Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Ь) Точки р-кручения Е не разветвлены вне 2р и не слишком разветвлены в р. Это позволяет вывести теорему Ферма из очень красивой гипотезы Серра, гласящей, что в характеристике р непрерывные неприводимые двумерные представления группы Галуа Оа!(х)/()) получаются из модулярных форм пюд р, вес, характер и уровень которых можно уточнить. Эта гипотеза является аналогом «философии Ленглендеса» в характеристике р.
Кроме теоремы Ферма, из нее вытекает также гипотеза Таниямы — Вейля; она позволяет описать все конечные групповые схемы над с, типа (р, р) и т. д. с) Из теоремы Рибет [К1], частично решающей вопрос об уровне в гипотезе Серра, вытекает, что эллиптическая кривая Е не является кривой Бейля. Отсюда вытекает Теорема 1 (Рибет). — е)з гипотезьь Таниямы — Вейля (см. [11.4О] ) вытекает теорема Ферма. По-видимому, Фрей первым угадал связь между этими гипотезами.
Укажем, что гипотеза Таниямы — Вейля является специальным случаем стандартных гипотез о поведении соответствующих рядов Дирихле, отвечающих алгебраическим многообразиям, и мы располагаем многими численными свидетельствами в ее пользу. 1. ГИПОТЕЗА ШПИРО 1. Эллиптические кривые Еа,ь, е Пусть а, Ь, с — целые ненулевые взаимно простые числа, такие, что (3) а+Ь+с=0. Обозначим через Еа, ь, ° или просто через Е эллиптическую кривую над полем Я, заданную уравнением (4) у' = (х + Ь) (х — а) х. 11» Ж, Остерве 166 Иовые подходы к «теореме «лерма« Она изоморфна эллиптической кривой, заданной уравнением Уз =( — е1) (х — ез) (х — ез), где (еь еь ез) — любая тройка целых чисел, такая, что а = е, — ез, Ь = ез — е,, с = е, — ез.
В частности, кривая Ео, ь,«не меняется при циклической перестановке чисел а, Ь, с. Предположим для простоты, что (5) а=ее — 1шос14, Ь= — Опюд!6. Делая замену переменных х=4Х, у=8У+4Х, мы получаем новое уравнение для кривой Е с целыми коэффициентами (6) +Ху Х+Ь " 1Х "Ь Х 4 16 Инварианты с4, се, Л, ассоциированные с этим уравнением Вейерштрасса, имеют внд (см. (Та) ) (7) се= — (аЬ+ас+Ьс), сз= 2 (8) =Ж)' Имеем НОД (си Л) = 1. Отсюда следует, что уравнение (6) задает минимальную модель кривой Е и что эллиптическая кривая Е полустабильна (цит. соч.): она имеет хорошую редукцию в о всех простых 1, не делящих число —, и плохую редукцию аЬс 16 мультипликативного типа во всех простых 1, делящих —. Для !6 ненулевого целого числа и обозначим через гадя произведение всех простых чисел, делящих п.
Тогда кондуктор М кривой Е имеет вид )ч = габ —. аЬс 16 (9) Замечание. Когда ии одна из трех троек (а, Ь, с), (Ь,с,а), (с,а, Ь) не удовлетворяет условию (5), уравнение (4) является минимальным и кривая Е не полустабильна в двойке. 2. Гипотеза Шпиро Пусть задана эллиптическая кривая Е, определенная над полем ~.
Обозначим через Ле ее минимальный дискриминант и через тче ее кондуктор: имеем Лге = гад Ле, если Š— полустабильная эллиптическая кривая. В своем докладе в Ганновере в 1983 г. Шпиро сформулиро- вал следующую гипотезу, аналог которой он доказал для случая функционального поля. Гипотеза 1 (Шпиро, слабая форма).
Суьцествуют а ) 0 и 6 ) О, такие, что (10?) ) Ьг ! » «аЛ'аз для всех полустабильных эллиптических кривых Е над полем (ч. У этой гипотезы удивительные арифметические следствия: Предложение 1. Примем гипотезу 1 и полозкам а'= 16, апз и 6' = 6/2. Тогда (11?) ! аЬс !»» а' (гад аЬс)6 для всех троек (а, Ь, с) ненулевых взаимно простых целых чи-, сел, таких, что а+ Ь+ с = 0 и 16~ аЬс. Поменяв местами числа а, Ь, с, можно считать, что а = = — 1шоб4 и Ь = — 0 той 16. Теперь неравенство (10?), примененное к эллиптической кривой Е,,ь,„ описанной в п.
1, влечет за собой неравенство (11?). Замечание (Шпиро). В тех же предположениях имеем (12Р) зпр(~а|, ~Ь!, 1с1)»ам(габаЬс) с ив = 2ииз и р™ =6/5. Это утверждение выводится из неравенства (10?), примененного к трем эллиптическим кривым, получающимся факторизацией кривой Е, ь,, по ее подгруппам порядка 2. Эти эллиптические кривые полустабильны, имеют тот же кондуктор, что и Е,, ь,„а их минимальные дискриминанты задаются формулами А1 —— — авЬ'с, йз — — — аЬ 'с, Лз = — аЬ'с' с Ь' = Ь/16. Соотношение (11?) означает, что все три числа а, Ь, с ие могут одновременно разлагаться в произведение больших степеней 1ок ~ аЬс ~ простых чисел.
Если гипотеза 1 верна, то выражение 1 1оя (гад аьс) ограничено сверху (где а, Ь, с — всевозможные тройки чисел, удовлетворяющие условиям предложения 1). Наибольшее известное значение этого выражения равно 4,1075 ... и достигается на следующем примере (Х1ао Оапи): Зп. 54+ 7 11е ° 43= 2п 17з Следствие. Примем гипотезу 1. Тогда теорема Ферма справед- лива для достаточно больших показателей. !67 Новые водходы к »теореме Ферма» Ж, Остерле 466 Если х, у, г — целые числа, такие, что х" + у" = г", хуг ~ О и НОД (х, у, г) = 1, то числа а = х", Ь = у", с = — г" удовлетворяют условиям предложения 1 и мы имеем гадаЬс ([хуг(, что дает нам неравенство ! хуг! (а'!хуг !, что неверно при достаточно больших и.
В гипотезе 1 нельзя положить 8 = 6. Действительно, рассмотрим последовательности (а„), (Ь„), (с„), заданные формулами ае= Гб Ьо = 1 се = — 17 а„, = 4а„Ь„Ь„„= (а„— Ь„)т с„, = — (а„+ Ь„)т и положим к,=[а„Ь„с„)/(тай(а„Ь,с„))в. Для всех и О тройка (а„, Ь„, с„) удовлетворяет условиям предложения 1, Легко проверяется неравенство Х„+! ) 4Л„при п=»О. Итак, 1пп 14,= со н л»»» выходит, что нельзя брать ни ()'=3 в (11?), нн (1 =6 в (10?) (см. [М! и [8, Т] по поводу более точных результатов подобного типа). В этом смысле следующая форма гипотезы Шпиро является наиболее оптимистичной из всех возможных.
Гипотеза 2 (Шпиро, сильная форма). Для любого е ) О существует С(е) ) О, такое, что (13?) ! Ав ! ~ (С (а) Ув ' для всех полустабильных эллиптических кривых Е над полем !.). 3. Гипотеза аЬс Гипотеза аЬс родилась в споре между автором этого доклада и Массером в 1985 г. Гипотеза 3. Для любого е ) О существует С(е)) О, такое, что (14?) зпр([а[, !Ь|, !с!)(С(е) (тат(аЬс)'+' для всех троек (а, Ь с) ненулевых взаимно простых целых чисел, таких, что а+ Ь + с = О. Аналогичное утверждение, в котором показатель 1+ а заменен на — +е, вытекает из гипотезы 2. (Чтобы прийти к слу- 6 чаю 16[аЬс, можно рассуждать, как в конце п.
3; затем надо применить замечание п. 2) по крайней мере при условии 16[аЬс (п. 2, замечание). Аналог гипотезы 3 для функциональных полей известен и очень полезен при изучении диофантовых уравнений (см. [Мз! ). Вот специальный случай: Теорема 2. Пусть й — поле и Р, Я, Я вЂ” три многочлена из й[Х), не имеющие непостоянных общих делителей и такие, что Р+ Я+ Я =О, причем производная по крайней мере одного из них тождественно не равна О.
Пусть э — число различных корней многочлгна РЯЯ в алгебраическом замыкании поля я. Тогда (15) зп (бе Р,бе Я,бе Я(з. д д д ) [Р Я! [Я Р Положим Р = 1,, !. Имеем Р = ! . Р.. и из предполо— ~Я Р жений теоремы вытекает, что Р чьО. Имеем бедР ( бед Р+ + дедЯ. С другой стороны, если х~Гт — корень кратности т либо многочлена Р, либо многочлена Я, либо многочлена Я, то кратность х как корня многочлена .0 не меньше т — 1. Имеем итак дед.0 ) бедР+ 4(едЯ+ дедЯ вЂ” э. Сравнивая полученные неравенства, находим, что дедЯ: з.
Аналогично, дед р ( з и дедЯ ( э, что доказывает теорему. Покажем, что гипотеза 3 эквивалентна двум следующим гипотезам об эллиптических кривых. Гипотеза 4. Для любого е ) О существует С(а) ) О, такое, что для любой эллиптической кривой Е над полем Я верно следующее. Для ее кондуктора У и инвариантов с4 и се, отвечающих ее минимальной модели (см. [Та)), выполнено следующее неравенство: (16?) зцр(! с,)4, !св!') ~~С(е) Уве'. Гипотеза 4'.
То жг утверждение, что и в гипотезе 4, но относящееся лишь к полустабильным эллиптически44 привьем Е. (Отметим, что из гипотезы 4 вытекает гипотеза 2 даже без предположения о полустабильности Е ввиду равенства 1728 Ав = С4 — св.) Гипотеза 4-э- Гипотеза 4'. очевидно. Гипотеза 4' — »-Гипотеза 3: Примем Гипотезу 4'. Тогда при дополнительном предположении о том, что 16 делит аЬс, можно доказать неравенство (14?) аналогично тому, как доказывалось предложение 1. Более' обший случай 4[аЬс получается выбором числа Ь четным и выписыванием неравенства (14?) для тройки (4аЬ, (а — Ь)', — (а+ Ь)'). Гипотеза 3-+.Гипотеза 4 (согласно идее Хиндри): Примем Гипотезу 3.
Пусть Е, с4, се, У те же, что и в формулировке гипотезы 4, пусть А — минимальный дискриминант кривой Е. Имеем св4 — с'= 1728А. Положим й = НОД(св, с', 1728А), Оов»~е подходи к «теореме Ферма» !99 ,вг, Остерле 1бб а = све~д., Ь = се[ге, с = — 1728А!е(. Применяя (14?) к тройке (а, Ь, с), получаем (17?) знр(! се [в, ! св [~) ~~С(е) М' — ', где М= гад(1728Г»с4се/ап). Проверка по всем простым 1, осно- ванная на анализе всех возможных типов редукции кривой Егпоб 1, дает нам делимость 6сесейГ на М. Теперь из (17?) легко выводится, что и [се[' и [св',[~ мажорируются числом (С(з) (6АГ"-е)вн'-">, что доказывает гипотезу 4.
4. Теоремы Хиидри и Сильвермена [Н, 3] Гипотеза Шпиро подсказывает нам, что было бы интересно рассмотреть в качестве инварианта эллиптической кривой Е над (ч число к! е! (18) 1оп У То, что это действительно так, показывают две следующие теоремы. Теорема 3 ([Н, 8], т. 0.3). Высота Нерона — Тейта (отвечаюи1ая дивизору (О)) точек бесконечного порядка группы Е(Я) ограничена снизу константой с([1е)!од[бе[, где с([1е) = = (206е) е10-ь '-"'.
Теорема 4 ([Н,В], еп. 0.7). Число целых точек на кривой Е (в ее минимальной модели) не больше чем с е, где с — кони+«1бе станта, не зависли(ая от Е, а, т — ранг Х-модуля Е((.1). Замечания. 1) Если ре мажорируется константой, не зависящей от Е, то теоремы 3 и 4 дают положительный ответ на гипотезы Лента ([1а], с. 92 и 132). Это так, в частности, если снраведлива гипотеза абс. 2) Хиндри и Сильвермен обобщили теоремы 3 и 4 на случай, когда поле () заменено на произвольное числовое поле К. Прн 1оКЛ1к1з (ае) этом следует положить ре= ! и ' (еслн знаменатель ра1ок«кк1о(пе) вен нулю, то по соглашению ре = 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
