Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 57
Текст из файла (страница 57)
ивлев, т) Об и щ й результат о существовании еш н давно К. Хамдашем [83). и решения бмл получен совсем нс- Глобальные решения задачи Коши для уравнения Больцмана л78 чения задачи (В) является ее связь с уравнениями гидромеханики. Когда средняя длина свободного пробега стремится к нулю, газ приближается по свойствам к квазинепрерывной жидкости, и можно попытаться найти его макроскопнческое описание. Еще в 1912 г. Д. Гильберт [40) применил свою теорию интегральных уравнений к разысканию формального решения уравнения (В) в виде ряда теории возмущений (0.17) ~ а")„, и е где е=- — стремится к нулю (см. (0.6) и (0.7)).
Он получил 1 сь отсюда, в частности, что главный член [е является максвелловским распределением (0.9), в котором параметры р, и, 0 удовлетворяют системе уравнений Эйлера. Затем С. Чепмен [36) и Энског [37) предложили более точный метод аппроксимации, который в первом порядке приближения дает для 1 систему уравнений Навье — Стокса (см., например, К. Бардос [32)). Математическое обоснование этих аппроксимаций было получено Т.
Нишидой [42) в 1978 г. для регулярных решений, достаточно близких к равновесному и на малом интервале времени. В других случаях это обоснование — чрезвычайно деликатная проблема. К сожалению, невозможно дать здесь обзор впечатляющего количества работ, посвященных этому переходу от микроскопического описания к макроскопическому (см., например, Р. Кафлиш [33) для введения в этот предмет). Автор благодарит К.
Бардоса, Ф. Корона и Ф. Голса за их помощь в процессе подготовки этого доклада. Обозначения. — Эс( — целое строго положительное число. ° Если не оговорено обратное, рассматриваемые функции принимают комплексные значения, Тем не менее всегда предполагается, что решение уравнения Больцмана принимает значения в Р+. ° Если И вЂ” измеримое пространство, то обозначение 1У(й) (1 ( р(+со) понимается как обычно. Поскольку И является открытым подмножеством в Гса, то используется обычная мера Лебега, и Ц,(й)обозначает пространство измеримых функций на И, ограничение которых на любое относительно компактное в И открытое множество У принадлежит Тз(У). Если И' — открытое множество в 'Р', то иногда мы будем через Ул(й';л', Ипм) обозначать пространство измеримых функций на И'Р', И, ограничение которых на И';и',(7 принадлежит Т.з(й';зс, У) для любого относительно компактного в И открытого множества У.
Э Если Х вЂ” дифференцируемое многообразие, то Сс (Х) обо- !8» П. Жерар значает пространство бесконечно дифференцнруемых функций на Х с компактным носителем. ° Для зя)с через Нз((сь) обозначается стандартное пространство Соболева на 1чь. ° 5(Й») обозначает пространство бесконечно дифференцируемых функций на )кь, быстро убывающих со всеми производными.
° Для Есс ) О через В» обозначается шар радиуса !( в сч!в с центром в О. д д ° Наконец, оператор переноса — +о ° — часто будет обод( дх зиачаться через Т. 1; ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ 1.1. В качестве первого шага доказательства теоремы существования решения уравнения в частных производных обычно получают оценки, позволяющие контролировать регулярность гипотетически существующих решений «априори», т. е. используя информацию лишь о заданных функциях — в нашем случае о данных Коши. Эти оценки, в частности, диктуют выбор пространства, в котором ищется решение, с учетом класса, которому принадлежат эти данные.
Для последующих применений (см. 2 3) мы в следующей ниже формулировке добавили в функцию сЕ, входящую в (В), зависимость от х. Предложение 1. — Пусть с) = д(х, к', ш) — измеримая положи- тельная функция, локально существенно ограниченная на г,'в)с, ;к, Ече Х Вв ', зависящая лишь от х, ~ 'ьс), ()с ш ~ и полиномиально растущая по (х, )с) '). Пусть Е = Е(Е х, и) ее С(Р+, 5(й асс, Р ))— положительное решение уравнения (В), для которого ~!п Е! имеет полиномиальный рост по (х, о) ') локально равномерно по (ее!'+ Обозначим Ео(х,п)=Е(О,х,о). Тогда для всех ЕяР4.
(1.1) ') ') Е с(х г(п = ') ) 'Ео с(х с(п, ~~ Е! о!васке(о ~~То( и Езс!хс(о сс.с! ((с~* — ~ се*с =Цсс*сс*с, 9в„ю м~, ~,, ~-~к,,см неотрицательная функция, локально существенно ограниченная иа (с )С )се)с (се)(Б'-', зависящая лишь от С, х, !)с(, !П ш! (именно такое обобщение предложения 1 автор использует ниже при доказательстве оценок (3.4)— (3.7)). — Прим. перев.
с) То есть растет не быстрее полинома от (х, У). — Прим. лерев. Глобальные решения задачи Кожи дяя уравнения Больцмана 2ЧЧ с (!.4) ~~ Е!п1с(хс(о+ ~ ~~ в(Е)ссзс(хс(п= ~~ с о где Е=( (г, х, о), и (1.б) в(У)(Е, х, о) = (ЕЕ 1 ! (((Е'Е ЕЕ) !пЯ(Е, х,о,п„,ш)с)(х, о — о. ш)с(о.йш (обозначения Е, Е' и Е' были введены в (Об)) Следствие 1.— При условиях предлозсения 1 справедливы следующие оценки: (1.6) ~ ~ Е (1+! х (з+ ! и !з) с(хс(о ( ~ ~ Ео(1+2! х (з+(2(з+1)! о !з) с(х с(о, (1.7) )) Е(!пЕ(с(хйо+ ~ )) г(Е)йзс(хйо ( о ( (( Ео (! !и Ео !+ 2 ! х Ез+ 2 ! и !) с(х с(о + ссь где св зависит только от размерности с!. 1.2.
Ключом к доказательству предложения 1 является следующее тождество: Лемма !. Пусть с) =у(у) зависит лишь от ~'к'(, ~ 'к' ш~, и цс = = св(п), причем д и ср полиномиального роста по о ), а д = д(о) быстро убывает по о. Тогда (1.8) ~ (г (йс, д) ср дп = --4 Ш(~У -УУ.)(~+ ~.— ~-~.) !""'-. доказательство. — Достаточно записать ~ (ч'(д. д) ср с(о = — ла Есрсус(ос(о с(ш и при фиксированном ш проде. — мй,) сусу лать последовательно замены переменных о, о ~-~(о., о), ) ( ! ( с ~(о' о') замечая что эти замены не меняют з~аче~И ! о — ~,( ( (и — он) .ш . р рав авиа просто среднему полученных четырех интегралов. Непрерывная функция ср, для которой ср'+ср'=ср+су при всех и, и„, называется инвариантом столкновений. Примерами ') То есть растут не быстрее полииома от ж — Прин.
перев, Г ба е решения зада. Коши для уравнения Больц „, 279 278 П. Жерар являются функции 1, оь 1 ( 1 ( с(, ~ о', и, как можно показать, (но мы этим не будем пользоваться), эти функции образуют базис векторного пространства инвариантов столкновений. 1.3. Доказательство предложения 1 и следствия 1 Пусть ф = «у(1, х, и) е= С'(1««.
Х йети Ра) — функция, для код«е торой «у и — полиномиально растут по (х, о)') локально равномерно по й Предположим, что Тф = О. Тогда, поскольку ~ о д,де(х=О для всех дев 3, — „', ~~К (х (о=~~Т(Я)Пх,(о= = ~ ~ (Т)') «Р е(х гЬ = ~ ~ Я (~, ~) ф е(х «Ь. Отсюда по лемме 1 следует, если отображение о «-о ф(1, х, о) является интегралом столкновений для всех (7, х), что — ) ) 7«у с(х с(о = О. Применяя это тождество к «7 =1, 1о1», 1х — 1о1», мы получаем (1.1), (1.2) и (1.3) соответственно. Аналогично, 'вычисляя — ~ ~ 7 !п 7 е(х еЬ = ~ ~ (1 + 1п 1) Т1 «1х гЬ = ~ ~ (1 + 1п1) Щ «) е«х рЬ н применяя лемму 1 к «р(о)=1п 7(т,х,о), получаем (1.4). Что касается следствия 1, то неравенство (1.6) получается сразу, а (1.7) вытекает из (1.4) и (1.3), если только заметить, что ~ ~1!и — «(х«Ь =.с'+ ~ ~ 7'1и — е(х «Ь, 7~« Я где й = ((х, о), 1) ) (7, х, о) )ехр( — ~ х — то)т — ~ о 1»)), и послед- ний интеграл оценивается сверху через ~ ~ (1х — Ь 1'+! о (т)1с(х«то.
1.4. Замечания а) Тождества (1.1) и (1.2) — это законы сохранения массы и кинетической энергии. Тем же методом можно доказать закон сохранения с произвольным весом ф, равным оь 1»1(с( (закон сохранения импульса), х«о« — хгвь 1 (1 (1 ( «7 (закон ') То есть ве быстрее полиника. — Прин. перев. г формулировнд ризьльтдтл 2! Предположения о ядре соударений Возьмем «эффективное сечение» «7ен(.|„е(й )(Я ) с положительными значениями, зависящее лишь от ~ Ц и ('у' о«(; по- ложим А(у') = ~ «7 ($', о«) а«о«. (2.1) Будем предполагать, что выполняются следующие условия: (2.2) Для каждого )с> О,, ~~ А(о — о )сЬ вЂ” -«-0 1+!о!~ е ' * 1о1-ьс 1е,!<я (очевндно). (2.3) А -=Ы (г ).
Предположение (2.3) отсутствует в 123); мы его добавили, чтобы немного упростить доказательство. Отметим, что оно выполняется в моделях (0.6) н (0.7) в случае з ) 6. Во всяком случае, основные трудности, с которыми мы встретимся, не связаны со слабой регулярностью функции А. Если 7 — измеримая неотрицательная функция на Рв, то обозначим (2.4) Я„Д, 7)(о) = ~~ «7(о — о„е)77'е(о.е(о«, (2.6) Я (), 7)(о)=)') «7(о — о„, о«)Ц,сЬ„йо=~(о) А*7(о), где А и7 обозначает свертку А с 7. Функция (КЦ,1) измерима сохранения момента импульса) и х; — гоь 1(! ..с(, (х — Ь) о (сохранение скорости центра масс, «вириала»), и с весом (1.3)— закон сохранения момента инерции относительно центра масс.
Ь) Интерес к выражению еЩ, входящему в (1.4) и (1.7), связан с тем, что оно всегда ~ О. Поэтому из (1.4) получается «Н-теорема» Больцмана об убывании )) 7'1п7«(хгЬ с течением времени. с) Вопрос об оценке производных решения уравнения (В) является нерешенной проблемой. В последующих рассуждениях мы будем также воздерживаться от использования (1.6) н (1.7). П. Жерар Глобальные решения задачи Коши для уравнения оольцмана 281 на Рл и принимает значения в )ч+Ц (+ оо), Если Я+(1,1) либо (1 (1, 1) почти всюду конечна, то положим Я(1 1) =(г+ (1.
1) — (г-(1, О. (2.8) 2.2. Понятие слабого решения Даже если де= С и имеет компактный носитель, интегралы Я (1, 1)до имеют величину порядка ~~1е(в), и трудно рас- считывать на лучшее. В целом все трудности исследования ре- шений уравнения (В) связаны с этим обстоятельством. Первая из этих трудностей заключается в том, чтобы определить само понятие решения; действительно, если, учитывая сказанное в $1, искать решение 1, регулярное лишь настолько, чтобы выраже- ния (1.6) и (1.7) были конечны, то ядро (((1,1) невозможно определить даже как обобщенную функцию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
