Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Мал»оранж Теперь, используя формулы Зо!УМ=сг.' Яо((),йГ) и УМ= =)(Р(Е'), получаем окончательно изоморфизм (2.6) 0 = г'Ф [~]. Помимо этого, действие $, (соответственно д1 ) на су „и пе1ы реходит при этом изоморфизме в действие д„, (соответственно хе) иа !узап ° При ограничении с бэ на Ф этот изоморфизм переходит <о в морфизм «следа», который называется также «морфизмом ин- тегрирования по слоям» =~'.1',Р-~ 4'„~ ~Уз, [- и].
[Заметим, что «Тг» определяется лишь по модулю выбора с!хан Х"Е', ясно, что если все нужно записывать канонически, как это следует делать в ситуации с векторным расслоением, эта проблема исчезает.) Предыдущее утверждение является сравнительно тонким. Оно доказывается с использованием факта, согласно которому стрелка, задающая коммутирование прямого образа с Зо!, оп- ределяется с помощью интегрирования по слоям (относительно этого замечания см. [Зс] или [Ме — 2]). Подобные утвержде- ния придают точный смысл идее о том, что «прямойобраз Ж-мо- дулей является аналогом интегрирования по слоям», к сожале- нию, в литературе по этому поводу почти ничего не говорится.
Все, что нам потребуется в дальнейшем, содержится в фор- муле (2.6) и утверждениях, которые из нее вытекают. Для того чтобы перейти от гм(Е) к произвольному модулю М, нужно применить функтор ЯЖоспа1п1 (М, ). Для вычисления этого функтора можно использовать либо свободную резольвенту М, либо плоскую резольвенту Е' модуля 0М, представляя рассмат- риваемый функтор в виде Е 8 ", в случае векторных расслое- 1Р 1Е) ний, когда у нас, вообще говоря, нет свободных резольвент, нужно использовать второй способ. Таким образом, из (2.6) по- лучаем, что (2.7) Бо1У М = г'ЯМечп, (М, Ф) [2п], и нам нужно найти зависимость правой части этой формулы от Яо! М и от условий роста на бесконечности.
Замечание (2.8). Можно было бы начинать не с Е„а с Рь Это привело бы к необходимости искать решения у,йс' (естественно, в случае (1.3) мы получили бы тот же результат). При этом вместо ГЛ117 нужно было бы рассматривать «умеренный прямой образ» /1,1О т. е, пучок мероморфных функций с полюсами на е",ХЕ'; это привело бы к замене,о»» на пучок л<" с умеренным ростом на бесконечности и к замене Ф на (й,р 0 .,Эе ')» . Немедленно проверяется, что этот пучок совпадает с Ф, как и должно быть: оба условия роста, будучи примененными к функции от (х, $) вида ](х)е-"1, эквивалентны экспоненциальному убыванию. Замечание (2.9).
Формула (2.6) и дополнения к ней могут быть доказаны различными способами; принятый здесь способ не является ни самым простым, нн самым элементарным (замечательная тема для любителей абстрактных рассуждений, которую я им дарю бесплатно). Использование относительной резольвенты Дольбо (т. е. такой резольвенты, в которую входят тельно д;,.' показывает, что формула (2,6) и дополнения к ней могут интерпретироваться следующим образом. Каждый элемент Ь = — сГ„„п, для 9 близких к а могкет быть записан в виде Ь(ь): —: ~ Г(х)е'4асх Л с1х, где Г(х)е-кген У(Е); более того, это представление единственно по модулю х., д й, где функции ое удовлетворяют тем же ограничениям на рост, что и Г (другие группы д„-когомологий, построенных с помощью таких же функций„равны О). Наконец, в этом утверждении можно заменить У(Е) на У'(Е): это приводит к замене (2.6) на (2.7), так что в итоге получаем тот же результат.
Сформулированные утверждения могут быть доказаны вполне элементарнымн средствами, см. [Ма — 4]. Еще более интересно отметить, что все они являются в действительности частными случаями «фундаментального принципа Эренпрайса», ср., например, [Но — 2], теорема 15.1.5. Утверждения такого типа, до- . пускающие доказательство с помощью с(о-когомологий с условиями роста на бесконечности и топологической двойственности, играют важную роль в теории дифференциальных' уравнений с частными производными с постоянными коэффициентами, см. [ЕЦ, [Но — !], [Ма — 1], [Ра].
В нашей ситуации такого рода методы могут быть использованы в случаях, когда нам будут нужны варианты (2.6) с условиями роста на бесконечности на Е', см. 9 4. 3. ОДНОРОДНЫЙ СЛУЧАЙ Идея здесь состоит в следующем: для вычисления Зо!У М в точке агн Е' следует рассматривать в бесконечности лишь те «решення» М, которые, будучи умноженными на е-"', экспоненциально убывают. Таким образом, если все решения М слабо Б.
Мальзриииг Геометрическое преобризовиеие Фурье убывают и слабо возрастают, это условие имеет тиц «все или ничего»: все и точках хан 5, в которых зсеха ) О, ничего в точках, в которых гсе ха ( О. Я знаю, как придать предыдущим утверждениям точный смысл только в случае и= 1; для рассмотрения общей ситуации нужно было бы иметь в своем распоряжении теорию фильтрованных производных категорий, существенно более сложную, чем та, которую можно найти к настоящему моменту в литературе').
Тем не менее мы приходим к следующей ситуации. В обозначениях $ 2 определим в ВХ Е' подмножество (Кех$ ( ( О) как замыкание соответствующего подмножества в Е ХЕ' и обозначим через [эгей ) 0) его дополнение. Положим, кроме того, Ьч- = Ех', Е'()(цехй ) 0) и определим аналогично С вЂ”; оба этих множества открыты в В ХЕ'. Пусть С + — постоянный пучок С на С+, продолженный нулем на В р', Е'. Для каждого пучка С-модулей 6 на Е или, в более общей ситуации, для каждого объекта Вз(Е, С) [ограниченные комплексы из таких пучков] положим У е6= т'[И„р'6ЭС,+) [п).
(3.1) Заменяя Е+ на Г.-, определим аналогично,9=6. Пусть Л= ~ хгд„,— эйлерово векторное поле на Е. Определение (3.2). Левый ))т(Е)-модуль конечного типа М называется монодромическим, если любой элемент тен М удовлетворяет уравнению Ь(Л)т = О, где Ь ни ч,' [Т), Ь Ф О. Теорема (3.3). Если М вЂ” монодромический модуль, то имеется изоморфизм Бо!У М =У+ Зо! М. Приводимое ниже доказательство обобщается на случай расслоений и ограниченных комплексов с монодромическими когомологиями. См. [ — М вЂ” Ч), где имеется другое доказательство, использующее чуть менее ограничительные предположения, см. также [Н вЂ” К]. Для упрощения обозначения положим СУе,„=О.
Мы имеем два отображения (Ь ргу~ре-в)< «(ь р тчэе а)<о~рО й ~6ЭО о Такая теория с необходимостью должна включать тололовическую векториую двойственность, играющую здесь важную роль. Получающнйся в результате груз существенно тяжелее, чем все, что существует в литературе. Ясно поэтому, что разрабатывать такую теорию разумно лишь в случае, когда ясно видны какие-либо важные будущие приложения.
Мне не кажется, что ситуация здесь именно такова. Нужно доказать, то после применения Р,Ж щв>(М, ) стрелки становятся квазиизоморфизмами. Беря резольвенту М модулями вида 1)т(Е)/Ь(Л), можно свести доказательство к случаю, когда сам модуль М имеет такой вид. Далее все сводится к случаю, когда Ь(Л) = Л вЂ” а, а ен С. Предположим для определенности, что мы находимся в точке (ооРч,, 0) я5.
Заменой переменных у~ = х„у; = х,./х1 (1) 2) получаем Л = у,д„. Для з ) 0 обозначим через Е, подмножество (]у1]) 1/е, ]агру,] ( е, )йч] <, е, 1- 2). Пусть Е— пространство функций, каждая из которых голоморфна на одном из множеств Хз, и Š— ~ Š— подпространство функций, которые экспоненциально убывают на бесконечности. Утверждение, которое необходимо доказать, состоит в следующем. Пусть а=(аь ..., а )яЕ'. Если Деа, <О, то комплекс — х-в [ечуЕ- е'щ'Е] ацикличен; если Кеа,;.
О, то этот комплекс х-а квазиизоморфен [Š— Е] (в каждом из этих комплексов первый член имеет степень О, а второй — степень 1). Предлагаем читателю самому завершить доказательство. Вопрос. Мне кажется вероятным, что аналогичный результат верен в ситуации, когда на бесконечности элементы М обладают Ь-функцией с «условиями на степень функционального уравнения», аналогичными рассмотренным в [К вЂ” К вЂ” 2, теорема 7.2].
Трудный результат из [К вЂ” К.— 1] утверждает, что отсюда следует справедливость нашего утверждения для произвольного голономного регулярного М. Наконец, результат должен быть верен при существенно более общих условиях (в размерности 1 хорошее условие состоит п том, что все решения обладают субэкспоненциальным убыванием в бесконечности, т. е. что все наклоны многоугольника Ньютона М в бесконечности не превосходят 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
