Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Ь) Абелево многообразие А изоморфно произведению 1 (М) к,У (М) . Если г — простое число, не делящее У, то о г о г ° элемент Т, алгебры Т(У) оставляет на месте оба множителя произведения А =У»(М) )»,'Уо(М) и действует на каждом из иих как элемент Т, алгебры Т(М). с) Для любого простого числа, не делящего Ж, группы Ф всех компонент связности над полем Г» алгебраической группы У аннулируется оператором ҄— (1+ г). !во Ж, О«терло Новые подходы х «теореме Ферма» 1вг Гал а Оа! д) Пусть Т вЂ” группа характеров над полем Г тора Т.
Г р . руппа алуа Оа! Др/С.) ) действует на группу характеров Т через свою факторгруппу Оа!( К /Г ), Элемент Фробениуса РгоЬ, действует на группу Т как оператор Гекке (Уе, и группа Т аннулируется оператором (Ур — 1. Пусть л,р — целое замыкание кольца л, в поле сг У Ж (7. Р ле р и о(Ж)(ур) — множество точек модели Нерона якобиана Уе(Ж) = Нош со значениями в Л . Согласно [Ог], $ 5.1, группа Т(К )= ош(Т Г ) поднимается естественным образом до некоторой р)= подгруппы в группе Уе(Ж) (г; ), и эта подгруппа изоморфна группе Нош(Т Г~к) как гРУппа с действием опеРатоРов из Т(Ж) и Йа!(Отвар).
Огрубляя обозначения, мы будем обозначать эту подгруппу через Т(2р). 6. Теорема Мазура: идея доказательства Мы сохраняем обозначения п. 5. Пусть вдобавок ш — максимальный идеал алгебры Т(Ж), й =1Г(Ж)/ж его поле вычетов и 1 — характеристика поля й„, р — 'соответствующее представление, отвечающее ш и )т — пространство этого представления. Если У. является Т(Ж)-модулем, то через У.(ш) обозначается множество всех элементов из У., аннулируемых всеми операторами из ш.
Лемма 1. Предположим, что Ф[т) ~0. Тогда представление приводимо. рт Действительно, согласно и. 5 с) и предложению 2, представление р„изоморфно прямой сумме 1 З !сь где !сп 6о — Кс циклотомический характер. Лемма 2. Предположим, что А (К )[ш) ~ О, Тогда представление р является модулярным уровня Ж/р. Это следует из п. 5Ь) и предложения 2. В ыберем вложение поля (~ в поле Яр, что позволяет отождествить группу Галуа 6о = Оа(Цр/Яр) с подгруппой группы Галуа 6о=Оа!(0/С). Лемма 3. Предположим, что Уе [6о)-модуль 'т' изоморфгн й [ба-подмодул ю в Т (Е~). Тогда р = ! шоб 1.
Действительно, группа Галуа 6с действует на группу Ногп(Т/жТ, !хс(Цр)) и, а 1ог1!оП на пространство )т через харак- тер еХь где !сс — циклотомический характер и е — неразветвленный характер группы 6о, такой, что ее=1 (п. 5, с1). Следовательно, характеры бе1р и у', совпадают на группе 6о .
Однако бе!р =ус (формула (29)). Итак, ть1, =1, откуда следует,. р что р = ! шоб1. Теорема 11 в предположении о том, что р Ф 1 шоб 1, вытекает. согласно п. 3 из следующего утверждения. Предложение 4.— Предположим, что 1чь2, представление р„ неприводимо, конечно в простом числе р и нг является модулярным уровня Ж/р.
Тогда Тчьш и р =— 1 пюс1 1. Мы рассмотрим лишь случай р Ф 1. Случай р = 1, технически более сложный, в принципе разбирается аналогично. Согласно предложению 3 модуль $' реализуется как й [6о]-подмодуль в группе Уе(Ж)(Я). Представление р неразветвлено в р" (оно конечно в р при р Ф 1). Это позволяет по свойству универсальности моделей Нерона рассмотреть редукцию группы т' по. модулю р. Полученный гомоморфизм )т-иУ(К ) инъективен, ибо рФ 1. Его образ лежит в группе ТЯр) по леммам 1 и 2. Поскольку гомоморфизм редукции Т (л,р) (1) — Т (Гр) (1) биективен,.
модуль )т нзоморфен й [6о]-подмодулю в группе Т(Хе). Теперь ясно, что Т Ф жТ и лемма 3 доказывает, что р — = 1 шоб 1. Следующая лемма не будет использоваться до п. 8. Лемма 4.—,Предположим, что представление р нгприводимо, что размерность факторалгебры Т/йсТ над полем Уе нг меныиг- 2, и простое 1 не делит 2Ж. Тогда р = 1 шоб 1. Согласно предложению 3, й [6о,1-модуль Уо(Ж)(()е)[вс)= =Ус(Ж)(О) [ж) изоморфен пространству )т, и, следовательно, имеет размерность 2 над полем й .
Он содержит подмодуль Т(Х ) [т) = Ноги(Т/тТ, р,,(1.)р)), который по условию доказываемой леммы имеет размерность 2 над полем й„,. Следовательно, )т=Т(Х )[ж] и применение леммы 3 завершает доказательство. Замечание. Пусть 1= 2, 1!Ж, 1з 4' Ж и р — неприводпмое представление, не являющееся модулярным представлением уровня Ж/1. Рибет доказывает, что в этих предположениях заключение леммы 3 остается в силе. То же верно и в отношении леммы 4. 162 Ж. О«терев 7. Кривые Шимуры Пусть р и д — два различных простых числа н Π— максимальный порядок в алгебре кватернионов над полем О, разветвленной лишь в р и д.
Пусть М вЂ” целое число )1, взаимно простое с рд. Этому набору данных отвечает абсолютно неприводимая гладкая проективная кривая Х над полем (), называемая кривой Шимурьк это грубая схема модулей, классифицирующая пары (А, С), где А — двумерное абелево многообразие, на которое действует кольцо О, а С вЂ” конечный моногенный подмо.дуль в А порядка Ме. Для любого простого числа г, не делящего Мрд, определено соответствие Т, на кривой Х, заданное формулой Т,(А, С) = Х (А/О, (С+ Уз)/У7), а где 17 пробегает множество всех конечных моногснных подмодулей в А порядка ге.
Для любого простого числа г, делящего М, определено соответствие (У, иа кривой Х, заданное той же формулой, в которой, однако, суммирование проводится лишь по тем 17, для которых У1() С =(0). Наконец, определена инволюция (У„ на кривой Х, заданная формулой (Ур(А, С)=(А/А(р], С + А(р]/А]р]), где р — единственный максимальный идеал кольца О, лежащий над р, и аналогично определена инволюция (Уд на кривой Х. Эндоморфнзмы якобиана У(Х) кривой Х, возникающие из этих соответствий благодаря функториальности многообразия Пикара„также будут обозначаться через Т, и (У,.
Онн называются операторами Текке и порождают коммутативное подкольцо ]Г(Х) в кольце Епд(У(Х)). Чередник (Ч) и Дринфельд (Д) описали специальный слой собственной плоской модели кривой Х над кольцом 7 . Это позволило Рибет, с помощью уже цитированной в п. 5 теоремы Рейно, изучить редукцию У(Х) по модулю д модели Нерона якобиана У(Х), и сделать явным тесные связи между редукциями У(Х)т и У (Мрд) . Вот эти результаты, которые уточняют д ~р более ранние результаты джордана н Линие (1е. 1.]).
а) связная компонента единицы алгебраической группы У(Х)т является тором. Обозначим через Тх,„группу характеров этого тора над полем Г . Ь) Пусть Тмрд,р группа характеров Гр максимального под- Новые подходы х «теореме Фермер тора якобиана У,(Мрд), Существует канонический гомоморфизм групп а Т» д Тмрд р согласованный с действиями операторов Гекке на этих группах. (Выбрав гомоморфизмы колец Π— Г, и О-+- Гд, мы можем канонически выбрать вложение а.) Отсюда вытекает, что алгебра )Г(Х) является факторалгеброй алгебры 1Г(Мрд). Это обстоятельство определяет действие алгебры ]Г(Мрд) на якобиан: У(Х). с) Утверждение Ь) может быть уточнено: пусть и, о — морфизмы вырождения из кривой Хо(Мрд) в кривую Хо(Мр), получающиеся из отображений т]-э- т и т]-+.дт полуплоскости Пуанкаре в себя.
Имеется точная последовательность где р — гомоморфизм, полученный по функториальности нз морфизма (и, о): Хо(Мрд) — р.Хо(Мр)'. Возникающее при этом действие алгебры Гекке 7(Мрд) на группу (Тмр,р)х совпадает с естественным действием алгебры Гекке 1Г(Мр) на операторах Гекке простого индекса ~д. Напротив, оператор (Уд алгебры 7 (Мрд) действует на эту группу как следующая матрица: (ЗО) (Уд = где Тд — соответствующий оператор Гекке из алгебры ,, р)..
М д) Пусть Фх, д — группа всех компонент связности над полем Г алгебраической группы У(Х), и Ч" — коядро эндоморфнзма (Уд — 1 группы (Тмр,р)' (см. п. с.). Существует Т(Мрд)-линейное отображение Чг-рФ», д, ядро и коядро которого аннулируются оператором ҄— (1+ г) для всех простых г, не делящих Мрд. Пусть ш — максимальный идеал алгебры ]Г(Мрд), кл — его поле вычетов н р„: 6 — 6Е (й„,) — соответствующее представление. Лемма 1. Если представление р не является модулярным представлением уровня Мр, то пространства Тх, д, — х, д Тх, Тмрд, р/шТмрд,р имеют одну и ту оке размерность над полем Это следует на и.
с) и из того, что согласно сделанным предположениям (Тчр р) = ш(Тмр р)'-. 484 Новые вод»оды к втворвмв Форма» 1К. О»горле Лемма 2, Предположим, что представление р неприводимо. Следующие условия эквивалентньи (!) Фх, в -т- тФх, в (В) (Тм, р) ~ т (Тмр, р) и Пв 1 Выполнение этих условий влечет модулярность представления яз с уровнем Мр. Эквивалентность условий (!) и (й) является следствием утверждения д) (доказательство аналогично доказательству леммы 1 из и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
