Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Сначала мы кратко напомним физический смысл рассматриваемой задачи к очень кратко опишем эволюцию в под- ходе к этой проблеме. О.!. В 1872 г. Л. Больцман [1), развивая идеи Д. К. Максвелла [2! (1866), вывел уравнение, описывающее статистическую эво- люцню разреженного газа. Пренебрегая взаимодействием с гра- ннцей, допустим, что газ заполняет ~-мерное пространство (г! = = 1, 2 нлн 3), н обозначим через 7 =1(г,х, о) плотность распре- деления вероятности молекул газа в фазовом пространстве [зиХ Е'.е (х — положение молекулы, о — скорость) в момент' вре- менн й В отсутствие всякого взаимодействия молекулы двига- лись бы с постоянной скоростью по прямолинейным траекто- рням, так что ! удовлетворяла бы уравнению (0,1) —,+ о — =О.
д! 61 дг дк В разреженном газе в отсутствие внешних снл взаимодействие в основном сводится к упругим столкновениям, в каждом нз ко- торых участвуют только две молекулы. Если (о; 0.) н (о'„о'„)— скорости двух молекул соответственно до н после столкновейня, то нз законов сохранения количества движения и кинетической энергии получаем 0 + О,=0+ 0„ ! о' !'+ [ о, '[' = ! о [г+ [ о, [з, Сгегагд Ра!г!с!г.
Бо1ппопз К!оЬа!ез дп ргаыегпе де Сапсьу роиг Рйциабоо де Во!Ыгпапп 16! аргез й. Х В! Регпа е1 Р. 1.. !Лопе).— Бапг ВопгЬаЫ, 1987 — 88, № 699, Азмг!зцпе 16! — 162, 1988, р, 267 — 281. Глобальные решения задачи Коши для уравнения Больциани 275 где со†константа, пропорциональная величине, обратной длине свободного пробега молекул.
Существуют н другие модели, связанные, например, с меж- 1 молекулярными силами типа —,(з > 3), для которых д имеет внд 5 — з О()7, го) =со! 1'!' ' О( — !), ! !г! (0.7) (г(=3) где О~ (.г() — 1, 1[). (В этом состоит гипотеза «углового обрезання», позволяющая не принимать во внимание «касательных» столкновений, см. Град [38[, Черчнньянн [3!.) Больцман проверил справедливость 'законов сохранения для некоторых макроскопнческнх наблюдаемых величин (массы газа, его кннетнческого момента, кинетической энергии), а также ввел величину Н= ~ ~ 1 1п)г(хс10 (0.8) н доказал, что она растет с течением времени (см. $ 1).
Функцня Н позже была проннтерпретнрована как энтропнк откуда вытекает, что для некоторого направления оз ен Бе-! о'=о — (о — о ) ° омо 0,=0,+(Π— 0„) оке. Связь между направлением го н относительной скоростью (г= = 0 — о„опнсывается статистической величиной гу(17, го), так называемым эффективным сечением, которое зависит только от [Ц н [Р от[. Предполагая отсутствие корреляций между двумя молекулами до н после столкновення, Больцман покдзал, что уравнение (0.1) должно быть модифицировано следующим об- разом: (В) щ + ' д = Гизи [) где ду д1 (0.4) Я(~, [) = $~ г7(о — о„, го) (Ц', — Ц ) г(о„г(го, яе х зе-1 (0.6) [= 7(1, х, о), 7.=)(1, х, о), 1'=1(1, х, о ), 1' = 7(6 х, О ), а о', о'.
даются формулами (0.3). В модели, рассмотренной Больцманом, молекулы взакмодей- ствуют какгбнллнардные шары, н г7 имеет внд (0.6) д()г, го)=со! (г от[, П. Жерар рассматриваемой системы (с точностью до знака). Используя эту функцию О, Больцман смог вывести формулу для' [ в со- стоянии равновесия, ранее установленную Максвеллом [2]: (0.9) 7 (о) = Р ехр ( — (о — и)з/28), — ( '!" где р, и, 8 — соответственно плотность,.средняя скорость и тем- пература газа (не зависящие от (с,х) в состоянии равновесия). 0.2.
Первое доказательство существования решения уравнения (В) для некоторого класса достаточно общих начальных дан- ных [в (при 1=0) было получено в 1933 г. Т. Карлеманом [10]. Оно относилось к модели «твердых шаров» (0.6) в простран- ственно-однородном случае (когда ! не зависит от х), так что задача Коши для (В) принимает вид (О.10) ис с) (с с) с (0 о) со (о) Т удность заключается, разумеется, в квадратичном росте члена Р Я()',7), который может оказаться серьезным препятствием к гло- бальному существованию. Идея доказательства Карлемана за- ключается в использовании взаимного погашения между двумя .величинами (0.11) (), Ц, 1) = 1 1 Ч (о — о., в) [Т до.
дш, (0.12) Я (], ))= ~ ~(7(о — о„вз)Ц,(!о„с(из=[ Ц, которые составляют й! = Я+ — Я . При помощи итераций вида (0.13) 'У; +(Ц,)У...=Ц,([.,]), ли иначе и с — 1 й(ь(в, ь(иа (0.14) [ьь((1, о)=7»ь((0, о)е ' + с -) Ь(ь(а, ьсва + ~ е ' (чь()ы )я)(з. о)аз о Карлеман доказал существование и единственность решения уравнения (0.10) в классе непрерывных положительных функций 7, удовлетворяющих условию (0.15) зпр зпр (!+[о [)зЯ, о)( ао, с>оьшял если р ) 6 ((! = 3) . Глобальные' решения задачи Коши для уравнения Больцмана л73 В 1951 г.
Е. Вайльд [17] построил решение уравнения (0.10) как предел возрастающей последовательности аппроксимаций; применение этой же процедуры позволило М. Моргенштерну [14] спустя три года доказать глобальное существование и единственность решения задачи (О.!О) в наиболее естественном и наиболее широком классе функций, непрерывных и ограниченных как функции от ! со значениями в 7.((!«е), но лишь в случае «максвелловского» эффективного сечения (т.
е. (7, удовлетворяющего (0.7) с з — 5). В 1972 г. Л. Аркерид [8] показал, что этот метод можно приспособить к случаю любых эффективных сечений, глобально ограниченных по )с, и затем распространил полученный результат на эффективные сечения полиномиального роста. Для этого он, в частности, использовал то, что если [з имеет конечные кинетическую энергию н энтропию, то имеющиеся для них априорные оценки (см. (1.2) и (1.4); интегрирование по х здесь не является необходимым) позволяют перейти к слабому пределу в Б' на основании критерия Данфорда — Петтиса (см. 9 4), отправляясь от последовательности решений усеченных уравнений (соответствующих (7„=1п!((), а) ). Метод Ди Перны и Лионса как раз и является развитием такой распространенной процедуры аппроксимациирешенияприменительно к более общей ситуации (см.
$ 3). Упомянем, наконец, также относящийся к пространственно-однородному случаю вероятностный подход Каца [12] и Маккина [13], применимый к максвелловскому эффективному сечению и развитый А. С. Шнитманом [16], который, в частности, получил наиболее общий из известных в настоящий момент результат о единственности для этой задачи: если 7ь имеет конечный момент 3-го порядка, то решение задачи (0.)0) единственно в классе функций (, имеющих конечный момент 3-го порядка.
0.3. При изучении общего уравнения Больцмана (т. е. с зависимостью от х) перед исследователем возникает трудный вопрос. Если ! удовлетворяет лишь естественным оценкам типа Ь( (см. 9 !), то априори невозможно определить правую часть (Ч(1,)) как обобщенную функцию (см. 9 2). Действительно, если по переменной о структура выражения (')(),() аналогична свертке, то по переменной х она аналогична поточечному умножению, которое невозможно определить для произвольных двух функций из Ь(. Именно поэтому до сих пор во всех работах в этой области использовались более узкие и менее естественные классы функций (например, 7, с весом, как в доказательстве Карлемана); однако за это приходилось платить высокую цену, поскольку существование удавалось доказать лишь на малом интервале времени ([5], [30] ), или требовать близость начальных (З зкк. (вз П. лдерал данных к состоянию равновесия (0.9) п и .
); р этом равая асть р помощи жтод теории возмущении ([25), 0.4. Ди Пе н р а и Лионе преодолели указанную т дность п помощи трех следующих оригинальных идей. ясняет механизм взаимной компенсации членов и (5.2)). Я ([,7), заданных формулами (0.11) и (0.12) ( и . ) (неравенства (5.1) Ь) Метода нелинейного сглаживания, состоящ уравнения (В) в виде ящего в записи (д1+ дх)ч + [/ дх е / 1+а( ' называемом «ренормированным» и позволяющем испо и вида .
) существейно использует то обстоятельство, с) Испол что ди еренциальный оператор Т') является вект я екторным полем. пений ьзования результата об осреднении в частных производных зависящи решений авур воначальной форме полученного в аботе Ф. Го х от парамет а, в петь, что интегральная структура ядра соударений Я по и регуляризует его зависимость от х и, в частнос и, статочн стности, приводит к до- дел, о о сильной компактности, позволяю й й у, тправляясь от последовательности ешени" ще перейти к п е- Р и решений усеченных и .
очная формулировка тео емы Ди Первы и Лионса приводится в конце 9 2. Р 0.5. Мето Ди П д Д ерны и Лионса применим также к д гим а- нениям кинетической теории, а именно к ения, и уравнению Власова — Максвелла, описываю- щему статистическую эволюцию плазмы: см. [44) и [45). 0.6. граничных эффекто . 3 .. Обсуждавшееся здесь уравнение Бо ь ольцмана не учитывает щено множество абот, и, эффектов. Задаче с учетом граничных условий р,, возможно, к этой задаче также примеови посвя- нимы указанные выше методыз). 0.7. Наконе, ц, укажем, что дополнительным стимул улом для изу- дт + а дх ° — ПРим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
