Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Модулярная группа тора отвечает группе автоморфизмов решетки Р', т. е. 5Е(2, У) и, тем самым, модулярное пространство тора есть фактор гиперболической плоскости по 5Е(2,7)„ т. е. гиперболическое некомпактное многообразие с ребром возврата и двумя особыми точками. Пространство дифференциальных квадратичных форм есть слоение окружностей над этим пространством. Поэтому геодезический поток легко исследовать: либо траектория рекуррентна, либо она стремится к ребру возврата и в этом случае есть кривые с длинами, сколь угодно близкими к нулю.
Замкнутые слои вертикального слоения отвечают рациональным значениям наклона. Таким образом, вновь доказан классический результат: измеримое расслоение тора либо периодическое, либо строго эргодическое. Этого достаточно, чтобы исследовать биллиард в прямоугольнике или в равностороннем треугольнике, но недостаточно для доказательства теоремы, потому что в этих двух случаях порядок групп Г мал.
Для упрощения обозначений будем всюду в дальнейшем предполагать, что задана квадратичная дифференциальная форма в с нормой 1, и положим аь = Дга, поскольку действие групп лз пы Р5Е(2, ~) можно ограничить на О ее~ — —, — ). Без дополнительных упоминаний мы будем всегда рассматривать пространство Ел, т. е. считать, что формы определены с точностью до днффеоморфизма. й 4. ДИВЕРГЕНТНЫЕ ФОРМЫ Этот параграф посвящен доказательству следующего утверждения. Множество (О ее Р )дь дивгрггнтна) пргнебре- Предложение. жима. Легко видеть, что если форма дь дивергеитна, то для дгде при достаточно больших Г существует короткая связующая геодезическая. Такую короткую связующую геодезическую построить не очень просто, если требовать, чтобы не существовало другой связывающей те же точки короткой геодезической.
Будем говорить, что связка е-коротная, если она представляет собой Типичность зргодичности длл биллиардов в многоугольниках ~Ш геодезическую длины, не превосходящей е, и что оиа является е, С-изолированной, если она е-короткая и не содержится внутри С-короткой связки. Покажем, что существует множество положительной меры дивергентных форм и существует много геодезических траекторий, допускающих е,С-изолированные связки Далее покажем, что, поскольку, как нетрудно видеть, существует конечное число непересекающихся геодезических связок, формы, допускающие е,С-изолированные связки, встречаются достаточно редко. Точная формулировка первого утверждения такова: Лемма.
Если множество (О~ 5 '1дь диверггнгна) имеет положительную меру, то существуют положигельныг постоянные С, 6, последовательность е» стремящаяся к нулю, последовательность Т» сходящаяся к бесконечности, и множества 5;~ 3', меры которых нг превосходят б, такие, что если О ее 5» то форма уг,аь обладает еыС-изолированной геодезической связкой. Доказательство. Если мы заменим в формулировке «е,С-изоли. рованная» на «е-малая», то утверждение немедленно вытекает из определения дивергентной формы.
Будем называть е-комплексом комплекс М, вершины которого являются особенностями д, ребрами — е-короткие связки, а гранями — треугольники, граница которых состоит из ребер, и внутри которых не содержится других особенностей. Ребро е-комплекса будем называть граничным, если оно не является общей границей двух граней. Нам понадобится следующая геометрическая лемма. Подлемма. На поверхности М рода у с и особенностями е-компленс имеет нг более З(й — т) ребер и 2(Гг — 11) граней, если е достаточно мало, а если граница е-комплекса есть сечение его внутренности С-короткой связкой, то существует максимальный (2е — С)-комплекс, принадлежащий симпленсу.
Доказательство. е-комплекс поверхности М полный, и триангуляция М с и вершинами максимальна. Обозначим через з, а, 1 число вершин, ребер и граней этой триангуляции. В случае, когда каждый треугольник ограничен тремя ребрами, а каждое ребро принадлежит двум треугольникам, имеем 3)=2а, а по определению з — а+ ) =11.
Мы знаем, что з = й, поэтому а = '=З(й — т), 1=2(й — 11) для принадлежащих границе граней и ребер. Треугольник, длины всех сторон которого ограничены числом е, имеет площадь, не превосходящую ег ~/3/4. Следовательно, общая площадь е-комплекса ограничена числом (й — Х)е'.Т/3/2. П. Арку 224 йг В Рис. 3. 15 зьк. гвг Если е достаточно мало, то и эта площадь меньше 1, и в этом случае е-комплекс должен обладать границей, поскольку. он не заполняет всей поверхности. Предположим наконец, что А — часть границы, которую пересекает во внутренней точке Ф С-короткая геодезическая связка ХУ.
Поскольку А — граница, можно предположить, что начало сегмента ФУ не принадлежит комплексу. Если этот сегмент не изолированный, то он пересечет другой сегмент А'В' из границы в точке №, так что Ф1ч"«не принадлежит комплексу. Обозначим через у путь, образованный сегментом Ф№ и сегментом №В', если сумма углов ВФ№ и й1№В' больше я. В противном случае, вместо №В' 'надо взять №А'. Если ФУ не принадлежит комплексу, то положим у = МУ (рис. 3). Обозначим через № параметризацию у, при которой Ув= № обозначим через № другой конец.
При малых 1 можно построить треугольник АВ№. Таким образом, можно восстановить треугольник до № н добавить треугольник к комплексу: для этой границы длины, не превышающей 2е+С, и сам треугольник не принадлежит начальному комплексу, поскольку он содержит начало ЖУ (из условия на углы следует, что сами А№ и В№ находятся с той же стороны, что и ФУ, от АВ). Единственное возможное затруднение возникает на границе треугольника, например А№, содержащей особенность 5; но, поскольку связка В5 имеет длину не более С+ 2е, следовательно, можно добавить треугольник АВ5 (рис.
4). П Окончание доказательства леммы. Обозначим через п(е, Т,О) максимальное число симплексов а-комплекса йгув, Согласно лемме, это число не превосходит А+ б(й — т). Как было показано выше, найдутся еь Ть 5ь такие, что меры 5ч ограничены снизу единой константой и что дг,дь обладают вималой связкой Типичность гргодичности длл биллиардов в многоугольниках 22о при О, принадлежащем 5ь Возьмем такую константу, которая максимизирует )п1с и в з,п(е„Тг, 0) (она существует, поскольку эта величина ограничена).
Обозначим С(1,0) длину самой короткой геодезической связки, которая соединяет границу максимального а,-комплекса рг,ув, а пгг — медиану С(00) (т. е. такое число, что р((0 ~ 5г(С(1, О) < пп)) = 1г((0 ен 5;~ С(й О) > ) пп))). Последовательность пи ограничена снизу константой С.
Действительно, в противном случае возможно выбрать подпоследовательность, стремящуюся к нулю. Согласно лемме, если С(1,9) А А' Рас. 4. меньше ть то можно построить комплекс с более чем 2е~+ тг симплексами. Положив е',=2ес + С, Т',=Т„5, '= (О ы 5, ~ (1 0) < < т ~т, получим, что предположение выполнено с ббльшим м' и '(в,', Т,'., 5,'), т. е.
мы пришли к противоречию. Ясно, что 5', =(Огн5, ~С(1, 0) > тг) удовлетворяет нашему предположению, так как мера 5', равна половине меры 5ь которая, в свою очередь, ограничена константой, и для всех О из 5', д д обладает еьС-изолированной связкой — достаточно гг а взять границу (которая непуста, если ег достаточно мало) максимального ег-комплекса и использовать определение С.
П Докажем теперь следующее утверждение. Лемма. Пусть С)0 — константа и 1) 2(ой(С/т), где и— дл на самой короткой геодезической связки из д. Если е < С/2, то мера множества таких О, что йгуа содержит е, С-изолированную связку, не превосходит Ке; константа К зависит лишь от С. Доказательство. Пусть а — геодезическая связка. Предположим, что сг вертикальна для аь и имеет длину 1. Тогда длина сг в структурной метрике на дгдв равна 1(1, 0) = М(е' з1пг 0+ е-' созг 9 . УУ. Арку У =(О'~[ — /2, /2[И(г, О)[< ),У =(0~[ /2 /2[~ 1ЦУ,О) < С). Из определения У(У,О) следует, что У и У инте валы. П что и и и суть тоУ с:У а р . Покажем, что если г удовлетворяет условиям леммы, „, а У при этом выбрано столь большим, что У((,гг/2) больше С, то У„есть подотрезок на [ — н/2, гс/2[ и не совпадает с последним. С п омощью простых вычислений можно показать, что 1х(У ) ограничено линейной функцией е.
Более точно, поскольку )з1пО~))0/2~ на [ — н/2, н/2[, то У(У 8))(впа~згп01= — ~" ~ )е если !01)— 1ггп и, следовательно, 1х(Уи) < 4е/(внэ. Если У„не пусто, то ((У, 0), равное (г-нэ, ограничено числом е и, поскольку г не превосходит С/2 а зггп,'О,' 1(У, 0)<1вгЦ81+ — <С при ~0! <— 2 21гг1г и, следовательно, 1х(Уи) ) С/(г'м. Отсюда вытекает, что 1х(Уи) /1г(Уи) < 4е/С.
тииинносгь эргодичносги для биллиардов а многоугояьниках лгг медленно вытекает: если О принадлежит пересечению и интервалов У, то существует п непересекающихся геодезических связок. С другой стороны, из общей теории следует, что существует более чем 3(й — 11) непересекающихся геодезических связок и„ следовательно, никакая точка не принадлежит более чем 3(й — 11) сегментов 7 . Сумма мер этих сегментов поэтому ограничена числом 3(й — у)п, а поскольку У„по определению короче, чем половина У, то сумма мер У ограничена числом 6(й — у)л Отсюда следует приведенная выше оценка, так как сумма мер интервалов У, содержащих все такие О, для которых дгдь обладает г, С-изолированной связкой, ограничено числом 24(й— — ~)пе/С, которое и есть искомая мажоранта, если положить К = 24(й — х)эх/С.
П Доказательство предложения. Найдется множество дивергентных форм, имеющее положительную меру, если г взять столь малым„ что Ке ие превосходит 6, а г столь большим, что г; не превосходит е. Тем самым мы получили противоречие, и, следовательно„ множество дивергентиых форм имеет меру нуль.
П Рис. 5. Мы ограничимся теперь такими геодезическими связками сг, которые являются е, С-изолированными, по меньшей мере для одного значения Ф. Обозначим через У„подмножество У, образованное такими О, для которых м — г, С-изолированная для бган и У вЂ” подынтервал У, для которого правый конец есть среднее правого конца У„и внешней границы 1 (рис, б).
Согласно определению, если У пересекает УЕ, 7 пересекает УВ или е пересекает Уа. При любом О из этого пересечения, еслй две связки Ф, р являются г, С-изолированными для дгуь и, кроме того, их длины меньше С, то они не пересекаются. Отсюда не- й 5. РЕКУРРЕНТНЫЕ ФОРМЫ В дальнейшем мы будем называть строго эргодичвской формой дифференциальную квадратичную форму, для которой вертикальное слоение строго эргодично. В этом параграфе мы докажем следующее Утверждение. Множество тех О, для которых уь ргкуррентно и нв строго эргодично, имеет меру нуль. Доказательство. 'Мы используем свойства трех потоков: геодезического, орициклического и потока вращений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
