Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Таким образом, мы должны обсудить разные подходы к понятию решения, в том числе и отличные от понимания уравнения (В) «в смысле рас- пределений». Первый нз этих подходов является классическим, н исполь- зует общие конструкции теории меры. Обозначение. Если д измерима на Р+Х РлХ Рв, то положим д№ (1, х, о) = д (1, х + о(, о). Определение 1. Пусть 1=1(т,х, о) и )»» = 1о(х, в) — две положи- тельные измеримые функции на Йь Х (ч ХИ и (ч Х(ч" соот- ветственно. Тогда 1 называется умеренным решением задачи Коши для уравнения Больцмана с начальным данным 1ь при 1= О, если для почти всех (х, о) еи РвХ Рл (2.6) Я (1, 1)" (, х, о) ен Е~1„(%+), (2,7) ~1 ~ Я 1№ (1, х, о) = 1а (х, о) + ~ (~» (1, 1)№ (з, х, в) дз. о Определение 1 является очень общим, но оно не позволяет использовать явным образом информацию об интегрируемости по (х, о), доставляемую оценками (1.6) и (1.7).
Перейдем теперь к более узкому определению. Определение 2. Пусть функция1 = 1(1, х, о) еи Ь' (Р»ьь Х (ч Х (ч ) принимает лишь положительные значения, и пусть Я (1 1) Е! (К+ХКФХК ) 1+1 Тогда 1 называется ренормированным решением уравнения Больцмана, если для каждой липшицевой функции 8: Е ь- Р, удовлетворяющей условию 'У(~О ! Р'(1)(~1+,, выполняется в смысле распределений тождество т()(1) = 8'(1)(;)(1, 1). (2.9) Отметим, что условие (2.8) является естественным (по крайней мере для О ) ввиду (1.6) и (2.2).
Следующее предложение устанавливает связь между этими двумя определениями. Предложение 2. Пусть Функция 1ен Ь~ ((ч~+„Х»ч~ ХИ~) принимает лишь положительные значения. Тогда (1) Если 1 удовлетворяет условиям (2.8) и (2.9) с ()(1) = = 1п(1+1), то 1 является умеренным решением, (2) Если 1 является умеренным решением, и ~ ~Ем,(»ч+ Х »2№ (1, 1) 1+1 Х)ч Х(",' ), то 1 является ренормированным решением. ° л л В частности, каждое ренормнрованное решение является умеренным, и 1 является ренормированным решением, если 1 удовлетворяет (2.8) и (2.9) с р(1) = 1п(1+ 1). 2.3. 'Теперь мы можем сформулировать основной результат данного сообщения: Теорема (Ди Перна — Лионс, [23] ).
Пусть 1а еи Е'((ч Х (ча), причем ~ ~ 1' (1 + ~ х ~з + ~ в (») дх дв < оо; ~ ~ 1' ! 1п 1ь ~ е(х еЬ < оо . Тогда существует ренормированное решение 1 уравнения Больцмана, удовлетворяющее условиям 1 ~ С(Р, Ь' (Р~ Х Р~), 11»-ь= =1', а также условиям (1.6) и (1.7). $3 — 7 посвящены доказательству этой теоремы. 2.4, Замечания а) Единственность решения, о котором идет речь в сформулированной выше теореме, не доказана. Ь) Мы предоставляем читателю самостоятельно убедиться в том, что метод, изложенный в $ 5 — 7, позволяет также доказать, что всякая последовательность (1 ) ренормированных П.
Жерар решений уравнения (В), удовлетворяющая условиям Г, ЕС()ч.ь, 1'()ч Х)ч~» и Ч6>О р рЦУ„(1+!х!'+!о)з+)!п~„!)д о<-, содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся в 1,' (] О, 6(Х КлХ ')чв) при любом 6 > 0 к реиормированному решению Г' уравнения (В), удовлетворяющему условиям С(К„Т.'(К' Х К'» и 1егй > 0 зцр ~ ~ Г (1 + ! х )е + ! о !'+ ! 1п Г ! ) дх сЬ < оо.
3. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ УСЕЧЕННОГО УРАВНЕНИЯ 3.1. Зафиксируем число б ) О, неотрицательную функцию д ы ееСо ((ч Х 5 '), и положим (3.1) ()(у, у)=(1+б~)й)д.) '6(у, у), где Г2 определяется формулой (0.4) с д вместо д. Предложение 3. Пусть функция Го ~ 5(йвХ (ча) принимает зна- чения в К', причем ~!и Го~ имеет полиномиальный рост '). Тогда существует единственное решение Г' задачи (В) Т'1 =О('Г, 1), !'1- =1', удовлетворяющее условиям предложения 1. Доказательство предложения 3 проводится элементарно: по- скольку ьг растет линейное), то легко показать, что последова- тельность (Г„), полученная итерациями ТГ „, = с1(Г„,Г„), 1 .ы ~с=о = )о, сходится в С()ч+, 5(~)чл Х )чв)).
Единственность до- казывается аналогично. Чтобы проверить, что ~1п Г! полино- миально растет по (х, о)я), нужно воспользоваться условием -С к !о(х,о) > — е с ('"' +)е! ); кроме того, в силу уравнения (П) 1 Т~> — "'1 ~> — С,1, )+б~(ао ') То есть рост не выше степенного. — Прим. перев. з) То есть не быстрее, — Прим. перев. Глобальные решения задачи Коши для уравнения Больцмаяа кЗЗ (3.6) поскольку Л ен Со ()ч ) с: 1, ((ч~); следовательно, )(1 Х О)> Š— С~(!к — гь! Е!и) — С1) йй ь е С, 3.2. Замечание. Применяя следствие 1 к д(х, )1, ш)= д(ъ', ш), 1+6 ~11)о мы получаем ') для ! из (лз) оценки (1.6) и (1.7). 3.3.
Итак, пусть мы находимся в условиях нашей теоремы. Ап- проксимируем д последовательностью неотрицательных функций в„ее С ((члХ5" — ') с компактными носителями и так, чтобы условия (2.2) и (2.3) выполнялись равномерно по п, и вп-ьд почти всюду. Аппраксимируем также Го по норме 1.'(РвХ (чл) последовательностью функций ~'„ее 5((чв Х (чл), удовлетворяю- щих условиям 1еп )о >)ь„ехР( — ! х(т — ! о Г), гДе Рп > О, и (3.2) ~~)о(1+(х)з+)о(з)дхдо-ь~~ ~о(1+!х!е+(о)т)дхдо, (3,3) 1 1 Го ~ ! и Г~ ! Г1х агт1 1 1 Го ! 1п 111 ! дх дг1.
Выберем также последовательность б, > О, стремящуюся к О, и построим ядра Яп по формуле (3.1) с б = б, д = д,. Из предложения 3 вытекает существование последователь- ности функций (Г„), решений задачи Коши (3.3') 11.= )" И., ~.), ~.~,,=С, и в силу замечания 3.2 (3.4) чеГ6>0 ыр зцр ~~ )„(1+!х!з+!о !т)дхдо < оо, 1 )О, Е) и (3.6) 1йй > 0 ыр зпр ~ ~ Г„! !и Г„! дх до < оо, )о. е) ыр ~ ~ ~ е„()'„)дздхдо < оо, где о (37) е (111) = (1+б ) Г с(о) Ц (Г'1-' — Г ! ) Х Х !п — ""' д„до. дш. 1п1п ') С учетом замечания на стр.
276 (так как здесь ядро д зависит также от С поскольку 1 зависит от т), — Прим. перев. 284 П, Жерар 4. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ В Е' Глобальные решения задачи Коши для уравнении Бальцмана 288 4.1. Пусть 11 — локально компактное пространство, счетное в бесконечности, с некоторой заданной положительной мерой Радона р. Напомним, что слабая топология на Е'(зе) есть топология о]Е', Е ), т.
е, топология сходимости Т„ееЕ', рассматриваемых как функционалы на Е (11), иа каждом элементе из Е (зе). Слабая сходимость последовательности Т„к 1 будет обозначаться так: )л — ' ) в Е'(11). Нерефлексивность Е' заставляет накладывать на ограниченную последовательность дополнительные требования, обеспечивающие ее слабую относительную компактность. Оии составляют содержание следующего критерия. Критерий Данфорда — Петтиса (см., например, (52] ). Пусть (Гл) — последовательность в Е'(11).
Следуюи(ие условия эквивалентньи (1) ()л) содержится в слабо компактном подл1ножестве из Е'(11). (2) Последовательность функций (Г„) ограничена в Е1(11) и равномерно интегрируема в следуюи(ем смысле: (ДП 1) чзе > О, 36 > О зе излееримого Е с: й меры < Ь зцр ~1]„]ар <е. л (ДП2) зее>О Е) компакт Кс:11 Впр ~ 1~„!й1ь<е. а',и Пример. Пусть 11 — открытая область в й~, а 14 — мера Дебета. Пусть 0 ~ С (К+, К,) и се ~ Е1 (1ч", К+) таковы, что — -ч- +ао и в(х) — — ь + аа и выполняется неравенство е++ 1х1+ о (4.1) зцр ~ [6 (] ~„! ) +] ~„1(1+ в)] е(х < + ао. л Тогда последовательность (1„) удовлетворяет условию (2) и, следовательно, содержит слабо сходящуюся подпоследовательность.
4.2. В противоположность сходимости по норме (когда переходом к подпоследовательности можно добиться сходимости почти всюду) слабая сходимость очень плохо себя ведет при нелиией- ных операциях, поскольку слабо сходящаяся последовательность может «сильно осциллироватьж Например, если функция д~Е1„(Р) периодическая с периодом 1, то последовательность функций Г„(х) = д (пх) 1рх и (к) ') 1 сходится слабо к Т ~11е ц ~ д(х)ах. Если функция г": ]ч'-ь-']ч' з непрерывна и удовлетворяет неравенству ]г'(1) ! «= С]1), то по тем же причинам 1 тел ]тмезз*1. 'Фе(]е(*)е*! ° .
~) з з в общем случае. Тем не менее справедливо Свойство полунепрерывностн снизу. Если Е; (ч — (ч выпуклая функция и если 1„1 в Е' (11), то ~ Е (Т) е(1ь < 11 ш 1п1 ~ Е (Г„) йр. л-+ л 4.3. Наконец, переход к слабому пределу в произведении, разумеется, облегчается в случае, когда один из сомножителей сходится почти всюду: если Ä— Г в Е'(Й) и если последовательность функций (дл) ограничена в Е'"(11) и д,— «д п.в., то Тлел — )д в Е' (11). Действительно, из (ДП2) вытекает, что для каждого е > О существует такой компакт К с- 11, что зцр ~ (~1,у ]+]~д])ди<е. Кроме того, из теоремы Егорова и (Д1П) вытекает, что (д„1к) равномерно сходится к д1и вне некоторого множества Е, для которого зпр ~ ] )„~ йр < и ° л 5.
ОЦЕНКИ ЯДРА СОУДАРЕНИЙ 5.1. Вернемся к исследованию решений Г„задачи (3.3'). Определим Ал, ()" (д, д) и 1~" (д, д) формулами (2.1), (2.4) и (2.5) соответственно, в которых д(к', в) заменяется на дл(к, 'к', в) = д„(у, в). 1+ б Тл ~й' ') Через 1~з ц обозначена характеристическая функция отрезка (О, 11.— Прич, перев. е7. 7Кврор Предложение 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
