Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Положим (е = Ю,С (так что ье стягиваемо). Тогда, при достаточно малых г и з задача (3) имеет решение. В $1 мы сформулируем один абстрактный результат функционального анализа, относительно простой, но чрезвычайно полезный: принцип минимакса без условия (РБ). В Я 2 и 3 мы увидим как можно его применить к решению описанных выше проблем.
Критические точки еариациоииых задач й 1. О НЕКОТОРЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ АБСТРАКТНОГО АНАЛИЗА Описанные выше проблемы носят вариационный характер, т. е. их решения являются критическими точками некоторого функционала класса С', определенного на каком-нибудь банаховом пространстве Е (или на многообразии бесконечной размерности). Чтобы найти решения уравнения Р'(и) = О, можно сначала' попытаться минимизировать Р. Но поскольку область определения не компактна, то нижняя грань не обязательно достигается. Чтобы избежать такой неприятности, часто используют ослабленную форму условия компактности, введенную Пале — Смейлом [Р— 8], — знаменитое условие (Р5): (Р8) Г Каждая последовательность (и„) точек из Е„для ~ которой Р(и„) ограничена, а []Р'(и„)[] — »О, является относительно компактной.
Напомним простой результат, который, однако, хорошо проясняет роль условия (Р3). Теорема А. Пусть Р— ограниченная снизу функция, удовлетворяюсцая условию (Р3). Тогда Р достигает своего минимума. Чтобы доказать теорему А, удобно воспользоваться леммой Эклаида [Щ, по которой всегда можно выбрать последовательность (и„), так, чтобы Р(и„)- 1п(Р и [[Р'(и„)[]-»0. г Если условие (Р3) выполняется, то отсюда легко вывести, что , минимум достигается. На самом деле, условие (Р3) чересчур сильное; функция Р может достигать своего минимума и не удовлетворяя условию (РБ).
На этом примере видно, кстати, что предназначение условия (Р3) заключалось в том, чтобы не дать критическим точкам «исчезнуть в бесконечности». Поскольку это условие слишком ограничительно в приложениях, мы сочли полезным ввести (см. [Вг— С вЂ” Щ ) более точное условие.
Определение. Пусть фиксировано число сея 1«. Будем говорить, что функция Р удовлетворяет условию (Р8),, если каждая последовательность (и„), для которой Р(и„)- с и [[Р'(и„)]]-»0, является относительно компактной. Разумеется, Р удовлетворяет условию (КБ) тогда и только тогда, когда для Р удовлетворяет (Ко), для,всех с ее (ч. Теперь можно легко получить следующую разновидность теоремы А.
Теорема А'. Пусть Р— ограниченная снизу функция, и с = 1п1 Р. Предположим, что Р удовлетворяет условию (Р3), для этого в частного значения с. Тогда 1п1 Р достигается. г Это усовершенствование, которое может показаться несущественным, на самом деле оказывается в высшей степени эффективным в приложениях. Таким образом, мы приходим к следую. щей программе действий: 1) Определить те значения с, для которых условие (Р3), нарушается, 2) Проверить, что 1п1Р не является одним из этих значений. Осуществление такой программы в конкретных случаях не всегда является простым делом, однако. такой подход позволил, помимо прочего, Обену [А2] и Р.
Шену [3с] разобраться с (У)'. Кроме того, из теоремы А' можно также вывести теоремы 3 и 4. В других ситуациях может так получиться, что 1п1 на самом деле не достигается. Тогда можно попытаться воспользоваться методами минимакса или также теорией Морса для ТТ зч . мз Х. Брезис выделения критических точек.
Именно на этом пути были получены доказательства теорем 1, б, б и 7. В качестве основного типичного примера приведем следующий абстрактный результат в указанном направлении. Теорема В. Пусть К вЂ” метрическое компактное пространство и пусть Кчс: К, К замкнуто, К*Ф к1 и К»Ф К Зафиксируем непрерывное отображение 1* из К" в Е и рассмотрим Р=([ее С(К; Е); 7=1' иа К*). Положим с = 1п1 Мах Р () (а)).
гыР е ох (7) Предположиме что (8) с > Мах р(1" (а)) и ых (11) существует точка с, ее Е, для которой 11со!! > 11 и Р(по)<0. Пусть Р = (1 ее С( [О, 1); Е); 1(0) = 0 и [(1) = се). Определим с формулой (7) и предположим, что Р удовлетворяет условию (РЗ),. Тогда с — критическое значение для Р.
Доказательство теоремы В достаточно элементарное. Можно, например, применить ле)яму Экланда [Ек[ как в [А — Е) с. 272; см. также [Щ. Замечание 4. Ясно, что с> Мах Р(1"с(а)). а ы Кч Строгое неравенство (8) не всегда легко проветрить, и для этого могут пригодиться топологические соображения. (В ситуа- и что ,'(9) Р удовлетворяет условию (РЗ),. Тогда число с, определенное в (7), является критическим значе- нием функции Р. Отсюда в частном случае, когда К = [О, 11 и К' = (О, Ц, вы- текает следствие, имеющее прозрачный геометрический смысл.
Следствие 1. (Амброзетти — Рабинович [А — К]). Предположим, что функция Р удовлетворяет условию Р(О) = 0 и (10) существуют танис константы р > 0 и 1« > О, для которых Р(и)>р при чси ееЕ с 11и11=1», Критические точки еариационных задач ции следствия 1 это очень просто, так как каждая непрерывная кРиваЯ, соединЯющаЯ точки 0 и ое, пеРесекает сфеРУ РадиУса 1«). Замечание б. Следующий пример (построенный совместно с Л.
Ниренбергом) показывает, что условие (РЗ), играет существенную роль. На плоскости Р2 функция Р(х, у) =х' — (х — 1)'ут удовлетворяет условиям (10) и (11). Она удовлетворяет также условию (РЗ), при всех сев 1«, кроме с = 1, и тем не менее заключение следствия 1 не выполняется. Значение .с = 1 соответствует «критической точке в бесконечности» с координатами (1, оо). й 2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НАИЛУЧШЕЙ КОНСТАНТЫ СОБОЛЕВА И СЛУЧАЕВ НАРУШЕНИЯ УСЛОВИЯ (РБ)ы Решения задач (1), (2) и (3) соответствуют критическим точкам функционала Р (и) = — ) ~ уи [2+ диз — + ~ (и')и+', 2 1 с+1 1 который корректно определен на пространстве Соболева Но (в силу теоремы вложения Соболева Но ~ Е»+',отметим, что р+! = = 21»'/(Ас — 2) .) Основная трудность состоит в том, что Р не удовлетворяет условию (РЗ).
Наиболее прямой способ убедиться в этом состоит в следующем: если бы Р удовлетворял (РЗ), то можно было бы применить следствие 1 и получить, таким образом, что задачи (1), (2) и (3) всегда имеют решение — в противоречие с теоремой Похожаева. Чтобы понять механизм нарушения условия (РЗ), удобно ввести наилучшую константу Соболева (вяжность рассмотрения которой уже была продемонстрирована в [А21); положим (12) (13) Главные свойства 5 состоят в следующем: 1) 5 не зависит от области И (или многообразия М); это 2 вытекает из инвариантности отношения 1г(ф) = ~ ~ 1»ф афре+1 относительно группы растяжений й ~ф(йх); 5 зависит только от 1»'.
2) 5 никогда не достигается, если Я ~= )к». 17* Х. Врезке 3) На (чн нижняя грань (13) достигается, и экстремальные функции, с точностью до сдвигов и растяжений, имеют вид '(1+]х]') <н-змз. В частности, можно использовать функции С точностью до сдвигов все положительные решения уравнения '(14) исчерпываются функциями Ум Отметим, что если А-ч-+аа, то Ук(х)-+ 0 при х чь О, а Ух(0) — аа. Другими словами, функции Ух «концентрируются» в окрестности точки х = 0 и более точно, (Ух)Р+'-е Бр~обо и [ЧУк]' — «Бкмбо в смысле мер.
(Доказательство этих свойств можно найти, например, в [А1], [11е], [Та], [Π— )ч( — Ы] и Щ.) При помощи этих функций можно легко конструировать последовательности, нарушающие условие (РЗ). Возьмем, напри- мер и„(х) = ь (х) Уха (х — х), где х ее И вЂ” фиксированная точка (то «точка концентрации»), а Дх) = 1 в.окрестиости точки х. Легко проверить, что г" (и„) — «Б и что ]!Г'(и,)]]-ч О, где (16) Б =' (1/у) Бкм и что последовательность (и„) нг является относительно ком- пактной.
Более общим образом можно рассмотреть суперпозиции та- ких конструкций. Зафиксируем й точек концентрации хь хо, ... ..., хк в И и й скоростей концентрации Хьк, 1«,„, ..., Хк „, стремящихся к бесконечности при н-ч-аа. Положим ч а и„(х) = ио (х) + Х ~~ (х) Ухр „(х — хо), 1-1 (16) где ио — критическая точка для г". Тогда г"(и„)-эР(ио)+йХ, 1]Р'(и„)]] — »О, и последовательность (и„) не является относитель- но компактной, Замечательно, что условие (РЗ), нарушается исключительно для этих квантованных значений; Теорема 8. Условие (РЬ), выполняется для всех с, за исключе- нием значений с = а+ йХ, гдг в — критическое значение для г", а й = 1, 2, 3, ....
Более того, формула (16) дает хорошее о~и- ванне для «критических точек в бесконечности», С~Р зцо (1+хе]х[з)<н зно где С = [У(1ч'= 2)] ьче-'>, так что У1 удовлетворяют уравнению (14) ЬУк У~к н а Й". Кратачеекае точка еараационных задач Эффект отсутствия компактности впервые был подвергнут анализу в работе Сакса — Уленбек [За — 11]; в последующем он рассматривался многими авторами (см. библиографию). Более точно утверждение теоремы 8 основывается на работах Струве [811], Брезиса — Корона [Вг — С1], П. Л. Лионса [1Ло] и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
