Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 39
Текст из файла (страница 39)
(» А"(М) =им(1) (й) Сигнатур а (М) = пм (Л (Тм)), где Л (Тм) — спинорное расслоение на М (характеристический класс для вещественных расслоений Ь(Тм) можно определить как Л(Е)=Л(Ес)У', где Ес= Е Э С, а Л вЂ” внешняя алгебра). (ш) х(М) = п~ (Л-~ (Тм)), где Л-1= Л"'" — Л" . Этот класс нестабилен. (!ч) Из (2.3) и (3.3) мы находим, что~ для универсального эллиптического рода Ф (3.5) Л. (Е)=а(т) м Л(Е) Ц (Л «(Е ) Б «(Е )), где Л =Хг"Л, З,=11 Е, а а(т)=п(1+4«И1 — с7'). У (3.4) есть два преимущества перед (3.1).
Первое — это аналитическая конструкция пм(Е) для спинорного многообразия М, предоставляемая теоремой Атьи — Зингера об индексе: Фактически и;"(Е) — это индекс оператора Дирака, отображающего сечения Л'(Тм)Э Е в сечения Л-(Т„)Э Е. В частности, А (М) — целое число для спинорного многообразия М; более общо: Предложение (3.6). Для спинорного многообразия М универсальный эллиптический род принадлежит У (]с)]]. Еще одно преимущество (3.4) — это то, что оно показывает, что при гладком действии компактной группы Ли 6 на М значение произвольного рода будет элементом Фо(М) комплексного кольца характеров )7(6)ЭС =Ко(точка)ЭС.
Действительно, произвольное экспоненциальное преобразование в К-теории †э однозначно определенный полинам от внешних степеней, поэтому оно корректно определено и для векторных 6-расслоений ]4]. Отображение Гизина также определено на Ко (поэтому при свинаркам М индекс (лг будет виртуальным представлением 6). Теперь мы можем сформулировать эквивалентную версию теоремы (2.1).
Теорема (3,7). Любой эллиптический Род Ф характеризуется следующим свойством: если связная компактная группа 6 дей- ствует на спинорном многообразии М, то Фо(М) — постоянная Функция на 6. Замечание. Группа 6 может как действовать, так и не действовать на спинорном расслоении М. Если нет, то на нем действует двулистное накрытие 6 группы 6 и Фо(М) является постоянной функцией на 6. Но она равна нулю, поскольку оиа принимает противоположные значения на двух элементах Кег: б- 6.
Доказательство (3.7) =ь (2.1). Рассмотрим расслоение 1: М- В со спинорным слоем Р и структурной группой 6. По функторнальности отображения Гизина им = пг 13 при этом Тм =1' Та Ф Тгив, где Тмсг — касательное расслоение к слоям, значит, Ф(М) =им(Л, (Тм)) =и~~,(]'Л (Т ) ° Л,(Т, „)) = и, (Лм (Тв) ],Лф (Тм~в)). Теперь 1 Лф (Тм в) — это элемент К(В) Э С с аргументацией птЛа,(Т.)=Ф(Р). Ясно, что этот элемент совпадает с образом зквивариантного индекса Р при действии отображения гг(6)- К(В), определенного главным расслоением Мг-В. Но по (3.7) этот элемент постоянный, поэтому совпадает со своей аргументацией.
Значит, Ф(М) = Ф(Р)Ф(В). Доказательство (2.1) =:-(3.7). Достаточно доказать (3.7) в случае, когда 6 есть окружность Т. Пусть Р— спинорное многообразие с действием окружности. Нам нужно доказать, что Фт(Р)=Ф(Р), если Ф удовлетворяет (2.1). Достаточно доказать, что ф = си(Фт(Р) — Ф(Р)) обращается в нуль в О'(Р") = = С ] ]и] ]. Пусть Р,— пучок на Р' со слоем Р, ассоциированный с действием ]Г. Наша формула показывает, что несогласование б =Ф(Р,) — Ф(Р)Ф(Р") — это коэффициент при и" в фе Я рф(и)"+' По формуле Лагранжа (уже использованной при получении (3.3)) мы находим, что при х =, и/рм(и) 2ф = Е б ха/Х Ф (Рл) хл Значит, ф =О тогда и только тогда, когда все б„— нули.
Здесь мы не будем доказывать (2.1) или (3.7), но сделаем несколько замечаний. Ошанин доказал, что степенной ряд 1од,ь есть эллиптический интеграл тогда и только тогда, когда род Ф обращается в О для всех расслоений со слоем Р'"+' (отметим, что Ф(Р'"+'), так как Р'"+' кобордантно нулю). Он получил это с помощью прямого, однако искусно проведенного, вычисления. С другой стороны, Таубе рассмотрел эквивариантный 1з з .газ 194 Г. Сигал 19Б Эллиптическом когомологил универсальный эллиптический род Ф» спинорного многообразия как функцию Х ее ]Г и в = езм".
Следуя идее Виттена (к которой я еще вернусь в 3 4), он заметил, что отображение Х г. Ф (М)а продолжается до меооморфной функции на,С; удовлет о ейФ(М в ряю- ще Ф (М)а= ~ Ф (М) т. е. до эллиптической функции на торе Сл/г7. Далее он доказал, что она не имеет полюсов, по- этому постоянна. И мероморфность, и эллиптичность следуют одновременно из теоремы локанизации в эквивалентной К-тео- рии ]7], которую можно сформулировать как Предложение (3.8). Пусть М вЂ” многообразие с действием )Г, а Š— подмногообразие неподвижных точек 7.
Тогда значен е характера и, (Е) в точке г, ~']Г дается формулой и чение "1 (Е)л и ((Е~Р)лй-~(УР) ) если ), имеет бесконечный порядок. Здесь Уе — нормальное рас- слоение к Е в М, гх г = а+ — гх-, причем в правой части равен- ства элементы Кг(р) Э С отождествлены с функциями из ]Г в К(Е)Э,С. Для получения эллиптического рода возьмем Е = Л (Т ) П К Х]Л»а(Тм]5 а(Тм)) забыв о постоянном множителе а(т) (3.6). Из (3.8) мы находим Ф (М), =не(ЦЧ'(УР) ), где ~~ К(Е)З С не зависит от Х, а Ч" — экспоненциальиая операция, определенная на линейном расслоении»1 согласно (1 — » ч)(1 — 4'ч ') Теперь (У„)х равно, скажем ХХгУ,.
Значит, Ч'(Ул)к = ПЧ" (Х'Уг). Так как Чг(»1), рассматриваемая как мероморфная функция от »1 ~ С; изменяет знак при замене»1 на у»1, то мы можем утвер- ждать, что Ч" (ХгУ;), а поэтому из Ф»(М)г имеет то же свойство, если рассматривать ее как функцию от Х. 4. ОБЪЯСНЕНИЕ ВИТТЕНА: АНАЛИЗ НА ПРОСТРАНСТВЕ ПЕТЕЛЬ н в Конечно, хотелось бы понять, при каких обстоятельства у иверсальный эллиптический род мог бы возникнуть естев х ственным образом. Чтобы объяснение можно было признат удо летворительным, оно должно объяснить (1): сохранение рода В ать при наличии действия группы; (В): модулярность рода и (ш): почему род — это виртуальное представление 0111(5')').
Объяснение Виттена ]26, 27], очевидно, правильно, хоть оно и дано на языке математики двумерной конформной теории поля, которая пока построена не до конца. Без упоминания теории поля можно по меньшей мере сказать, что формально эллиптический род в это индекс естественного дифференциального оператора на 2'М.
Этот оператор коммутирует с действием окружности на 2.'М поворотами петель, так что его индекс — это виртуальное представление 7. На самом деле каждый характер '7 вида д~-ь да появляется с конечной кратностью, причем появляются только характеры с положительной энергией (т. е. с д" О). Поэтому индекс — это формальный степенной ряд Халве с аз ~ 7. Это и есть эллиптический род. Однако для того, чтобы определить нам оператор хотя бы формально, нам нужно отвлечься и рассмотреть теорию спиноров на 2'М.
Предположим, что М вЂ ориентированн риманово многообразие. Касательное пространство Т„ к ЫМ в петле и ~ Ы'М— это пространство касательных к М векторных полей вдоль т, т. е. пространство сечений у'Тм на 5'. Ковариантное дифференцирование вдоль у — кососимметричный оператор О/0» в Т, с »' дающий разложение Т» = ))РЯУЮ )(Р, где У= кег(0/ОВ) — конечномерно, а — Ж/ОВ положительно определено на Ю'. Если определить' оператор /1 в Т„как (Ю 0 Ю( — 1) в соответствии с разложением )ТгЮУЮ (Р, то Т» будет поляризовано в смысле следующего определения: Определение (4.1).
(1) Назовем поляризацией вещественного предгильбертова пространства Е класс кососимметричного оператора /; Е- Е с точностью до добавления оператора со следом, если /з+ 1 имеет след. (и) Подгруппу ортогональной группы Е, сохраняющую поляризацию, назовем ограниченной ортогональной группой 0„,(Е). Поляризация редуцирует структурную группу касательного расслоения Тем к 0„,(Е), где В=2%", а и = й(п»М. Группа 0„„(Е) имеет две связные компоненты и гомотопический тип 1пп Оз„/1/„, т. е. пространства петель !пп 50,„ (см. 12.4) в ]20]). В частности, имеет смысл вопрос об ориентируемости Тем. Соответствующее классифицирующее отображение М- ВО„,(Е)=ВТп50зп получается, очевидно, взятием функ- тора петель от классифицирующего отображения М-+-В50ел о То есть имеет целые коэффициенты при разложении по неприводнмым представлениям.
— Прим. перев, 1Зл Г. Сигал Эллиптическая когомология !97 расслоения Тм. Раз те«он Но(ВБО«„; Го) переводится трансгрессией в образующую Н'(50«„; Го), значит, Предложение (4.2). ЫМ ориентируемо тогда и только тогда, когда М спинорно. Для определения спиноров на 2'М напомним, что группа 0„,(Е) имеет проективное спинорное представление ([20], глава 12) в гильбертовом пространстве Л(Е) = Л+(Е) Ю Л вЂ (Е). Оно определено на центральном расширении 0„,(Е) с помощью 'Г, описываемом топологически образующей Но(0„„; У), двукратной трансгрессией класса Понтрягина р! ~ Но(ВБО«„! л, ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
