Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 37
Текст из файла (страница 37)
5), а соотношение (Тмр, )»Фш(Тир, )» влечет за собой модулярность представления р„ с уровнем Мр ввиду утверждения с) и предложения 2. 8. Теорема Рибет: идея доказательства Напомним формулировку теоремы Рибат (см. п. !): Пусть Š— поле характеристики 1) 3, Ж вЂ” целое число = 1, .не делящееся на !», р: 6о- 61»(Е) — непрерывное неприводимое модулярное представление уровня Ж.
Пусть р — простое число, такое, что р]]Ж и р = — 1 »под 1. Если представление р неразветвлено в р, то оно модулярно уровня М= Ж/р. Укажем различные этапы доказательства (методом от противного): а) Переходя к меньшему Ж, можно считать, что р не является модулярным представлением уровня Ж' ни для какого строго делителя Ж' числа Ж. Ь) Можно считать, что р не является модулярным представлением уровня Мд ии для какого простого числа д, 'для которого д 4' УЖ и тУ чм 1 шод 1„так как в противном случае теорема Мазура (предложение 4) позволяет сделать нужный нам вывод.
с) Представление р изоморфно (после расширения скаляров) представлению вида р„, где шв — максимальный идеал .алгебры 7(Ж) (п. 3). Поскольку. оно не является модуляриым представлением уровня М, то имеем в обозначениях п. 7 Тм,р~ ФшвТм,р (предложение 4). д) Образ представления ры содержит матрицу, сопряженную у! О'~ с [ ) (см. П. 3), и с помощью теоремы Чеботарева можно [О -!) выбрать простое число в, такое, что этим свойством обладает матрица р„(РгоЬ ). Тогда по формуле (29) (31) Т,= — Отвод ш, а=— — 1 гпос1 шв и, в частности, д — — 1 шод 1. е) С одной стороны, на группу (Тм,р)' действует алгебр~ Гекке Г(Ж), а с другой алгебра Гекке ']Г(Жд) (способом, описанным в п. 7, с). Подкольцо Ж кольца Епд((ум, ))', порожденное образами колец Т(Ж) и 1 (Жд), коммутативно и цело над. ~Г(Ж): действительно, оно порождено образом кольца ]Г(Ж) и оператором Уо из кольца T(Жд), а этот оператор согласно п.
7, с) коммутирует с кольцом 4 (Ж) и удовлетворяет уравнению целой зависимости (32) ио, — Т»Пв+ ту= О. Согласно утверждению с) идеал шв кольца. Т(Ж) принадлежит носителю 'Г(Ж)-модуля (Тм, р)'. Следовательно, он лежит в некотором максимальном идеале ш1 кольца Ж. Пусть ш — прообраз идеала ш1 в кольце ']Г(Жд). Это максимальный идеал кольца ]Г(Жд), обладающий следующими свойствами: он содержит П', — 1 (согласно (31) и (32)); он принадлежит носителю ]Г (Жд) -модуля (Тм р) в (построению); отвечающее ему представление р изоморфно и после расширения скаляров (предложение 2).
1) Пусть Х кривая Шимуры, рассмотренная в п. 7. Мы используем обозначения, введенные в п. 7. Из свойств идеала ш,. описанных в п. е, вытекает, что Ф», в М шФ», в (и. 7, лемма 2). Поскольку кольцо Т (Мрд) действует иа якобиан Х(Х) через свою факторалгебру Т (Х), зто дает нам неравенство Т (Х) Ф ~ шТ (Х), откуда вытекает, что Х (Х) (Я) (ш) Ф (О) . и) Полупростая оболочка й [6о]-модуля Х,(Ж)(Я) [т] изо» морфна 1/о, где !» — пространство представления р, а а' целое число )О: это вытекает из соотношений Эйхлера — Шимуры и доказывается аналогично предложению 3. Согласно 1), имеем й) 1. Ь) Согласно и) модуль Х,(Ж)((.)) [т] содержит й [6о]-под» модуль, изоморфный )т. Можно взять его редукцию по модулю р, поскольку представление р„ неразветвлено в р, н этот подмодуль.
редуцируется ио модулю р инъективно, так как 1чь р. Таким образом, пространство Х(Х)( К )[ш] имеет размерность )2 над полем й . !) Пусть Ф»,, группа всех геометрических компонент связ' ности алгебраической группы Х(Х) . Поскольку представление р не является модулярным уровня Мд (см. Ь), имеем Ф;„р= =тФ», р (и. 7, лемма 2 в которой р и д поменялись местами), откуда следует, что Ф»,р[т] =О, Следовательно, точки группы,. Ж. Остер»а Новые подходы к »теореме Ферма» Гбт [Ма 2] ~Ма 3~ [Па) [П] [П1 !] [П! 2] [Зе 1! Л(Х)(Р ) [ш] лежат на связной компоненте единицы алгебраической группы Л(Х)г, иначе говоря, принадлежат группе И о !и ( 7 х р / щ 7 х р $ р ) ' 1 е п е р ь и з ) с л е д у е г, ч т о и р о с ' р а н с т в о Тх,р/а!ух, имеет размерность ~2 над полем.
1) Размерность пространства Тлч,ч/аг)'лч ч над полем й не меньше 2: поскольку р не является модулярным представлением уровня Мг) (см. Ь)), это утверждение следует из леммы 1 и. 7, в которой р и г[ поменялись местами, и утверждения 1). Если 14'Л', то благодаря лемме 4 п. 6 выводится, что в —= = 1той1, что абсурдно (см. й)). Если 1]гЧ и (г 4' гЧ, то согласно а) р„не является модулярным представлением уровня Аг/1, и замечание из п.
6 приводит к требуемому противоречию. Это завершает доказательство. [Зе 3~ $5е 4~ ЛИТЕРАТУРА [А, Ц [Са] [П й) [Зг] [Т, %] [Та! [Чо] [ТЧе] [П] [д) [Ч] [П 5) [Ра) , [Р!] [Рг) [Йе 1] [Не 2] [Не 3) [Н 8] [Л Ц [Ка) [1.а] [Мз) [М] „[Ма 1] А1Ып А. О. Ь., 1.еьпег Л. Неоне орега1огв оп Гг(гл), Май. Апп. 185 (1970), 134 †!60. Сагауо! Н. Зиг !ез гергйзеп1аИопв 1-айьйиеь аввос!сев аих 1огглеь пюйи1а)гев йе, НПЬег1, Алп. Зс(. ЕХЗ 19 (1986) 409 — 468. Оепнпе Р., Паророгг М. 1.еь зсЬйшаз йе пюйц1ев йс соигЬеь е!ИрИчиез, Мойц1аг Рилснопв о( Опе Чаг)аЫе Н, Бес(цге Хо1ев !п Манн 349 (~1972), 143 — 316.
Оепбле Р., Зйгге Л. Р. Рогшез пюйц!а1гез йе ро)йь 1, Апп. Зс1. ЕХЗ 7 (1974), 507 — 530. Ранппбв О. Епйпсьйе!(вьа(ге 1йг аЬс!всЬе Чаг!е1а1еп бЬег ЕаЫ- йогрегл, 1пчел1, Май. 73 (1983), 349 — 366. Р1ехог М. Рош(в йе 1огв!оп йев соигЬез ен!91щиев зиг ип согрв йе пошЬгез Пхй (й'аргез !ез по1ез йе О. Ргеу), ргерпп1, 1987. Ргеу О. Ыпйв Ье(ччееп ь(аЫе е1Ирнс сигчев апй сег1а!и й!орьапИпе ейианопв, Апп. Опии Загагйепжв, Зег. Май.
! (1986), ! — 40. Огойепй!есй А. ЗОА 7 1, Ехрозе 1Х, Ьес1иге Хо1ев !и Ма1Ь. 288. Неиеяоиагсь Ч. Ро!п1ь й'Огйге Пп! йев соигЬез еи!р1очиев, С. П. Асай. ЗС. Раг1з 273 (1971), 540 — 543. Непебоиагсь У. СоцгЬез еП!рпйиев е1 ййиа(юп йе Регша(, ТЬеье, Веьапсоп, 1972. Непеяоиагсь Ч. Ро)п1ь й'огйге 2рг виг 1ез соигЬеь еП)рпйиез, Асга аг!йптенса 26 (!975), 253 — 263. Н1пйгу М.
Зичеппапп Л. Н. — Тье салошса! Ье!ИЫ апй лпеига! ро!п1з оп еп!рнс сигчев, ргерг!п1, 1987. Логйап В., [йчпй Гс Оп йе Хегоп пюйе! о1 ЛасоЬ!алз о1 ЗЬ1пшга Сигчеь, Соглроьшо Ма1Ь. 60 (1986), 227 — 236. Ка1г Х. р-аенс ргорегпеь о1 пюйи1аг ьсьешев апй люби!аг (оппз, Ьес(иге Хо1ез ш Май. 350 (1973), 69 — 190. Ьапб 3. Е)прпс сигчез: Елорьапбпе ала!уз!в, СггипгиеЬгеп йег шай. %!ььепьсьа((еп, Чог. 231, Зрг!пнег, 1978. Мавоп и. С.
П!орьалнпе ейиаполв очес 1ипс1юл Пе!йь, Ьопйоп Ма1Ь. Зос. 1.ес1иге Хо1еь, Чо1. 96, СашЬгыне, 1984. Маввег П. %. Оп Згр!гоз соп)ес(цге, ргерг1п1, 1986. Магиг В. СоигЬеь еП!р1гйиеь е1 зуглЬо!ез глойи!а)гев, Зеш. ВоигЬаЫ, ехроье п' 4!4, 1.ес1иге Хо1ев !и Май. 317, 1973. Магиг В. Моби!аг сигчеь апй йе Е1вепв1е1п !йеа), РиЫ. гпаЫ. йе Г!НЕЗ 47 (1977), 33 — 186. Магиг В. 1е11ге а Л. — Р Меь(ге, 16 аои1 1985. Мез1ге Л. Р. Оез1ег!е Л.
СоигЬез йе Чг'еи йе сопйис1еиг ргепиег е1 соигЬеь е!Прббиеь зцрегжпдинегез, а рагапге. Паупаий М. брас)аньанол йи 1опс1еиг йе Р1сагй, РиЫ. глай. йе Г1НЕЗ 38 (1970), 27 — 76. П!ЬепЬо!ш Р, 13 1ес1игев ол Реппа1'з !аз( йеогеш, Зрг)лбег-Чег- !ая, !979. П!Ье1 К. Оа!оы аспоп оп й!ч!з!оп ро!л1ь о1 аЬепап чапспеь тч!й геа! пшшрпсанопь, Ашег. Л.
о1 Май 98 (1976), 751 — 804. ГИЬе1 К. Ол глойшаг гергевеп1а(юпз о1 Оа1 (б/ГЛ) аг!в)пя (гош гпойи!аг 1оппз, ргерпл1, 1987. Зегге Л, Р. Ргорепе1еь на!о!в!спись йеь ро!пгз й'огйге Пп! йев соигЬез ен)р1щиеь, 1пчеп1. Ма1Ь. 15 (1972), 259 — 331 (-Оеичгев, 1. 1П, ! — 73). Зегге Л. Р. 1епге а Л. Р. Мез1ге, 13 ао01 1985.
Зегге Л. Р. Зиг !ез гергеьел1аиоль пюйи1а!геь йе йекгй 2 Оа) ((Л/Хг), Оцйе Май. Л. 54 (!987), 179 — 230. Зегге Л. Р. Ьегггеа а К. П!Ье1, 15 ачп! 1987. 5(етчаг! С. 1., Тййешап П. Оп йе Оев1ег)е — Маььег соп)ее!иге,. Мола!зьепе (йг Майешанй 102 (1986), 25! — 257. Згр!го (.. Ьа соп!есйге йе Могйеп [й'аргез Ра!Ипяв), Зеш. Воиг- ЬаЫ 1983 — 84, ехрозе л' 619, Аз1епвчие 121 — 122 (1985), 93— !03. [Имеется перевод: в сбл Алгебра н тебрия чисел. Избран- ные доклады на семинаре Бурбаки. — Мл Мир, 1987.) Талпег Л.
'йт., Чг»акьга(1 5. 5. Хегч сопбгиепсев (ог 1Ье Вегпоинг ХшпЬегь, Май. о( Согпрша1юи 48 (1987), 341 — 350. Та(е Л. А!иогийш (ог йе1еппш!пн йе 1уре о( а з!пяи!аг ПЬег !п ап еИ!рбс репси, Мойп!аг Рипспопз о1 Оле Чаг!аЫе ГЧ, 1ес1иге. Хо1ев ш Май. 476 (975), ЗЗ вЂ” 52. Чо!1а Р. П!орЬацбле Арргохлпабол апй Ча!ие 1))вгг)бибоп ТЬео- гу, 1.ес1иге Хо1ез 1п Май. 1239, 1987.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
