Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Д пу ляется эргодическим. Тогда ущ у с еств ет интегрируемая а относи- почти всюд и инвариантная ие равная константе п п и фикси оваином Т' тельно потока грь ока гр . Легко проверить, что при иксир т функция ЦТ ~ д(<рг(з))г(Г аппроксимирует 1 в Е'(б(Р)) не хуже, кольк Р принадлежит Е, можно выбрать после- П и этом средние по траек- довательность Г„сходящуюся к . ри это т ториям(ГТ ~, ~вг а ко ной итойже ториям11Т ~,(~г(а))г(1 при любом 1 сходятся к одной ог а Т ст емится к бесконечности, Но зта константа ает т еб емое противоречие. Тем са- аппроксимирует Г, что и дает тре уемое е овать как ю-нибудь одну у мым достаточно иссл д на б.
Обозначим чере з з значение этой у а касательного 3 есь з, ассматриваемой как точка к Р', г и в 0(9) отвечают разные, вообще. расслоения к 1" г, в б(Р и в л14 П. Арну говоря, значения 1р(а) и )о(а). В то же время, поскольку 1 непрерывна, эти значения мало различаются, если Р и (",) близки в Х. Предположим, что среднее этой функции по всему расслоению равно нулю. Отметим вначале, что интеграл ~ Тс((хр неи(ю прерывно зависит от Р. Действительно, поскольку У компактно, то !Д ограничен некоторой константой М.
Найдется такая окрестность )г точки Р, для которой пересечение 1 всех многоугольников Я еи )г имеет меру, большую 1 — а/ЗМ. Поэтому интеграл по У(9) с точностью до в/3 может быть аппроксимирован интегралом по У(1). Наконец, в силу равномерной непрерывности 1 можно предположить, что окрестность (г такова, что для всех многоугольников Я и для всех точек з определенного выше пересечения значения /г(а) и 1о(г) отличаются менее чем на в/3. Заменим поэтому 1 на 1 — (, где 1р(а)= ~ Тс(!ьр и аШ(Р).
и ш) 'Таким образом, дана непрерывная функция, интеграл которой по всему слою равен нулю и мы ищем многоугольник Р, для которого почти наверное !нп Рр(а, Т) =О, где т.+ ь т Рр (а Т) = Т ~ 1р (фг (т)) 1. о Критерий эргодичности можно записать по-другому. При фиксированном Т функция Ря(г, Т) определена всюду, за исключением тех з, траектории которых до момента Т попадают в вершины многоугольника.
Это множество имеет коразмерность один и потому нулевую меру. Наша функция непрерывна на области определения, поскольку 1 непрерывна на У и поток ф) непрерывен на том множестве, где он определен. Далее, она ограничена той же константой М, что и [Ц и по эргодической теореме предел !пп Рр(а, Т) существует для почти любой точки а т -+ и интегрируем. Согласно теореме о мажоранте, достаточно для доказательства того, что 1!ш Рр(а, Т)=О почти всюду, покат-ь* зать, что !пп ~ !Рр(г, Т) !(((хр — — О. Кроме того,'в силу очет+ь и р ( ) видного соотношения РР(я Т+ о) = т о РР(а~ Т)+ т ! о РР(фг(а) Е) т 8 т+я если ~ 1Ро(а, Т) !(1(хр(е для некоторого Т, то ~ ! Рр(а,Т) !(1!яр< и ьь) и(ю г 2е для всех достаточно больших Т.
Типичность эргодичности для биллиардов в многоугольниках 215 Поэтому найдется множество Е, состоящее из многоугольников и удовлетворяющее следующему условию: 1 )()и е=!(м ВТ е= Я ~ ! Рр (а, Т! !(г!хр ( —. им) Определение множества Е(п) и Е(п, Т). Положим — Е г(. г)=( Р Х/ ! )г (, Т))ч г< — „г( )= () г(, 7). и (Р) Очевидно = и, Е= П Е( ), и достаточно доказать, что Е(п, Т) отп ,а, Т а(йр зависит от Р не- крыто, поскольку интеграл ~ (Рр,а..., р Е (и) всюду плотно, то оно содержит р и (р) ацио- прерывно, а если и ых г ппа Г имеет доста- нальные многоугольники, для которых группа точно большой порядок. Е(л Т) открыто.
Поступим так же, как при дока- В б ем ок естност зательстве р р е неп е ывности интеграла. ы ер о ьников, принадлежащих рассмотрим ер п есечение всех многоугольн к рестность достаточно этой окрестное ; р ти; п едположим, что ок 1, одмножества меры мала, так что для слое, в, касательных к, п ни одного из мно— а/М т аектории не попадают в вершины ни одн множестве следует непрерывность г а, и и ! Р (а, 1гр, кот ! Р (а, Т) ! г(1ьр, который аппроксимирует с точностью до в !Рр(а, и (т) интересующий нас интеграл.
Множество Е(п) плотно. В силу рав р авноме ной непрерывности найдетсЯ 6, такое, что ~(1,(а)) — я Покажем, что многоугольник, группа отражений Р можно разлож ть на простран- составлен из коп (Г( ий многоугольника Р, имеющих ру ! Обозначим меру на Мэ через А и п оложим 1 = — /с(А. Г ме ля почти всех 0 поток, индуцируемын Теорема 2 гласит„ что для льно он эргодичен по от- на в, ст бого ае=Мв 1пп р а, ношению к мере А, т. е. для почти лю М , строго эр оди еи. Следовател но, о э го т-ь я!е П.
АРнУ Рис. =Тв, где зееМа. Тем самым, наш интеграл сходится к ~ [Т,]й! „. и <р> Преобразование (х, 9)г-ь(х, О + Ог — Ог) переводит Мо, в Мв,. Согласно предположениям о свойствах Г: если ]91 — Ог] ( б, то для любых точек, взятых на двух соответствующих орбитах Г, расстояние между ними не превосходит б. Отсюда в силу равномерной непрерывности ! имеем ]1в, — Ув,! С 1Т2п.
Но поверхности Мв образуют разбиение Р. Возьмем интеграл относительно этого разбиения ~ Те йО = ~ Тй!лр. Следовательно, для всех О 5' ию имеем ]Уз[(1/2п и отсюда ~ ]!в]й!лр < !]2п. Тем самым, с (р! достаточно взять Т столь большим, что этот интеграл аппраксимирует искомый с точностью до 1/2п. й 3, РАЦИОНАЛЬНЫЙ БИЛЛИАРД И АССОЦИИРОВАННЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ Возьмем поверхность М = [(х, Т) [х ее Р, Т ~ Г), определенную в $ 1.
На этой поверхности имеется естественная структура плоскости (или евклидова) всюду, за исключением точек, отвечающих вершинам Р, так как она составлена из копий Р. Она -ориентнруема: достаточно приписать РХ(7) ориентацию многоугольника Р, так как 7 сохраняет ориентацию, или противоположную ориентацию. Эти ориентации эквивалентны, так как от одной к другой можно перейти с помощью симметрии.
М компактно, так как Р рациональный и тем самым Г конечна, поскольку угол, отвечающий любой вершине Р, есть целая доля 2п. Можно рассматривать М как расслоение с конечным числом фиксированных особенностей, с локальными картами ф-г-т:г, с координатными преобразованиями карт вида х, у~ х', с~у. Множества ф — '(у = сопз!) образуют слои этого расслоения (см. [9] ). Расслоение можно рассматривать локально и задавать с помощью замкнутой дифференциальной 1-формы.
При интегрировании этой формы по любой трансверсали к слоям возникает мера, которая не варьирует вдоль трансверсали и достигает на слое экстремумов. Дополнительное условие состоит в том, что в окрестности любой особой точки расслоение за(тается знакоопределенной формой типа 1шч/х" Ж' (рис. 1). Трансверсальная мера называется эргодической, если для каждого измеримого множества, представляющего собой объединение слоев, пересечение с интервалом трансверсали имеет Тияигвоггг эргодичногти для биллиардов в многоуголгнияик В!7' меру нуль или полную меру. Расслоение строго эргодично, если существует единственная инвариантиая мера, которая автоматически является эргодической. Поток, сохраняющий меру т, определяет меру на расслоении. При этом слои являются траекториями потока, мера на трансверсали 7 определяется пределом !!Тп (!/Т)т(ф,(х); х ~ у, 0(г(Т).
Эргодичность и строг-эо гая зргодичность потока при этом эквивалентны на этом расслоении, так как оно отвечает потоку, определенному на Мв — М. Обобщения на квадратичные дифференциальные формы. Будем называть дифференциальной квадратичной формой, или, допу- Гвоаезнчвокив ская некоторую вольность речи, просто формой, пару трансверсальных мер на расслоении с особенностями поверхности М, которая всегда будет предполагаться ориентируемой, компактной н связной (см.
[11], где это понятие вводится по-другому). Пара расслоений определяет систему карт на Р' в каждой регулярной точке. Мы возьмем первое слоение как систему вертикалей на )гг, а второе возьмем горизонтальное и будем далее их так и называть. Обратно, определим квадратичную дифференциальную форму в каждой регулярной точке с помощью системы карт на кг с преобразованием карт вида х+ с или — х+ с и с особенностями типа хгйхг. Оба слоения имеют в особых точкак и + 2 ветви. Квадратичная дифференциальная форма индуцирует на М структуру плоскости с конечным числом особых точек, в которых М имеет конический тип с углом при вершине, являющимся целой долей 2п.
Расширим группу преобразований карт за счет трансляций и изометрий. Такая структура позволяет вычислять площади. Тем самым определена полная площадь, равная норме квадратичной формы. В дальнейшем мы всегда будем рассматривать формы с нормой 1. Структура плоскости индуцирует, если допустить в качестве преобразований карт конформные преобразования, коиформиую 2!8 П. Арну Типичность эргодичности для биллиардов в многоугольниках 219 структуру на М всюду, за исключением конечного числа точек, которая может быть расширена на всю М. Отметим имеющуюся здесь связь с терминологией классической теории римановых поверхностей, где под конформной структурой понимается квадратическая дифференциальная форма, которая может быть записана в виде )(г)г(гз.
Разница состоит в том, что мы не фиксируем конформную структуру априори. Структуру плоскости легко представить локально, если взять слоения, индуцированные осями координат. Геодезический сегмент определяется с точностью до изометрии его проекциями на вертикальную и горнзонтальную оси. Геодезическая локально есть просто прямая с постоянным наклоном. При этом, если геодезическая проходит через особую точку, то в ией она меняет направление (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
