Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 52
Текст из файла (страница 52)
На самом деле достаточно легко, используя (8.8) †(8.10),построить много примеров, в которых Ео содержит конфигурации х, не являющиеся глобальными минимумами. За свежими результатами в этом направлении мы отсылаем к заметке Труве [16), где он прямыми методами доказывает существование предельного распределения в синхронной процедуре «отпуска». К тому же вопросу можно подойти с помощью результатов Фоллмера и др. об общих неоднородных цепях Маркова в духе идей Р.
Л. Добрушина. Мы поговорим подробнее об этом в следующих статьях, а также в расширенной версии этого текста. ЛИТЕРАТУРА [1] Срегпу Ч.— А Гнепподупаписа! еп1с!еп1 ыши1а1юп а!ког)йип, 3. ОР1. ТЬеогу Арр1., чо1. 45, р. 41 — 51, !985. [2] Рге!дИп М. ТЧеп1ье)! А.— Капдош рег1игЬапопв о1 с)упав)са) ьув1ешв, Зрг!пяег, Вегнп, 1984. [3] Са!апк Т. апд СЬосч У.— Сопчегкепсе га1е оГ аппеа)!пк ргосеввеь, ргерпп1, 1987.
[4] Са1оп! Р.— Ор1ипа! сооппд всьеди!ея $ог аппеаппя, С. К. Ас. Зс1. Рапв, апс$ ргерг!п1, 1988. [5] Рбпшег Н. — Кегпаг)сь оп ь)ти)а1ес) аппеанпк, Ьес1игея Ошчегвпу Рапв — Зид, 1988. [6] Оешап 8., Оепсап Р.— 81осьав1$с ге!аханоп, ГИЬЬв жя1пЬи1!оп, Вауев!ап гея1аига1$оп оГ Ггпакев, 1. Е.
Е. Е. Тгагя. Р. А. М. 1., чо!. 6, р. 721— 741, 1984. [7] Оеппп 8,, Насапв С. К.— Р)пиыопв 1ог д!оЬа! ор1Ьп!ьа1юп, ргерг1п1, 1985, Вгоисп Г)п)чегя!!у. [8] Омав В.— Ь)оп Мапопагу шагаоч сЬа)пв апд сопчегяепсе оГ аппеаппп а)дог)ГЬшь, 3, 81а1. РЬув., 39, р. 73 — 131, 1985. [9] На)еь В.— Соонпк всьеди)ев Гог орйпа! аппеанпк, ргерпп1ь Мапс. Ор. КеьеагсЬ, 1987. [!О] На]ез В. — Ти!ог!а! вигчеу о$ ыпш1а1ед аппеанпк. Ргос. 241Ь СопГ.
Рес!в)оп/Сои!го), Рог1 $ аис)егда!е, 1985. [11] Нопеу К., 81гоос1с Р.— Ьпшша1ед аппеа!Гпя чда ЗоЬо)еч !пециа1шев„ ргерг!п1, 1987. [12] Йчгапп С. К., ЗЬеи 8. 3. — Г.агке Игле ЬеЬач1оиг 1ог регьсгЬед д)пивюпв 1, Н, 1!!. Ргерпп1я, $986 — 88, [13] $(!г$сра1г)с$с 8., Ое!ап С.— Чесс]п М.— Орппсыа1юп Ьу ь!ши)а1ед аппеаппк, Зс!епсе 220 (1983), р. 671 — 680. [14] МеМоропв ЬГ. апс$ а1.— Ес!иа1$оп оГ в!а!в са!си!апопв, Л. СЬесп. РЬуыся 21, р. 1087 — 1092, 1953, [!5] Тгоиче А.— ЗупсЬгопоив Мпш!а1ед аппеанпк, С. К, Ас.
Зсп Рагсв апй ргерпп1, 1988. КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ БЕЗ УСЛОВИЯ КОМПАКТНОСТИ Хаим Брезис О. ВВЕДЕНИЕ Указанная тема включает в себя широкий круг вопросов, связанных с построением решений нелинейных эллиптических уравнений в частных производных, возникающих, помимо прочего, из задач дифференциальной геометрии (исследование кривизны, гармонических отображений и т.
д.) и физики (уравнение Янга — Миллса, задача трех тел и т. д.); см. подробную библиографию в конце данной статьи. Решения этих задач представляются как критические точки некоторого функционала г, т.е. какрешения уравнения г'(и) =О. Общая трудность во всех этих задачах заключается в том, что область определения не является компактной, а функционал г" не удовлетворяет условию Пале — Смейла, которое представляет собой ослабленную форму свойства компактности (см.
ниже). В этой статье я ограничусь описанием возникающих трудностей, полученных результатов и открытых проблем на следующем модельном примере: — Аи + д (х) и = ип (1) и>0 и=О на И~(ч'н, на И, на дИ, Здесь И вЂ” открытая ограниченная регулярная ') область в (чн, Лг ) 3, г)(х) — заданная функция, а р = (Н + 2)/(Н вЂ” 2) — критический показатель Соболева. Этот показатель играет очень важную роль, так как он приводит к инвариантности отношения Соболева относительно группы растяжений. (В случае )У=2 нужно заменить из экспонентой; при этом возникают интересные явления, о которых мы не будем говорить — см. библиографию.) Несмотря на внешнюю простоту, задача (1) представляет собой очень богатую структуру и она может служить в качестве «лаборатории» для отработки новых методов, которые затем можно будет применить к другим задачам.
Разумеется, можно Вгезм На1пг. Ро1п1з сг111Чпез бапз 1еа ргоыегпеа чаг1аноппе!з запа сопз- рас11К Зепь Вопгьаж, 1987 — 88, № 698, Аа16г)зяпе 161 — 162, 1988, р. 289— 256. ') То есть ВО гы С". — Прим. перев. 4ч) перевод на русский язык, А. И. Комеч, !990 Критические точки вириичионнык задач заменить область И римановым компактным многообразием (без края) М размерности А1. Тогда задача (1), записывается в виде (2) — Аи + д (х) и = из на М, и>0 иа М. В частном случае, когда д(х) совпадает с функцией д(х) = = [(Н вЂ” 2)/(4(Н вЂ” 1))11ч(х), где 1«(х) — скалярная кривизна многообразия М, система (2) описывает знаменитую задачу Ямабе, которую мы будем обозначать через (г').
Эта задача интересует геометров, так как если она имеет решение, то существует конформно эквивалентная исходной метрике д новая метрика гг', у которой скалярная кривизна постоянна (см., например, [АЗ) ). Несколько слов об истории вопроса: 1) В 1960 г.
Ямабе ['г'[ опубликовал статью, в которой он анонсировал как теорему существование решения задачи ( г'). 2) В 1967 г. Трудингер [Т) обнаружил ошибку в доказательстве Ямабе. Теорема Ямабе превратилась в гипотезу Ямабе. 3) В 1976 г. Т. Обэп [А2) опубликовал важную работу, в которой он доказал гипотезу Ямабе для локально конформно не плоских многообразий размерности А1 > 6. 4) В 1984 г. Р. Шен [Зс[ анонсировал полное доказательство гипотезы Ямабе во всех оставшихся случаях. Он изложил полное доказательство только для Аг=3.
Его метод использует очень сложный результат Шепа и Яу о положительности массы ( [Зс — 'г'1), [Зс — 'г"2) ). Недавно совместно с А. Бари мы получили результат о существовании решения задачи (2), который применим, в частности, к задаче Ямабе. Перед тем как формулировать этот результат, отметим, что если задача (1) или (2) имеет решение, то с необходимостью первое собственное число оператора — А + д строго положительно (это легко увидеть, умножая уравнение (1) или (2) на ф~)'). Всюду в дальнейшем мы считаем это последнее условие выполненным, что эквивалентно козрцитивности оператора — А+у, т.
е. ) [ Ьр [е + дфз ) а ~ фе, 'ч ф ~ Но (И) (соответственно Н' (М)), а ) О. Теорема 1. ([Ва — Вг[). Пусть А1 (6. Тогда существует решение задачи (2). Доказательство в значительной степени навеяно основополагающими работами Бари — Корона [Ва — СЦ, [Ва — С2). Наш ') Здесь фг — первая собстненная функция оператора — Ь + д. †Пр. перев. Х. Брееис Критические точки вариациокных задач. подход основан на использовании топологичгских средств и со- вершенно не использует теоремы о положительности массы, что.
позволяет рассматривать общие функции. д(х). Замечание 1. Ограничение У(6 возникает из-за технических сложностей в доказательстве. Естественно полагать, что теоре- ма 1 распространяется также на случай У) 6. Еще немного об истории задачи (1): В 1965 г, Похожаев получил удивительный негативный ре- зультат относительно задачи (1): Теорема 2. ([Ро[). Пусть область Я вЂ” звездная. Тогда следую- щая задача нг имеет решения: — Ли=из на И, (3) и)0 на Я, и=О на дИ. Этот легко доказываемый результат имеет опустошительные последствия. Он наводит на мысль, что задачи с критическими показателями вообще говоря, не имеют решений (в то время как при р ('(У+ 2)/(У вЂ” 2) легко показать, что задачи (1) и (2) имеют решения).
Пришлось ждать пятнадцать лет, чтобы обнаружить, что, во-первых, присутствие функции д(х) и, во-вторых„ топология или геометрия области И позволяют доказать разрешимость задачи (1). Теорема 3 ([Вг — Щ). Пусть И вЂ” открытая ограниченная регулярная область в Ии, где У 4. Предположим, что (4) существует точка хо ен И, в которой д(хо) < О. Тогда задача (1) имеет решение. Замечание 2. Если д(х) ) 0 на И, то может так случиться, что задача (1) имеет решение; однако никакого общего утверждения о существовании решения мы не знаем.
Это открытая проблема и она представляет большой интерес. В случае, когда У=3, ситуация значительно сложнее. Напомним, что функция Грина 6(х, у) оператора — Л+ д является решением задачи — Л6+дб=бе на И, 6(х, у)=0 при х~дЯ. Как известно, 6 (х у) — [ + у (х> у) 1 где д — регулярная часть функции 6 — непрерывна на И;к, Я. Приведем один результат, которым мы обязаны Б. Маклеоду [Мс], связанный с работой Шева [Зс[, посвященной задаче .Ямабе.
Теорема 4, Пусть И ~ Вз — открытая регулярная область. Пред- положим, что (5) существует точка хо ен И, в которой й'(хо, хо) ) О. Тогда задача (1) имеет решение. Замечание 3. Условие (5) не всегда легко бывает проверить. В частном случае, когда Я является шаром, а д(х) постоянна, явное вычисление показывает, что условие (5) выполняется, если и только если — )ь1 ( д — )ь1/4. В случае задачи Ямабе (т") справедливость условия (5) вытекает из теоремы о положительности массы. Не так давно было обнаружено, что топологию или геометрию области И можно использовать для доказательства теорем существования. Первое наблюдение в атом направлении принадлежит Каждану — Варнеру [К вЂ” %[: они заметили,.
что если И вЂ” кольцо вида И= (х~(т™; В1 ( [х[ =Вз), то задача (3) имеет решение (радиальное)'). В 1984 г. Корон [Со[ доказал, что если в произвольной области сделать «маленькую дырку», то задача (3) имеет решение. Так, например, справедлива Теорема 5. Пусть П вЂ открыт ограниченная регулярная область и И =П~,Во где  — шар радиуса г, содержащийся в П. Тогда задача (3) имеет решение при всех достаточно малых г.
В своей совершенно замечательной работе Бари и Корон [Ва — С2[ сумели снять требование «малости г» и доказали также следующий результат: Теорема 6. Предположим, что И обладает нетривиальной топологией в следующем смысле: (6) Гомологическая группа На(И; лз) отлична от нуля для неко.торого целого й. 'Тогда задача (3) имеет решение. Остается еще множество открытых вопросов.
Так, естественно предположить, что задача (1) имеет решение при условии (6) для общих функций д. С другой стороны, правдоподобно, что геометрия области И может иметь значение (даже если ') То есть и(х) зависит лишь от )х[. — Прим. иерее. Х. Брезис Пример. топология Я тривиальна), как показывает следующий результат Дннга [И 1]: Теорема 7. Пусть Р = (х ~ Е", т < [х[< 1) где йГ ) 4, и пусть С = (х = (х', х„)яР'-'Х Р; [х'[<з и 0 < хи «- 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
