Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Май. 1НЕЗ, 1987, 65, 131 — 210. Иаупаид М.— СЬагас1ег!в1тйисв б'Еи!ег — Ро1псаг4 д'ип !ааюеаи е1 соьошо!ок!е без тапыев аЬепеппев (д'аргев 088 — ЗЬа!агетпсЬ е1 бго!Ьепб!есй), Зеш1пв!ге ВоигЬам 1964 — 1965, по. 286. Зегге Л-Р.— Зиг 1а га1!опа!Ие без гергшеп(а1юпв 6'Аг(!п, Апп. Ма1Ь., 1960, 72, 406 — 420. Зегге 3.-Р. — Согрв 1осаих, Неппапп„Раг1з, 1968. Зегге Д-Р., Та1е Л вЂ” бооб Ьебис1юп о1 аЬепап тат!енев, Апп. Май., !968, 88, 492 — 5!7. бгойепгнес1г Ах е1 а1.
— Зепипа1ге бе беоше1пе А!неЬг19ие би Во!в-Мапе, ЗбА 1; ЗбА 4, Раг(з 1, П, Ш; ЗОА 4'1»; ЗОА 5ь ЗОА 7, Раг1з 1, П, 1.есг, Ыо1ез Май., 1971 — 1977, та 224, 269— 270 — 395, 569, 589, 288 — 340. Та1е Д вЂ” Роиг)ег апа!ув!в !п пшпЬег !!е!Ив апб Нес)ге'в ге(а !ипс- 1юпз, Рг(псе1оп Пптаегм!у йез(в, 1950, герт(п1ед !п «А1деЬгай ЫшпЬег ТЬеогу» (ед. д тт'. Я. Савве1в, А. РгоЫ1сЬ), Асаньею!с Ргевз, 1967, 305 — 341. Та1е 3.— 1.оса! сопз1ап1з, (п «Ргос. ОигЬаш Зушр. оп А18еЬга!с ЫшпЬег ТЬеогу» (ей А. РгбЫ!сЬ), Асаньею!с Ргезв, 1977, 89 — 131. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Б. Мапьгранж В общих чертах задача состоит в следующем.
Рассмотрим систему (5) линейных дифференциальных уравнений в частных производных в пространстве С.ь, коэффициенты которых яв.ляются многочленами от х=(хь ..., х,). Рассмотрим вместе с этой системой систему (гэ 3), получающуюся из (5) замед нами Вг=д.р хг=д»г (мы обозначаем д„,= — ). Вопрос состоит в том, как связаны между собой голоморфные решения (8) н голоморфные решения (У 5), и можно ли получить одни из других с помощью подходящего интегрального преобразования. Кроме того, аналогичный вопрос можно задать на уровне пучков: существует ли преобразование, позволяющее переходить от пучков решений (5) к пучкам решений (УБ)г Такое преобразование заслуживало бы названия «геометрическое преобразование Фурье», отсюда название статьи.
В литературе по дифференциальным уравнениям традиционно считается, что первым такого' рода вопросы рассматривал Лаплас, разрабатывая свой метод интегрирования уравнений с линейными аффинными коэффициентами (см., например, ы !!и)). А именно, пусть Р= ~, (а»х+Ь )д» вЂ” оператор такого о вида. Будем искать решения уравнения Р! =О в виде ! (х)= = ~ Е(6) е'»с(5. Дифференцнруяпод знаком интеграла и интегрит руя по частям, получаем, что достаточно выбрать функцию»г удовлетворяющей уравнению Рй = О, где Р = 2, ( — а»д + + Ь») $». Поскольку Р— оператор первого порядка, соответствующие решения получаются обычным интегрированием. Ма!ягапяе Вегпагб.
Тгапа!оппа1»оп де Ропг!ег Кеогпе1г!Чпе. — 8»гп. Вопг- Ьайб 1987 — 88, № 692, Азт»г!аяпе 161 — !62 1988, р. 133 — 150. © перевод па руский язык, С. И. Гельфавд, 1990 Геометрическое преобразование Фурье Остается выбрать подходящий путь интегрирования т; можно показать, что «в общем случае» так получаются все решения Р. Этот результат доставляет большое число интегральных представлений различных специальных функций (например, функций Бесселя, коифлюэнтных гипергеометрических функций и т. д.), за точными формулами я отсылаю читателя к соответствующим работам.
Как часто бывает, трудности возникают при попытке перейти от «в общем случае» к «всегдам Они бывают двух сортов. 1) Вопросы, связанные с ростом на бесконечности. Эти вопросы сильно упрощаются, если предположить, что все решения (Р или Р, что эквивалентно) имеют не более чем экспоненциальный рост. Если эффективный порядок Р равен т, то для этого нужно предположить, что либо а ~0, либо а ... =а,= 0; таким образом, во втором случае уравнение имеет постоянные коэффициенты. й) Вопросы, связанные с особыми точками. Пример дается уравнениями с постоянными коэффициентами, к которым метод Лапласа на первый взгляд неприменим: если Р= 2„Ь»д», то Р= ~ Ь 6» и Рй= 0 дает »г = О.
В действительности уже Коши знал, как здесь надо поступать: полагая уф= —, Ой) = Р (В) Яен( [Ц, и беря в качестве Т окружность, содержащую нули Р, получаем, что Г(х) = ~ д($) е"»йэ является решением, поскольку Р1 = ~ !1($)е »с!3=0. Беря в качестве !г элемеггты бат зиса .О (8)/(Р), получаем все решения рассматриваемого уравнения. На современном языке, обозначая через «У пучок ростков голоморфных функций на 1;, можно сказать, что мы исследуем р хоядра оператора бг — 1У, имеющего нулевое ядро. Для того чтобы исследовать вопрос систематически, нужно рассматривать сам комплекс как объект производной категории. Этим объясняется, почему до недавнего времени прогресс в рассматриваемом вопросе был весьма ограничен. Прежде всего следует упомянуть, что Пуанкаре обобщил работы Лапласа на уравнения с полиномиальными коэффициентами (без особого прогресса в направлении указанных выше трудностей), Далее последовали работы Биркгофа (В!).
Он показал, как можно в принципе исследовать иррегулярные особые точки линейных дифференциальных уравнений с помощью последовательных ветвлений и преобразований Фурье. Недостатком его работы является систематическое использование неверной 12Е Б. Ма»скранж Геометрическое ареобраеоеаиие фурье !27 теоремы, называемой «теоремой о стандартных канонических формах»„но основная идея правильна и все можно исправить. Следует упомянуть также работы Лере [(.е] по обобщению преобразования Лапласа на случай нескольких переменных. В действительности Лере рассматривал скорее преобразование Радона, а не преобразование Фурье — Лапласа, связь между его теорией и тем, что будет изложено ниже, мне не ясна и заслуживает дальнейшего исследования.
1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ Пусть Š— и-мерное векторное пространство над С и Е'— двойственное пространство. Обозначим через %(Е) алгебру Вейля Е, т. е. кольцо дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами на Е. Имеется изоморфизм У: ь7 (Е)— — 'йт(Е'), который определяется следующим образом: если хь ..., х,— координаты относительно некоторого базиса в Е в Б1, ..., Б„— двойственные координаты на Е', то У х1 = — д, м* У д„= Б, — построенный изоморфизм не зависит от выбора базиса.
Через У обозначается обратный изоморфизм, он совпадает с У с точностью до отражения относительно начала координат. Пусть М вЂ” В'(Е)-модуль конечного типа, скажем левый. Изоморфизм У превращает его в,йт(Е')-модуль, который будет обозначаться У М. Приведем интерпретацию У, принадлежащую Делнню Катцу — Ломону ' [Ка — 1а]. Обозначим через р и р' две проекции ЕХЕ' и через о — каноническую билинейную форму на ЕХЕ'. Обозначим также через иЕ (алгебраический) пучок Же- модулей, отвечающий М.
Имитируя обычную формулу У"Г (Б) = ~ 1(х) "~с(х, рассмотрим следующий функтор: У. я'=р'(р'зЕЭе-')[и]. Здесь р' и р' обозначают соответственно прямой и обратЯый образ алгебраических 1й>-модулей, за их определением я отсылаю читателя к книге [Во], обозначениям которой я следукь во всех случаях, когда не оговорено обратное. Предложение (1.1.) (Катц — Ломон). Имеется (функториальный по М) изоморфизм У,Я ж У М.
' Для доказательства можно работать с глобальными сечениями, которые будут обозначаться соответствующими курсив- ными буквами. Выберем двойственные друг другу координаты х †(х1, ..., х,) на Е и Б †($ь ..., $,) на Е и обозначим чЕ- рез хБ скалярное произведение. !) Имеем р М=МЭС[Б][п], где хо д,, (соответственно Бп д1,) действуют на М (соответственно на О [Б]) обычным образом. П) Как линейное пространство, р'М Э е-'[п] совпадает с р"М[п]; действие х~ и действие Б; остаются неизменными, наконец, полагаем д„(т Э е-") = (д„— Б,) т Э е-', д1,(тЭе о)=(д — х,)тЭе '. ш) р„есть относительный комплекс де Рама (т. е.
комплекс относительно переменных х;), сдвинутый на и членов вправо. Наконец, У,М есть комплекс Кошуля К(дки МЭО[Б] Э 9 е о), или, другими словами, комплекс Кошуля К(д„, — Бо МЭС[Б]). Легко проверить, что когомологии этого последнего комплекса равны О, за исключением когомологий в степени О, где МЭ 1 есть дополнение к пространству кограниц; отсюда изоморфизм линейных пространств У,М М.
Остается проверить, что действие йс(Е') совпадает с указанным выше. Имеемдас(т919е ")= — х~т919е-о, так что д11 действует как — хь С другой стороны, д„т919е-'— «с — т91, Эе о ее (кограницы), так что Е; действует как д„,. Замечание (1.2). Описанный изоморфизм не является каноническим: мы отоЖдествили относительный комплекс де Рама с комплексом Кошуля, для чего необходимо выбрать «меру Хаара».
Таким образом, каноническим будет" изоморфизм У „МыМЭЛ"Е'. В таком виде алгебраическое преобразование Фурье продолжается на векторные расслоения. А именно, пусть Š— У— голоморфное векторное расслоение ранга и над (гладким) комплексно-аналитическим многообразием У. Обозначим через УР(Е) пучок (на У) голоморфных дифференциальных операторов в Е, которые поливом иальны вдоль слоев.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
