Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Сравним эту траекторию с р, до, Ф где Оен [е г", е~п1. Типичность эргодичности для биллиардов в многоугольниках 233 232 П. Арну Лемма, Предел Вш д»т„»д»»Т= — Ь,»Т существует и сходимость ».+ к нему равномерна, если я принадлежит любому компакту. Доказательство, Согласно определению действие группы ВТ. (2, 1к) непрерывно. Элементарное вычисление для ВТ. (2, 'Р) дает с е'»' 0 ')(' соз(яе-') з(п(яе-') 1/е-»»' 0 1 /1 я 0 е пг) 1,— з(п(яе-») соз(яе»)) [,О еп') хО 1 и эта сходнмость непрерывна, если я изменяется в компактном подмножестве Р. С1 Окончание доказательства утверждения.
Из леммы вытекает, что прн 1) Т», где Т» достаточно велико, расстояние между Ряс. 8. Ь,1»»»1 и д»»1„» не превосходит а/2. Выберем Ь», такое, что (, ) Т, если п»Ч. Тогда д»„»Т принадлежит К согласно определению („и, следовательно, Ь,у»») принадлежит К» при я~ ~[ — 1,1] согласно определению К» и при и)»»»', у»1» при- »л ге и надлежит Кь Отсюда вытекает искомое противоречие, поскольку вблизи О, являющегося точкой плотности Г, на большой части геодезического образа орбиты вращений в В,»э, остальная часть лежит не более чем на половине орициклической орбиты Ь»»»1 в В,. При этом эти две траектории отстоят друг от друга менее чем на е/2. С1 Таким образом, показано, что для почти любой формы орбита вращений рекуррентна, а почти любая рекуррентная форма строго эргодична.
Тем самым теорема 2' доказана. 5 6. ЗАМЕЧАНИЯ И ОТКРЫТЫЕ ВОПРОСЫ Свойства, которые мы продемонстрировали, имеют и другие приложения. Например, множество дифференциальных квадратичных форм допускает разбиение на траектории )са. Используя теорему Фубини, можно сразу получить, что почти любая форма строго эргодична. Можно также ограничиться формами, для которых вертикальное слоение ориентировано, поскольку эти свойства инвариантны относительно действия группы 5г.(2,л',). Можно также получить результат Вича [20] и Мазура [1?] о строгой эргодичности почти любого перекладывания отрезков и почти любого слоения.
С другой стороны, можно доказать и более простые утверждения, которые получены в этих работах. Покажем сначала, что на 90 существует конечная мера, инвариантная относительно геодезического потока, из которой согласно теореме Пуанкаре следует, что почти любая форма рекуррентна. (Более сложное доказательство, которое дано в $4, необходимо потому, что оно здесь проводится для пренебрежимо малой части 9»л, для которой нельзя непосредственно применить теорему Пуанкаре.) Из доказательства вытекает лемма из $5, откуда следует, что множество не строго эргодических форм имеет меру нуль. В противном случае найдется множество не строго эргодических форм положительной меры, замыкание которого не пересекается с В.
Почти любая форма из В рекуррентна, но предельные точки его орбит принадлежат В, что приводит к противоречию. Более глубокое исследование потока д» проведено в [21]. Можно показать, что на любом инвариантном естественном пространстве (квадратичных форм с фиксированным типом особенностей) геодезический поток обладает единственной инвариантной мерой, по отношению к которой он является бернуллиевской системой, и можно вычислить его энтропию (она равна Зй — 3 для квадратичных форм с тремя листами над поверхностью рода д).
Что касается биллиардов, то можно доказать, что их энтропия равна нулю. Можно показать также (Мазур), что любой рациональный биллиард содержит замкнутую геодезическую. Известны оценки (см. [13]) числа замкнутых геодезических и геодезических связок.
Можно также показать, что рациональный биллиард никогда не обладает перемешиванием на поверхности уровня (см, [12] ), но некоторые рациональные биллиарды обладают свойством слабого перемешивания на инвариантной поверхности Мв (см. [10]). Кроме того, осталось много открытых вопросов. неизвестно, все ли биллиарды имеют периодическую траекторию (это легко проверить для биллиарда, близкого к равностороннему треугольнику, с .помощью рассуждения о минимизации длины„ которое неприложимо к произвольному биллиарду), и неизвестно, существует ли слабоперемешиваюший иррациональный биллиард.
Неизвестно также, верен ли доказанный выше результат для почти всех биллиардов: использованные здесь методы П. Арчу проходят для рациональных биллиардов и для римановых поверхностей, но не позволяют получить общих результатов в. смысле категории Бэра и в смысле меры. Наконец, естественно поставить такие же вопросы для биллиардов в многогранниках в размерности 3. Однако те же методы применить нельзя, поскольку рациональные многогранники не плотны и в размерности 3 не существует аналога теории Тейхмюллера. ЛИТЕРАТУРА (Ц АЬИогв Е. Ч. Ьес!игез оп Чиаз1соп!оппа! тарр1пкз, Чап Ыов!гапй, Ыечг Тоги, 1966. [Имеется перевод: Альфорс Л. Лекции по квазнкоиформным отображениям.
— Мх Мир, 1969.) [2) Вега' Ь. Р!п1!е й!щепв1опа1 Те!сьгпйиег врасев апй депегаиха11опь, Вии. АМБ 5 (198Ц, 131 — 172. (3] Вега 1, Кга 1. (ейв.) А сгазЬ соигье оп К!е1п!ап йтоирь, Брг!пяег Чег1ак, 1.ес1иге го1ез |п Май. 400, 1974, (4) Войпг|иыш С., Кеапе М., МагсЬеш Р, ВИИагйь 1п ро)уйопз, ТЬе аппа1ь о! ргоЬаЫ!пу 6 (1978), 532 540.
(5) Випцпо|псЬ 1.. А Оп 0|е егко|пс ргорегпез о1 по|чьеге Шзрег!пк Ь~1- Иагйв, Сопнпип. Ма!Ь. РЬув. 65 (1979), 295 — 312, (6] Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. — МлНаука, 1980. [7) Т|оиайу И. Аррпсанопь йи йеогеще йев !Ьогез !пчаг!апик 1!и!четв!(е Раг!в ЧН, ТЬезе йе 3-е|пе сус1е (1982). (8) Рох И, Н., КегвсЬпег И. В. Сопсегп!пк 1Ье 1г!пыиче ргорегпев о! Ееойевкь оп а га!юпа1 ро1уЬейгоп, Вийе Май. Л 2 (1936), 147 — 150. (9] Ра!Ы А., 1аийепЬасЬ Г., Роепаги Ч. Тгачаих йе ТЬигмоп зиг 1еь зиг!всеь,.
Аз1ег|зчие 66 — 67, 1979. 10) С|и!Ь!п Е., Кпо)| А, В. %еа1йу щ1х!пк ЫИ!агйв, ргериЫ!са1юп. 1Ц НаЬЬагй й., Маьиг Н. Оиайга!!с йц!егеп1!а! апй 1оивпопз, Ас1а Мап|е|папса 142 (1979), 221 — 274. (12) Ка(о1| А. В. 1п1егча1 ехсьапяе апй воще ьрес)а1 Потев аге по! щ1х!пк, 1вгае1 аоигпа! о! Мвй. 35 (1980), 301 — 3!О, (13] Ка1о!| А В. ТЬе Его|я!Ь га1е 1ог йе пщпЬег о! ыпни!аг апй репой!с ог- Ь|Ы !ог а ро!уиопа) Ь|!Иагй, Сопнпип. Май. РЬуз. 111 (1987), 15! — 160, (14) Кегсйьо(! Б., Мавиг Н., Бппще Л.
Егвожсиу о! Ь|!Иагй Потчз апй |!иайгапс гййегепиа!в, Апп. о! Май. !24 (1986), 293 — 311. (15) Ка1о1| А. В., 51ге!суп Л М. 1пчаг|ап! |папио!йь, еп1гору апй Ьги!агйв; вгпоой |парь ч|1й Ыпяи1аг|пеь, Брг!пкег Чег!ак, 1.ес!. Ыо!ез 1п Ма!Ь. 1222, 1986, [16) Лазуткин В. Ф. Существование каустик для биллиардной задачи в выпуклой области. Изв. АН СССР, сер. мат., !973, т, 37, № 1, 188 — 223. |17) Маьиг Н. 1п!егча1 ехсьапяе 1гапв!оппапопв апй п|еавигей !оИа!!опв, Апп. о! Ма1Ь.
115 (!982), 169 — 200. [18] Синай Я. Г. Дянамические системы с упругими отражениями. Успехи матем. наук, 1970, т. 25, № 2, 141 — 192. (19) Синай Я. Г. Введение в зргоднческую теорию. — Ереван: Издательство Ереванского университета, 1973, 132 с. (20] ЧеесЬ %. А. Саизз |пеаьигез !ог !галь!оппаиопв оп 1Ье врасе о! 1п!ег. ча! ехсьапке п|арв, Апп.
о! Май. 1!5 (1982), 201 †2. (2Ц ЧеесЬ %. А. ТЬе Те!сЬщйиег Ееойеьк Нотч, Апп. о! Май. !24 (1986), 44! — 530. [22) Земляков А. Н., Каток А. В. Топологическая транзитивность биллиардов в многоугольниках. Матем. заметки, 1975, т. !8, № 2, 291 †3. ПРОЦЕДУРА «ОТПУОКА» Робер Азенкотт !. ЗАДАЧИ ГЛОБАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ И СПИН-ГЛАССОВЫЕ МОДЕЛИ Рассмотрим конечное множество 5 индексов и для каждого вен 5 переменную х„принимающую значение в конечном мно- жестве Е. Назовем Е=Еь множеством всех «конфигураций» ' х=(х,), в ~ 5. Пусть теперь Н: Е- )ч — произвольная функ- ция; задача, которую мы здесь рассматриваем, состоит в том, чтобы вычислить Н,„= гп1пН(х) и найти хотя бы одну конхме фигурацию х, минимизирующую Н(х).
Когда число элементов 5 мало, осуществимым алгоритмом является простой перебор х ее Е, но в статистической механике, комбинаторной оптимизации, распознавании образов и т. п. со- вершенно обычны задачи минимизации, в которых множество 5 переменных имеет очень большое число элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
