Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 59
Текст из файла (страница 59)
— Для любых 8 > О, )г > 0 последовательности функций1 1+ " ! и ! + " ) содержатся в слабом компакте из Е.'(]О, 8[Х РвХ Вя). Доказательство. Сначала разберемся со случаем Я . Поскольку Я" (!ы 1„) 0~~ 1+! Але)л то достаточно проверить, что последовательность функций (А, е(л) удовлетворяет условиям (ДР1) и (ДР2), что в свою очередь значительно облегчается наличием оценок вида (2.2) (равномерных по и), (3А) н (3.5).
После этого утверждение для Я+ вытекает из неравенства ( ) аи. я- ха..~.)+А"е.. которое получается при разбиении области интегрирования на две части, в одной из которых ]„']'„, в КЦ„., а в другой 1„'1„' > «КЦ„.. И 5.2. Замечание. Аналогично (5.1) проверяется, что его > 1 Я" (1„, )„) ( КЯ" (~ш 1„) + — е„(1„). Этим неравенством мы воспользуемся в $7. 5.3. Из оценок (3.4) и (3.5) вытекает существование подцосле- довательности (1„), слабо сходящейся в 7.'(] О, 8 (Х (чв Х еч~) при каждом 8 > О. Обозначим полученный таким образом пре- дел через 1 ~е.' (Р+ Х Ь:в Х Кв).
В качестве первого применения методики ренормированного подхода мы сейчас покажем, что ~~ С(Ж+, Е'(Р№Х~Рв)) и что, переходя, если нужно, к подпоследовательности, можно утверж- дать, что (5.3) )~1 г'л (1) ](1) в 7.'(Р'Хй') Де ствительно, для е > 0 обозначим ве = — !п(1+ег ). Тогда и й 1- в, л из (3.4) и (3.5) вытекает, что (5.4) Ю > 0 зпр зцр ]!1„(1) — о'(1) !]с, ( л „яв! О еле[о,о! л е-во» Кроме того, интегрируя ренормированное уравнение (5.5) тке 1 е)л (е е ) Глобальные решения видали Коши для уравнения Бонвивана евт мы получаем, пользуясь обозначением д№, введенным в $2.2, что 1»ь (55) е»(1 ! е) е»(Г) ( Я Ул 1л! 00 с) 1+ в!л» (в! откуда в силу предложения 4 вытекает, что (5.7) Уе>0, ЧО>0, зпр!)й,"((+и)' — й; (г)]с'(яв„е ) ~~~~ 0 л Отсюда, учитывая (5.4) и пренебрегая малым ввиду (3.4) вкла- дом от ] о] > ег', мы получаем, что 5.8) У8 > О зцб1з ]1» (1+ и) — ~» (Г) ~~, л в „О.
Отсюда стандартным образом, используя равностепенную непрерывность, получаем, что 1№ еи С(К+, л.'(Р" Х (ч")) и что (5.3) выполняется для !'» и 1». Наконец, от Ф можно освободиться при помощи обычных соображений теории меры и интеграла Лебега. ° Переходя к слабому пределу в (1.6) и (1.7) для („н учитывая выпуклость функции з«-«згпах(1пз, 0), мы получаем (5.9) Ф ~ ~ ) (1 + ! х (е + ! о ]е) с(х до ( «» ~ ~ ~о (! + 2 ! х ]о + (21е + 1) !. о !о) е(х до (5.10) Ф ~~1]!п)]дхе(о+!пп зпр ~ ~~ е„(1„)еехсЬл ~= ~~1о(]!п(о]+2!х)о+2!.!)дхдо+сл Мы воспользуемся этой последней оценкой в конце $ 7. 5.4. В силу предложения 4 подпоследовательность ( "* " ) 1+ 1„ сходится слабо. Переход к пределу в интеграле с таким выражением — деликатная задача ввиду нелинейного характера зависимости от 1„.
Однако присутствие операции осреднения по о позволит нам устранить главную трудность. П, Жерар Исходя из сказанного, по неравенству Шварца получаем ! Т„!о — ~ ! й [о дв, "'«ь'( [,„,",,)([~..ь'Юьь~.)« ььнь+ь Ь!>Но ( — ~!«+в $[о[й!'до. Отсюда вытекает, что 1д$ ([$! +! !) ~1й(, $, ) ~ < что и завершает доказательство.
6.3. Комментарии а), Результат, устанавливаемый предложением 6, имеет микролокальный характер. По существу он означает, что характеристическое множество оператора дь + о д, достаточно сильно меняется вместе с о, так что отдельная точка (1о,хо,то, $о) с «достаточно малой вероятностью» входит в Нцволновой фронт функции и и совсем не входит в некоторый Но-волновой фронт функции ~ и ьЬ (здесь 6 = '/о). С этой точки зрения предложение 6 допускает разнообразные обобщения. Ь) Наиболее непосредственное обобщение относится к 7. -семействам псевдодифференциальных операторов Р(х, О„оь) порядка 1, где параметр ьо пробегает вероятностное пространство (1л, т, 1л).
В этом случае, как можно показать, получается выигрыш в регулярности на 6 для средних ~ ид1ь(ьо), когда и и Ри принадлежат 7.Я(Хн,'ьв, ь(хр, Ы1ь); 6 связано с показателем убывания «вероятностей» 1л(ьо, [р(х, $, ьо) ! ~ е) прн е-ь-О, когда (х, 9) менЯетсЯ в окРестности РассматРиваемой точки (хо, $о) из Т'Х',(0), 'а р — это главный символ оператора Р (см. [46)). с) Цель другого обобщения — найти подходящую форму предложения 7 для расслоенных пространств.
Пусть Р(х, у, В„ 1)в) — псевдодифференциальный оператор порядка 1, где х — переменные в базе, а у — в слое с главным символом р «трансверсальным к расслоению» в том смысле, что его гамильтоново поле Нл не касается многообразия касательных векторов (т) = = О) в характеристических точках. Тогда условия и ен Л~„, Ри ен Со, гарантируют, что интегралы по слоям ~ иь(у принад- Глобальные решения види«и Коши для ур ивнения Бил»ямани 991 по (см. 147), [49)). Использование интегральных опе.лежат Н111»,,см., как ва иант раторов ч урье позв Ф оляет получить этот результат Р «теоремы о следах»: ион(о и е= Гоь-и! о ен(. (см [4~!). до б) Наконец, в ситуации, описанно й в п. с, всегда можно 2 «по х и по у».
Например, если и ен Ььь и различать гладкость «по х и по у ., и Раен(.'(ах, Н (ду)) (для т)0), то ) иду~Н (см. кана об бщение а ситуации опие) Предложение 6 допускаеъ о о ще санные в и. Ь) и с), в любом случае, когда опер векторным полем. 6.4. Следующи реву ий ез льтат позволяет использова р ть п едложение » ешениямн из определения 2, 5 в аботе с «ренормированными» решения уже рассматривавшимися нам в ра Н сть „ — относительно слабо компактная РЮм;кент 7. ~у~ы~ ([,) — т ыо Ф.) ьн сть в Е'(]О, Т е ществует последовательность,ч равно у енто авных нулю в О, для ко- ф нкций действительного аргум , р торых (1) локально равномерно 6'(в) — э з; относительно слабо ком- (2) чьч последовательность Т(6 (Г )) о пактна в Л' ( ! О, 0 [Х Р' Х Р'); в Т.ь, ф„-~ф почти всюдУ и поеледова- Тогда, если 1„— 1' в Т., тельность (фв) ограничена в Е жно п и каждом т применить предлоДля доказательства нужно при ем, что в силу слав = 6'(," ) и воспользоваться тем, жение 6 к д„=„ь „ бой компактности последовательности 1н (6.1) -рИ.— 6 ((.)![,, —,„„о.
ьЬ содержится Тогда получим, что по , что последовательность ( '1[„т„ Е.',, И в некотором камна компакте пространства (Е.', [! ![,). 19* П. Жерар 6.5. Замечание В силу условия ') для некоторой подпоследовательности (Т„) можно считать, что )гт последовательность (~'(г„)) слабо сходится в 7.» к некоторому пределу у'. Разумеется, вообще говоря, неверно, что йг' = р'(1), однако (6.1) означает, что 11 — д [[„— О.
7. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД 7А. Вернемся к обозначениям О 5.3 Предложение 8. После выбора некоторой подпоследовательности для любого В = 0 будем иметь (1) ~1„йо-» ~1»1а в (7.»([0, О[Х Ке), ~1' ~[с,) и почти всюду; (2) А„ь)„— » А«Г в (7.»([0, В[Х РлХ Вя), 9 Ц„) пРи всех )т > 0 и почти всюду. (3) Для любой функции»р ен 7. (] О, О [Х 'Ре Х г! а) с компактным по а носителем ~ »2ая(1и, 1„)»рдо ~ »2 (й 1) ч»до 1+ ~ 1ндо 1+ ~(до в(г-'»([Ой[Хне)1[
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
