что и дает требуемое противоречие. Тонкое место доказательства — показать, что все сходимости равномерные и, следовательно, есть возможность приближения компактными множествами. Лемма.
Существует замкнутое множество В, состоящее из форм, имеющих вертикальную связку, и содержащее все предельные точки геодезических орбит не строго эргодической формы. Типичность гргодич«ости длп битл«ардов в ииогоугольпи»л» 229 слоев гоРизонтального слоениЯ фоРмы ~Р„дг„гУ длины а„, котоРые пересекают вертикальные слои, содержащие гр (х1) и у«(хг) и жа которых можно ввести метрики Ьь„так, что !ип а„=а, «+ 1ип Ьг „= Ь; (рнс. 6). и -Ф ч« Следовательно, для уг у существует регулярныи четырехугольник, образованный отрезками вертикального слоя формы уг„д, содержащими точки х1 и хь и имеющими длину а„, и соединяющими эти отрезки отрезками горизонтального слоення.
'Доказательство. Пусть д — рекуррентная форма, а 1„— стремящаяся к бесконечности последовательность, такая, что дг„д сходится к форме д (в топологии пространства 90). Возьмем последовательность ~р«диффеоморфизмов пространства М, таких, что у„уг у стремится к д в топологии определенного выше пространства Тейхмюллера. Эту последовательность можно выбрать так, что для любой регулярной точки д отрезок слоя длины У,, проходящий через точку х вертикального (горизонтального) слоения формы дг д, сходится к отрезку длины У. вертикального (горизонтального) слоения формы д .
Если у не строго эргодична, то существуют две различные эргодические меры иь иг (не пропорциональные друг другу) для вертикального слоения. Пусть У вЂ” трансверсальный отрезок к этому слоению, а хь хг — точки на 1 общего положения по отношению к этим мерам. Обозначим через У,„слой длины 1, проходящий через х, а через У.„', где з ( г, разность между У,„и У.'„Хорошо известно, что для фиксированных а ( Ь при об ьг стремлении ~ к бесконечности точки пересечения У и У.„,' аснмптотически распределены согласно мере иь т. е. отношение Ф(У- г' ЙУ)/Ф(У-»,' ПУ) при С стремящемся к бесконечности, сходится к ти(1)/рг(1).
Перейдя, если нужно, к подпоследовательностн, можно считать, что у„(х;) сходится на М к точке уи Нетрудно видеть, что для у существует слой горизонтального слосния, пересекающий слои вертикального слоения, содержащие соответственно у, и у,. Действительно, можно найти пучок горизонтальных слоев длины а, который пересекает оба рассматриваемых слоя.
Обозначим через Ьг расстояние уоуг от у; до этого пучка слоев. Согласно замечанию, сделанному в начале доказательства, для достаточно больших и найдутся пучки уг тоЖ тп(хг) Рнс, 6. Возвращаясь к геодезическому потоку, отвечающему у, рассмотрим отрезки езки слоев У.„' "', образующие четырехугольник, состоящий из достаточно длинных и достаточно близких друг к другу регулярных отрезков слоев (рис.
7). Ясно, что числа точек пересечения Ул и У.г с У отличаются максимум на единицу, поскольку 1 не может пересечь один отрезок слоения и не пересечь другой, т. е. окончиться в середине пучка. Поскольку число точек пересечения стремится к бесконечности, то отсюда вытекает, что для всего подынтервала 1 отношение ~(ЦПУ)(Ф( гП ) сходится к не зависящему от ( пределу. Но этот предел есть Ры Р' (1)/ (У), что 'невозможно, так как рл и ро — разные меры. кото- Поскольку нет слоев горизонтального слоения формы а „ рые пересекают одновременно У,, и 1. „это слоение не минимально. Но измеримое слоение может быть разложено на конечное число минимальных компонент, для которых все слои плотны.
П и этом все периодические компоненты образуют множество, изотопное замкнутому кольцу. Эти компоненты р ри замкнутыми кривыми, связывающими особые точки. Такая кривая разбивает поверхность на две области, Следовательно, гоизонтальному слоению формы у отвечает одна такая кривая у р .Можно предположить, что т не пересекает .„, и, д У. и, следовательно, вертикальное слоение не является минималь ным, а имеет язо П. Арну в качестве компоненты г'.„и ограниченное замкнутой кривой, не пересекающейся с т. Обозначим через В множество квадратичных форм, у которых есть пара непересекающихся замкнутых траекторий, одна из которых вертикальная, а другая — горизонтальная.
В силу уже доказанного В содержит все предельные точки геодезических траекторий не строго эргоднческих форм. Нам осталось показать, что В замкнута. Пусть (д„)„н — последовательность Ряс. у, элементов В, сходящаяся к г). Любой форме г)„отвечают две непересекающиеся траектории: ап — вертикальная и у„ — горизонтальная. Можно предположить, что а, сходятся к кривой а, а у„к у. Если у и сс пересекаются, то и у„, и сг, для достаточно больших и пересекаются в силу непрерывности.
Тем самым мы получили противоречие и, следовательно, соответствующие компоненты, отвечающие у и а, ограничены замкнутыми непересекающимися кривыми. Замечание. В имеет меру нуль, поскольку формы, имеющие данную вертикальную связку, образуют подмногообразие коразмерности 1 и, следовательно, В представляет собой счетное объединение многообразий коразмерности 1, имеющих меру нуль.
В дальнейшем мы будем обозначать через В, множество форм, находящихся от В на расстоянии, не превосходящем в. Лемма. Пусть К вЂ” компактное подмножество множества дифференииальных квадратичных форм. Для любого 6 О найдется в)О, такое, что 1г((з~] — 1, 1] ]Ь,у~В,]) (6 для любого д из К. Доказательство. Согласно сформулированному выше замечанию, если геодезическая связка в координатах а и Ь принадлежит структуре, определяемой формой д, то она в координатах а+ Ьв и Ь определяется формой Ь,д.
Следовательно, существует не более одной точки орбиты, для которой эта связка является вер- Типичность гргодичности длн биллиардов в многоугольниках 231 и альной. Но не существует несчетного числа геодезических ювязок. Как было показано выше, любая точка из В все д т к г а имеет вертикальную геодезическую связку. Следовательно, пересечение траектории орициклического потока со множеством В счетно и, в частности, имеет меру нуль. Обозначим величину 1г((в ен ] — 1, 1]:] Ь,д ~ Вин) ) через 1гг, „. 'Ясно, что для фиксированного а согласно сделанному выше замечанию эта величина стремится к нулю.
Кроме того, если 6, то существует окрестность У(д), такая, что 1ь~, „< 6 '1гг, и найти .для любого д' из этой окрестности. В самом деле, можно а т :компакт Сс:] — 1, 1] меры 2 — 6, такой, что для любого з Ь.д находится от В на расстоянии, превосходящем 1/и. В силу .непрерывности Ь, по з и д можно выбрать такие окрестности )г(в) и У,(д), что Ьгг)' отстоит от В более чем на 1Тп при 1 принадлежащем й(в), и в', принадлежащем У,(а). Далее надо шровести стандартное рассуждение, используя компактность С. Для фиксированных 6 и д можно, таким образом, всегда выбрать целое пг, такое, что 1гг,„~ < 6, и это неравенство справ едливо для некоторой окрестности д.
Отсюда немедленно вытекает лемма, если рассмотреть ограничение на компакт К во множестве форм. П П одолжение доказательства леммы. Предположим, что множество О, таких, что дв есть рекуррентная форма и не строго эрго- ,диче ская, имеет положительную меру. Оно состоит из всех преных точек (для геодезического потока) множес в крыв В счетным числом компактов, можно выбрать такой компакт К, что множество $'=(О]дь есть предельная точка множества Вп К) имеет положительную меру. Обозначим через К1 объединение множеств Ь.(К), где в ен [ — 1, 1], а через Кг — объединение замкнутых шаров радиуса,1 и с центрами, содержагшимися в Кь К1 и Кг, суть компакты. Выберем в согласно лемме, такое, что 1г((в ~„'—, 1],д ~В,)) = 1 для всех д из К.
По определению для всех О из У можно найти такое Т, что если 1 ) Т и если агав принадлежит Км то дгдв пРинадлежит Выг. Если )г имеет положительнУю .меру, то можно найти У' и Т,, такие, что это свойство выпол.няется для всбх д из Г и всех 1:> Тг. Сделав замену координат, можно считать, что Π— точка плотности множества )". П 1 последовательность действительных чисел, усть, — оо т К. Из оп епревосходящих Т,, для которых аг„г) принадлежит . з опре.деления вытекает, что менее половины траектории Ь,п» д, где ен] — 1 1]„принадлежит В,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
