Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Еегау Л. — РгоЫегпе де СапсЬу 1Ч, Впп. Бос. М Ь. Р 90 (!962), р. 39 — !56. Ма!дгапяе В. — Був!ешев д!Негеппем а соеП!с!еп1в сопя1ап1в, Зеш. ВопгЬам, !962 — !963, по. 246, Веп)апйп (!966). Ма!Вгапбе В. — йешагцпев впг !ев ециа11опв дГПегеппепез й ро!пй з1пкпИегв !ггбкпИегв, Зрг!пкег.Чег!ак 1.ес1. Ыо1ев Май,, ' 7!2 (!979), р. 77 — 86. Ма! ап ц.— Вт де ц. — Ьа с!авыпсапоп дев соппех1опз !ггекппегев а опе чаг!аЫе, 1п Бепцпа!гея Е. Ы. Б. !979 — 1982, Ргокгевв !п Ма1- Ьешансв, В!г11Ьапзег (!983).
Ма!Кгапие В. — Зув1е1пез Ьо!опошев й ппе чапаЫе, Г ргьрага1!оп. па е, Иге еп МеЬЬЬоп1 Е. — ()пе ебп!ча!епсе де са1епог!ев е1 ппе ап1ге еоп1- ча!енсе де са!еког!ев, Сошроз. Май., 51 — ! (!984), р. 55 — 68. МеЬЬЬош Х.— 11чге впг !ев 7)-шодп!ев а рагцпе. Паламодов В. П,— Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, Мл Наука, 1967. РЬаш Р.— Тгапз!огшеез де !.ар1асе дев ппсгозо!цбопз де я в- 1ешев Ьо1опогпев, 1'Епзе!Кпешеп( шай., 30 (1984), .
57 — 84. РЬапт К— . — йевпгбепсе, Чпаппаед салоп!са! 1гапв!оппапопв апд шоИЫпыап1оп ехрапв!опв, ргерг1п1 (1987). )!аш!в Л-Р., З1Ьпуа Т. — Нпкпйага дошайв апд (цпдашеп1а! ехндепсе апд ппщпепевв 1Ьеогешз 1ог авушр(опс во!Ш!опв о1 бечгеу 1уре а рагаИге. шнег За1о М., Кача! Т., КавЬпиага М.— Нурег!ппспопв апд р дзен о- (!973), р. 265 †5. еппа! ецпанопв, Брг!пкег-Чег!аб Еес1. Ыо!ез дп Май., 287 гапее1М. ', ' ' ' ' ' ' юй, ЗаЬЬаЬ 3.— 0-шодп!ев е1 сус!ев ечапезсепы (д'а гдв В. М !- Казы» ага), беоше1бе а!КеЬгйпе е1 арр!!сабопз, Тгачапх еп сопгв, 24, Негшапп (!987), р. 53 — 98.
ЗсьпеЫегв Л-Р. — Ппапм ропг !ез п1одп!ев гИПегеппе!з, Т! ' ()п!чегвце де !Зека (!986 — 87). В ! ЕГЕП 1Е З, 1ЕВЕ. НОВЫЙ ИНВАРИАНТ ДЛЯ ТРЕХМЕРНЫХ ГОМОЛОГИЧЕСКИХ СФЕР ПО А. КАССОНУ Трехмерное многообразие Н, имеющее гомологнн сферы 5', ограничивает четырехмерное многообразие ))7, форма пересечений которого уннмодулярна н четна (см. [Н вЂ” ]ч] — К], $ 7). Следовательно, снгнатура многообразия В' делится на 8 ([Зе), с. 9! русского перевода) н по теореме Рохлина ([тх!]) редукция по модулю 2 числа зависит лишь от Н; получена)дп (йг) 8 ный вычет по модулю 2 называется инвариантом Рохлина р(Н) гомологинеской сферы Н. Особое значение инвариант Рохлина гомологических сфер приобрел после появления работ Кербн н Знбенманна по так называемой основной проблеме комбннаторной топологии (хауптфермутунг).
В самом деле, если бы принципы расщепления, полученные с помощью теории ручек в размерностях выше 5, выполнялись н в размерностях 5 н 4, мы получили бы гомотопнческую сферу размерности 3 с ненулевым ннварнантом Рохлина ([5! Ц, теорема О, с. 59). А в силу результатов Знбенманна ([5! 2]) такой контрпрнмер к гипотезе Пуанкаре позволил бы трнангулнровать (как сымали!)иальный комплекс) те орнентнруемые пятнмерные многообразия, которые нетрнангулнруемы как РТ.-.многообразия.
В действительности, Знбенманн довольствовался произвольной гомологнческой сферой с ненулевым ннвариантом Рохлина, двойная надстройка которой гомеоморфна стандартной сфере 5в. Наличие такой сферы установил Эдвардс, решив проблему о двойной надстройке (см. [Е]). Следовательно, любые орнентнруемые пятнмерные многообразия трнангулнруемы.
В более высоких размерностях (нлн в неорнентнруемом случае) «трнангулнруемость нетрнангулнруемых многообразий» эквивалентна существованию такой гомологнческой сферы Н размерности 3 с ненулевым ннварнантом Рохлина, что ее связный модуль Н ч[Ь Н ограничивает ацнклнческое многообразие ([Π— 5] нлн [Ма)). Если гомологнческая сфера Н обладает днффеоморфнзмом, обращающнм ориентацию, то Н Ф Н ж — НФ вЂ” Н ограничивает ацнклнческое многообразие (Н'— Маг!п А!ех!з.
Пп панче! !пчаг1ап( ропг !ез зрьбгев д'Ьошо!об!е де дппепв!оп 1101з. Зепппа!ге ВошЬам, !987 — 88, № 693, Ав1ебвбпе 1б! — 162, !988, р. 15! — 164. 1О Зяк. 4Ш 14б А. Марен 1. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ !Оч — 17г) Х 1. Это привело Кассона н 1976 году к следующему вопросу (проблема 3.43 из статьи [К!)): всегда ли инвариант Рохлина такой «амбидекстральной»') сферы равен нулюР В 1985 г. Кассон дал ответ на этот вопрос, сопоставив любой ориентированной гомологической сфере целое число Х(Н), изменяющее знак вместе с ориентацией Н и обладающее тем свойством, что редукция Х(Н) по модулю 2 равна р(Н). В то же время этот инвариант недостаточен для полного решения проблемы триангуляции (см.!.3 и 1.4). Инвариант Х(Н) вычисляется как число классов сопряженных представлений фундаментальной группы и! (Н) в 5(7(2) (см.
$ 2 и 3). Интерпретируя эти классы как плоские связности с точностью до калибровочной эквивалентности, Таубс анонсировал в !986 г. ([Т[) новое определение ииварианта Кассона. А именно, кривизна определяет сечение кокасательного расслоения к бесконечномерному многообразию М связностей в Н;х', 5(7(2), рассматриваемых с точностью до калибровочных преобразований (см. $ 7). Таубе вычислил классы плоских расслоений, определив подходящий класс Эйлера. В 1987 г. Флоер построил такие восемь групп гомологий НР;(М) (О ~ ! - 7), что альтернированная сумма их рангов равна 2Х. В этом сообщении мы опишем конструкцию Кассона 1985 года и попытаемся дать в $ 7 представление о гомологиях Флоера, основываясь на материалах недавнего обзора Браама ([В[).
Надеемся, что нам удастся убедить специалистов посвятить доклад этой теории, основы которой в размерности четыре еще только начинают закладываться [А[. Мы благодарим всех, кто помог нам вступить в эту малоосвещенную область (см. тем не менее [А11 — М. С[ и [В[): Акбулута и Эдвардса за предоставленные лекции Кассона, Буало— за лекции Браама, а также Гийу, внесшего вклад в то, чтобы эти заметки стали более понятными. Всюду в этом сообщении й-сфера Н вЂ” это ориентированная трехмерная гомологическая сфера; символом — Н обозначается та же й-сфера Н, но снабженная противоположной ориентацией. Обозначим через У' множество классов ориентированного диффеоморфизма й-сфер через Лд(!)-полипом Александера узла К в й-сфере Н, нормализованный условиями Лд(1-')=Лх(1) и Лк(1) = 1 (см. приложение) и через К, (или точнее через (Н, д,)) й-сферу, которая получается хирургией дена с коэф') Аибидекстрия — врожденная способность одинаково пользоваться правой и левой рукой.
— ПРим, перев. новый инваРиант Влх тРехмеРных гомологических с Р е 147 фициентом 1/и по узлу К (в частности,о —— „=Н, см. [Щ, с. 257 — 264). 1.!. Теорема. Существует отображение )г — х„обладающее следующими свойствами; !Нт в 5Н,2) !) й(Н)=0, если все представления группы л, в ) тривиальны. й) Инвариант Рохлина й-сферы Н является р у ц с ед к ией по модулю 2 целого числа А(Н). !!!) Х( — Н)= — А(Н). !У) Х(Н! ФН,) = Х(Н!)+ Х(Не).
ч) )ч('чн+!) 8('чи) 2 Лх (1) 1.2. к.ледствие. и .. С . И вариант Рохлина гомотопической сфереа и,ги амбидекстральной сферы равен нулю. П 1.3. Замечание. Инвариант Кассона Х не является инвариантом гомологического кобордизма. В сам д, у ом еле, п сть — узел в -4 и обладающий тем свой- ограничивающий гладкий диск в ством, что Л, т н м(1) чь 0 (например, узел портового грузчика, см.
[Щ, с. 225). След хирургии с коэффициентом 1 по узлу ст ю в точк, можно получить гомо- держит сферу, стягивая которую в у, оеж 5а(=Ко) и Кь В то же врем, логическии кобордизм между,— о но ), инва ианты Кассона этих двух -сч ер го, что Н4Ь Н ограничивает ацикличное многооб азие, нельзя заключить, что число ',Н',=О): в общем случае инвариант Кассона емости нетриангуне позволяет решить проблему «триангулируе лируемых многоо разий». д б " . О пако имеет место такое утверждение: 1.4. Следствие. Топологическое четь р р ! ехме ное многообразие К д форма пересечений которого четна и сигнат а не елится на ур 16, является нетриангулируемым. В самом деле, в противном случа у ае с мма линков вершин да- Рохчес ю сферу с ненулевым инвариантом Вала бы гомотопическую лина.
Напомним, что, согласно Фридману, такие ми действительно существуют ( [8! 3[). . П 2 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ Г е Зз = ЗП!2) ди г ппы 5г единичных кваОбозначим через !г алгебру и Ру „ной груптернионов. Пространство )х(Г) пр д .. Обозная е ставлений днскретн и подоспей п остой сходимости абжаетси топол Р Р тГч образованное чим через Я(Г) открытое подмножество в 148 А. Морен Новый инвариант для трехмерных гомологических сфер 149 неприводимыми представлениями, и положим Я(Г) = Н(Г)— — й(Г). Группа 5г действует справа (сопряжениями) на пространстве Н(Г). Это действие факторизуется до эффективного действия группы 5г/(~1) = 50(3), свободного на пространстве й(Г); таким образом, мы получаем главное расслоение ги Н(Г) — «Й(Г). 2.1.
Лемма. Пусть Т.— свободная группа ранга й. Тогда пространство Н(ь) гомеоморфно произведению (5г)г и наделяется структурой С -многообразия таким образом, что касательное пространство к )ч|(Т.) в тривиальном представлении естественно ' отождествляется с Н'(Т., 1;|). Пусть Х вЂ” фундаментальный класс группы 5г=Н(7). Сопоставим с каждым гомоморфизмом а: Г-«7(а ее Н'(Г; л',)) элемент чр(а) =)ч|(а) „(Х) из НгЯ(Г); У). Из теорем Гуревича, Кюннета и формулы универсальных коэффициентов нетрудно вывести следующее утверждение. 2.2. Лемма.
В категории свободных групп конечного типа имеет место естественный изоморфизм Нг'(1т( ) У) Л'Н ( л,) П Ф ундаментальная группа Гв ориентируемой поверхности рода у представляет собой факторгруппу свободной группы Т. с образующими а|, Ь|, ..., ае, Ьв по нормальной подгруппе, 2$' порожденной элементом б =(аь Ь|) ... (ав, Ье). Канонической проекции ьти -Ге соответствует включение Н (Г ) )ч| (Т-тв), образ которого в Н(рте) имеет вид д-'(1), где д: )ч|(Тте)-«5г задается формулой д(р) = р(б). Вычисляя касательное отображение для коммутаторного отображения (х, у) ~(х, у), мы находим, что множество особых точек д — это Я(Т., ). Следовательно, имеет место такое утверждение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
