Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Его детерминант Ж. Оетерле Новые подходе! х етеореме Фермер нечетен, а его инварианты (У, й„ев) суть (2,2, 1) (см. п. 1, пример). Это противоречит гипотезе 6, так как пространство 5 (2, 2, 1) состоит лишь из нуля. Вышеуказанный метод применим и к другим уравнениям аналогичного типа (см. [Ве3], 4.3). ! В) Дискриминанты полустабильных эллиптических кривых Теорема 6. Примем гипотезу 6. Пусть Š— полустабильная эллиптическая кривая над полем (;).
Если число ]Аг] — тп-я степень, то тт ( Б и на кривой Е есть точка порядка т, определенная над Я. Критическим пунктом является утверждение о том, что т не может быть простым числом 1 ) 11, которое Серр выводит из гипотезы 6, применяемой к представлению, доставляемому тачками порядка 1 на кривой Е. Другие случаи разбираются в [М,О]. Теорема 6 позволяет по модулю гипотезы 6 определить список всех эллиптических кривых над Я с простым кондуктором р и дискриминантом, не равным ~р. Кроме кривых Зетцера— Ноймана, заданных уравнением ух = х' — 2их + рх (где р и!веет вид из+ 64, а знак и выбран так, чтобы и — = 1 гпой4), есть лишь пять таких кривых с кондукторами 11, 17, 17, 19 и 37.
С) Групповые. схемы типа (р, р) над Х Теорема 7. Примем гипотезу 6. Пусть р — простое число ~3. Любая конечная плоская групповая схема типа (р, р) над Х изоморфна либо Х/рХ Ю Х/рХ, либо Х/рХ Е 1тр, либо рр Е 1тр. Каждой такой групповой схеме отвечает представление р: 6о- 6Ее(рр). Для неприводимых р Серр доказал, что гомоморфизм йе1р: 6 -рР" является круговым характером, а инварианты (У,й, е,) суть (1,2, 1). Это противоречит гипотезе 6, так как пространство 5 (1, 2, 1) =[0).
Для приводимых р эта теорема была известна раньше без принятия гипотезы 6. Р) Гипотеза Таниямы — Вейля Пусть У в целое )1. Пусть [ = 2, а„д" — параболическая ! ! модулярная форма типа (У,2,1), являющаяся новой формой уровня У в смысле Аткина — Ленера [А, Е], такая, что все ее коэффициенты а. лежат в Х. Пусть вр — дифференциальная форма на модулярной кривой Хо(У), определяемая как [(д) —. дч Существуют эллиптическая кривая Е над полем Я и морфизм фс Хо(У)- Е„определенный над (,1, такие, что вр=ф'в для некоторой дифференциальной формы в на Е. Это условие ха- рактеризует эллиптическую кривую Е с точностью до ()-изоге- нии.
Кроме того: а) Е-функция Хассе — Вейля кривой Е равна 2 а„п-'. Ь) кондуктор эллиптической кривой Е (т. е. кондуктор 1-ади- ческих представлений ассоциированных с Е) равен У([Са]). Говорят, что такая эллиптическая кривая Е является кривой Вейля (слабой кривой Вейля в терминологии работы [Ма 1]), отвечающей [, Обратно, пусть Š— эллиптическая кривая над полем Я. в Пусть У вЂ” ее кондуктор и 2 а„п-' — ее Е-функция Хассе— ! ! Вейля.
Если функция ) = 2„а„д" является модулярной формой !=! типа (М, 2, 1) для подходящего целого М, то она является новой формой уровня У, и Š— кривая Вейля, отвечающая [. Действительно, существует новая форма у= ~ Ь„д" некоторого уровня М', делящего М, такая, что ар — — Ь для почти 'всех р. Тогда кривым Вейля, отвечающим д, и эллиптической кривой Е отвечают изоморфные 1-адические представления и, следова- тельно, Š— Я-изогенна этим кривым Вейля ([Ра]).
Отсюда вы- текает совпадение их функций Хассе — Вейля и кондукторов. Вышеприведенные утверждения а) и Ь) дают нам равенства д =[ и У=М'. Вейль ([%е]) доказал, что, для того чтобы эллиптическая кривая Е была кривой Вейля, необходимо и достаточно, чтобы ряды Дирихле ~., т,(п) а„п-' для всех характеров Дирихле т ! ! с кондуктором, взаимно простым с У, допускали голоморфное продолжение на всю комплексную плоскость и удовлетворяли функциональному уравнению определенного вида. Этот резуль- тат обосновывает следующую гипотезу. Гипотеза 7 (Танияма — Вейль). Все эллиптические кривые над полем ь) являются кривыми Вейля, Теорема 8. Из гипотезы 6 вытекает гипотеза Таниямы — Вейля.
Эта теорема была подсказана Серру Колышевом. Идея доказательства: пусть Š— эллиптическая кривая над полем Я. Пусть У вЂ” ее кондуктор и ~~' а„п-' ее функция Хассе— !=! Новые подходы к «теореме ФеРма гте Ж. Остерле Вейля. Нз гипотезьс 6 вытекает, что для почти всех простых ! существуют система (ар с) „, „„, „собственных значений, возникающая из пространства 5(Лс", 2, 1), и продолжение ос на поле 1.;с р-аднческого нормирования на поле О, такие, что ос(а, с — ар)) О для р, не делящих М.
Поскольку из пространства 5(Лс, 2, 1) возникает лишь конечное число систем собственных значений, наша система (а, с) „, „„„, „должна быть одной из них. Отсюда вытекает, что Š— кривая Вейля. Аналогичным способом Серр доказал следующие обобщения теоремы 8. Теорема 9. Примем гипотезу 6. Тогда любое и-мерное абелево многообразие А над полем (;с с вещественным умножением (см. [К1! [) изоморфно фактору якобиана модулярной кривой Хе(ЛС), где Л' — корень Лс-й степени из кондуктора А. Теорема 19. Примем гипотезу 6. Пусть Х вЂ” гладкое проективное алгебраическое многообразие над полем (.с. Пусть гп — нечетное целое число, такое, что комплексное пространство когомологий Ны(Хс, С) двумерно и имеет тип Ходжа (и, О)+(О, тп), Тогда 1-адические представления группы Галуа 6с в 1-адических когомологиях Ны(Х, Яс) доставляется параболической формой с весолс и + 1 и характером 1, Ш.
ТЕОРЕМА МАЗУРА — РИЕЕТ В этом параграфе мы используем обозначение 5(Лс) вместо 5 (Лс,2, 1) для векторного пространства параболических модулярных форм типа (Лс, 2, 1). Мы говорим, что представление группы Галуа поля О является модулярным представлением уровня Лс, если оно является модулярным представлением типа (Л', 2, 1) в смысле определения 1 из п. П. 2. 1. Формулировка теоремы Пусть г — поле характеристики ! ) 3, Лс' — целое число - 1 и р: 6о — «6Ье(Е) — непрерывное неприводимое представление, являющееся модулярным сгреаставлением уровня У.
Такое представление абсолютно неприводпмо, его детерминант янляется циклотомическим характером ус: 6 — «гк (П,2), и оно может быть реализовано над подполем поля Е, порожденным следами элементов группы 1спр([6,5[, лемма 6.13). Это подполе конечно, и в дальнейшем мы предполагаем, что оно совпадает с Е. Будем говорить, что представление р конечно в простом числе р, если существует конечная плоская групповая схема Н Е-векторных пространств над кольцом л,р, такое, что ограничение р — изоморфно естественному действию группы 1 оа! (йр1ср) 1 Галуа Оа!(Я /Яр) в векторном г-пространстве Н(Я ). Для 1Ф р это условие просто означает, что представление р неразветвлено в р.
Пример. Если р — представление 6о- 6Ее(Тс), доставляемое точками порядка 1 полустабильной эллиптической кривой Е, определенной над полем 1;), то оно конечно в простом числе р тогда и только тогда, когда степень, с которой р входит в разложение дискриминанта кривой Е, делится на 1. Теорема 11 (Мазур — Рибет). Пусть р — простое число, такое, что р[[Л/ (т. е. р[ЛС и р' Г ЛС), Предположим, что представление р конечно в простом числе р и что либо р Рь гпоб 1, либо Р не делит ЛС. Тогда представление р модулярно уровня Лс/р, Это утверждение было высказано в качестве гипотезы Серром [Бе 2[ даже без предположения о том, что либо р пи 1 псог), либо 1з Р Лгт Оно является шагом в направлении проблем, связанных с уровнем в гипотезе 6.
Случай р Ф 1тод! принадлежит Мазуру [Ма 3[. Оказавшийся более трудным случай, когда р = 1 капот)! и 1з Г ЛС, был разработан Рибет [К!2[. В третьем и последующих пунктах мы наметим основные идеи доказательства теоремы 11. 2. Следствия Первым следствием теоремы 11 является теорема 1: из гипотезы Таниямы — Вайля вытекает теорема Ферма. Действительно, предположим, что теорема Ферма неверна. Рассмотрим тогда представление рс, введенное при доказательстве теоремы б. Оно неприводимо и конечно во всех простых р~~ 2 (см.
п. 1, пример). Это представление доставляется точками порядка ! эллиптической полустабильной кривой Е над полем (г. Если Š— кривая Вейля, то ос — модулярное представление уровня. Л', где ЛС вЂ” кондуктор кривой Е. Поскольку кондуктор Лс свободен от квадратов, многократное применение теоремы 11 устанавливает, что рс — модулярное представление уровня 2. А это абсурдно, так как пространство 5 (2) сводится Йз гипотезы Таниямы — Вейля также вытекают варианты теоремы Ферма, рассмотренные в [Бе 3[. Теорема 11 также позволяет установить справедливость заключения теоремы 6 для кривых Вейля, ие прибегая к гипотезе 6, !З зыо еее 179 178 Ковые подходы к»теореме Ферма» мГ. Осте»хе 3.
Модулярные представления и алгебры Гекке Пусть У вЂ” целое число )1. Каждому простому числу р отвечает оператор Гекке, действующий в пространстве 5(У), обозначаемый через Т», если р Г У, и через (У», если р делит У. Если У = у. а„д" — элемент пространства 5(Л), то Т»[ = 1„ а„»д" + 1 а„д"» (р Г У), (У»У = ~, а„»д" (р ] У). Алгебра Гекке Г(У) — это подкольцо алгебры Епо((5(У)), порожденное всеми этими эндоморфизмами. Это коммутативное кольцо конечного ранга над л",. Пусть ш — максимальный идеал алгебры ]Г(У), Уг =7(У)/ш — его ноле вычетов и 1 — характеристика поля я, Используя трехдиагональность действия алгебры ]Г(У) на пространство 5(У), из теоремы Делиня, цитированной в П.1, выводится существование непрерывного полупростого представления р; 6 — ~ 61о (й ), единственного с точностью до сопряженности, не разветвленного вне 1У, такого, что в поле вычетов я Г Тгры(ргоЬ»)=Т» (29) ] 1, для р, не делящих 1У.
Для того чтобы непрерывное представление р: 6о — ~6Ео(Р), где Š— поле ненулевой характеристики, было модулярным уровня У, необходимо и достаточно существование максимального идеала ш алгебры ]Г(У), такого, что представления р и р становятся изоморфными после расширения скаляров. 4. Геометрическая реализация представления р Векторное пространство 5(У) канонически изоморфно пространству голоморфных дифференциальных форм на многообразии комплексных точек модулярной кривой Хо(У).
Операторы Гекке в пространстве 5(У) задают соответствия на кривой Хо(У), определенные над полем 1:г. Используя теперь функториальность многообразий Альбанезе и Пикара, мы получаем два действия алгебры ]Г(У) на якобиане Уо(У) кривой Хо(У). (Эти два действия совпадают для операторов Т, но не для операторов (У .) Наш выбор состоит в том, что мы рассматриваем якобиан У,(У) как многообразие Пикара Р1с'(Хо(У)), что дает нам естественный изоморфизм 5(Л) = Ногпо(Ые(Уо(У))~, 1 ), и выбираем действие алгебры Г(У) на якобиане У,(Л), согласованное с этим изоморфизмом. Ясно, что алгебра Т(У) точно действует на якобиане Уо(У). Пусть ш — максимальный идеал алгебры Г(У).
Предположим, что соответствующее представление р неприводимо и характеристика поля вычетов й по модулю ш не равна 2. Пространство (г представления р является простым й [6о]-модулем размерности 2 над полем й . Множество Уо(У)((г) [т] всех 1 1-Рациональных точек Якобиана Уо(У), аннУлиРУемых пРи умножении на все операторы из ш, является Уо [6о]-модулем конечной длины. Предложение 3. УУолупростая оболочка й [6о]-модуля Уо(Л') ((ч) [т] изоморфна )Г" для подходящего целого числа д =» 1. Если 1 не делит У, то д = 1. Это легкое обобщение предложения 14.2 работы [Ма 2], в котором разобран случай простого уровня У. Первое утверждение доказывается сравнением следов, с использованием соотношений сравнения Эйхлера — Шимуры точность действия алгебры 7(У) на якобиане Уо(У) гарантирует то,что Ы ~ О.
Второе, более тонкое утверждение основывается на изучении редукций тпод1 кривой Х,(У) и якобиана Уо(У) и существенно использует то, что алгебра Т (У) содержит' все операторы Гекке. Замечание. Даже когда 1 делит У, не известны примеры с д Ф 1. 5. Редукция по модулю р якобиаиа Уо(У) Пусть У вЂ” целое число )1 и р простое число, такое, что р]]У. Положим М =У/р. В этом разделе мы составим список результатов о редукции У=У,(У) модели Нерона якобиана г» 1о(У) по модулю р. Существенными ингредиентами при доказательстве этих свойств являются приведенное в работе [1),Ц описание слоя над р собственной плоской модели кривой Х,(У) иад кольцом 7, и теорема специализации функтора Пикара, доказанная Рейно ( [ца], [Ог] ), а) Связанная компонента единицы алгебраической группы 1 является расширением некоторого абелева многообразия А с помощью некоторого тора Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
