Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Таким образом, имеем «выделенный треугольник» ю'"У'«ю«Ч'(У ) — «РФ(Ус)— на Х„и соответствующая длинная точная последовательность групп когомологий на Х, для собственного ! имеет вид и'(х„у",) и'(х „у») и'(х„лФ(в )) Комплекс ДФ(У) на Х, называется комплексом исчезающих циклов. Для собственного ! его глобальные группы когомологий являются препятствиями к тому, чтобы отображения специали- зации и'(х„у,) — и'(х», у») юсюЧю(У)„=И'((Хмю)», У) для всех ю, ~ Я'Ч'(У )„для ю ~) 1, 10 для ю~ — 2 и,крмет о ого, имеется четырехчленная точная последовательность О ~И Ф(У)к ~.Ук — «Н'((Х(к))», У) — «ДФ(У)к ю О.
Лемма 21. Предположим, что юг — конечное локальное кольцо, порядок которого обратим на 8 и У вЂ” юч-пучок, и что (! ~ Х— такое открытое множество, что данные (!10,У ~(!) являюотся ЗБ. Тогда ограничение ююФ (У ) на (!, равно О, Доказательство. «Проверим» свойство ЗБ для Я-схемы !о.. т)-н Я с постоянным пучком юг на т). В рассматриваемом случае декартов квадрат имеет вид Я на ч ю ~.ю О« Г!0 и естественный изоморфизм замены базы на У, зад аваемый ЗБ есть У бй('Ю'1П) (к!'К) = Ж.(У»). были изоморфизмами. Слои пучков ТчюЧ'(У ) и югюФ(У ) в геометрической точке хен Х, имеют следующее локальное описание.
Обозначим через Хю > строгую гензелизацию Х в точке х и через (Хаю)» ее слой над, ю1. Тогда твв Н. Мати Работы Ломано Поскольку кольцо Я строго гензелево, 1'()11»Н) есть постоянный пучок Я на з, так что, взяв обратный образ этого изоморфизма на Н,, получаем, что естественное отображение 1'У = ЯЧт(У ) является изоморфизмом на Н„что и утверждалось.
° Предположим дополнительно, что морфизм 1 является соб- ственным и что, если обозначить через Х дополнение 'Х: =Х— — Н, Х, состоит из конечного числа точек нз Х,. Тогда пучки когомологий А"Ф(У ) комплекса ЯФ(У ) являются пучками не- боскребов на Х, и когомологическая точная последовательность исчезающих циклов имеет следующий вид: Н'(Х„У-,) Н'(Х«, У-«) Ю Н'Ф(У ), аыз Если в дополнение к предыдущему ' существует такое целое число У, что « а. Н'(Х«, У«)=0 для 1Ф У. Ь. Отображение Нм(Х„У,)-«Нм(Х«, У «) инъектнвно (22) (т. е. у тг™1,(У) нет сечений, сосредоточенных в точках).
с. Н'(Х„У;)=О для 1чь У, У+1, то Я'Ф(У)=0 для 1Ф У и у нас есть четырехчленная точная последовательность (23) 0 — «Нм(Х„У,)«Н"(Х«, У«)-+ ®»г™Ф(У")»в алых — «Н" (Х„~,) — «О .... В случае когда У обращается в 0 на всем специальном слое Х, получаем, что (24) Н"(Х«ь У«)= 9 К"Ф(У), аых Н'(Хч, У«)=0 для ю'ФУ. Теперь мы можем' изложить идею доказательства «уточненных» вариантов теоремы Ломона в стационарной фазе (теорема 3) и его теоремы 10, которая формулируется в терминах конечного кольца коэффициентов Я (т. е. конечного локального кольца, поле вычетов которого содержит р различных корней р-й сте-. пени из 1), а не для поля Оь Зафиксируем нетривиальный аддитивный характер ф поля Т со значениями в У'.
Предположим, что У вЂ” пучок Н-модулей на Р' над совершен.ным полем и характеристики р, который не имеет сечений, со- средоточенных в точках, обращается в 0 в точке оо, и такой что на некотором недустом открытом множестве А' — 5 является гладким пучком конечных свободных .Ч-модулей. Такому пучку У мы функториально сопоставляем пучок Л'в- на Р' ч',» Р, задаваемый формулой Л':= (продолжение нулем пучка(рг',У ) Э.У, »ю на А'Х»А'). Заметим, что для любой рациональной точки (а, Ь) ен Р'Х»Р' ограничение а"р. на гензелизацию Р'Х»Р в точке (а„б) зависит только от ограничения У на гензелизацию Р в рациональной точке а. Рассмотрим собственный морфизм Ва.
б' ОДбт с пучком Л' на Р р, Р'. Поскольку пучок рг',У гладок на (Р— (Я7(оо))р,»Р', то по симметричному варианту теоремы Ломона (теорема 20) вся ситуация является УЗ5 на открытом подмножестве (Р' — (Я () (оо)) Р',» Р1. Ключевое наблюдение состоит в следующем. Обозначая через 1: А' -«Р' вложение, имеем, используя (собственную замену данных и) определение РТ» „что 1',РТ, (1'У ) совпадает с Н(рг,)„Лл-. Из того что мы уже знаем относительно РТ' (теорема 2), вытекает, что )Т'(рг»),Л*а-. равно О для 1~ 1, 2, и.'1(ргт).Л",в- не имеет сечений, сосредоточенных в точках, а пучок тх~(рг») Ла.
сосредоточен в отдельных точках. Поэтому, проводя строгую локализацию в любой замкнутой точке проектнвной прямой Р', мы приходим к рассмотренному выше (см. (22)) случаю У = 1. Над точкой оо ен Р' имеем дополнительно, что Л',к тождественно обращается в 0 в слое над этой точкой. Локалнзуя в точке оо, получаем, что изоморфизм (24) является не чем иным, как требуемым разложением УГТ« (1'У ) (оо) в соответствии. с принципом стационарной фазы, функторы гТ 1ос(а; оо) переводят У в слои сосредоточенного в отдельных точках (и единственного отличного от нуля) пучка исчезающих циклов нашего морфизма над точкой оо.
Конкретно, дли аепЯ()(оо) имеем РТч 1ос(а, оо) (У (а)):= Н|(((Р1 Х» Р')„„,)«„3Тд.) для любого У с У,=О. Работы Домана Н. Катя 322 [ьаи — Ц [1аи — 2] [Ие] [Зе — Ц Зе — 2] Зе — Та] [ЗбА] [Та — Ц ЛИТЕРАТУРА [Ве] [Та — 2] [Вг] [Ое — Ц [Ое — 2] (Ое-3~ [От«] [бг] (На] [Ног] [18] [Ка — Ц [Ка — 21 [Ка — 3] [Ка — 1.а] Локалнзуя над точкой 0 н используя теорему Делння о полулепрерывностн кондуктора Суона (см. [[.ап-]]), легко получаем, что нз конечного множества точек (а, О), а ее о [) (оо), над которымн ситуация, возможно, не является УЗБ, лишь в точке (оо, О) имеем ]тгФ(Л'л-) ть О.
(Другой способ проверить зтот факт состоит в применении следствия 2.! б нз статьи Делння о теоремах конечности в отхА4'/х к [х=У на Х=А!.) Функтор РТв!ос (оо, О) есть РТ41ос(, 0)(У ( )):=О (((]в~ ХаР!)! с!)й, юл ) н точная последовательность нз теоремы 10 совпадает с точной последовательностью (23) для исчезающих циклов. Белый Г.
В.— О расширениях Галуа максимального циклотомического поля, Изв. АН СССР, сер, мат., 1980, т. 14, № 2, С. 247 — 256. Вгуппв)гу Л-1.. — Тгапз1оппапопв сапоп1Чиев, биап(е рго!есИте, йеог!е бе 1.ейсЬе1х, 1гапв1оппа1юпв бе Гоипег е1 яопипев 1г!8опоше!г!Чаев, Азгег!яйце, 1986, !40 — !41, 3 — 134. ОеИкпе Р.— 1.ев сопв1ап1ев бев ейиа1!опз 1опс1юпепев без 1опсИопв 1., 1.ес1.
Но!ее Май., 1973, 349, 55 — 106. Оепкпе Р.— 1.а соп!ес1иге бе %еп П, РиЫ. Май. 1НЕЗ, 1981, 52, 3!3 — 428. Ое!!8пе Р.— Письмо Д. Каждану, 26 ноября 1976. Оепнпе Р. — Ьш сопз1ап1ез бев ейиа1!опв 1опс1!опе1!ез бев 1опсИопв 1., пшпеопгарьеб по1ез Ьу 1.. П!ияе, 1НЕЗ, 1980. Оттогй В.— Оп йе Агпп гоо1 пишЬег, Ашег. Д Май., 1956, 78, 444 — 472. бго1Ьепб!ес)г А. — Рогпш!е бе Бе!зсЬе1г е1 га1юпапй дев 1опс1юпз 1., Зепипа!ге ВоигЬам 1964 — 1965, по. 279, гергй(ед !п «О!х Ехровез виг 1а соьошо!оп!е дев ясьешав», Ыог(Ь-Нопапй 1968. Назве Н.— ТЬеог!е бег ге!з(1т-ху)гпвсьеп а!деЬга!всьеп Рипйюпепйогрег, 1пвЬевопдеге Ье! епдпсьеп Копя(апнгбгрег, Л Йе!пе Апет«.
Ма1Ь. !934, 172, 37 — 54. Ноппапбег 1..— ТЬе апа1уыв о1 Ипеаг раг1!а! ойпегепна! орега1огв 1, Зрг!пкег-Ъег!ад, !983. (рус, перл Л. Хермандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 1, Мс Мир, 1986.) 1Иине 1..— Оепппегв 1-аб!с Роиг!ег 1гапв1опп, Ргос. !985 АМЯ Зшпшег 1пЫИШе 1п А18еЬга!с беоше1гу. В печати.
Ка(х № М. — Ьоса! 1о 8!Ьа! ейепваопв о1 гергезеп1апопв о! !ипдашеп1а! 8тоирв, Апп. !пв1. Роиг(ег, 1986, 36, по. 4, 59 — 106. Ка1х № М.— баивв вития, К!оов1еппап зшпз, апд пюподготу йтоирв. Апп. о1 Май. 8!иду, 116, Рппсе1оп (Тп!т. Ргевв, 1988. Ка1г Н. М.— Регтегзну апд ехропеппа! вшпв, Тоьойи Мань Л., 1о арреаг. Ка(г )Ч. М., 1.ашпап б.— Тгапв1оппа1юп бе Роипег е1 та!огаИоп де вопппез ехропеппепев, РиЫ. Май. 1НЕЗ, !985, 62, 361— 418. Баишоп б. — Зепи'-сопппш1е би сопбис(еиг де З»тап (д'аргез Р. Оенкпе), Ав1ег1виие, 1981, 82 — 83, 173 — 219. 1ашпоп б.— Тгапз!оппапоп бе Роиг!ег, сопв1ап1ев б'ечиа1!опв 1опспоппепез е1 сотбес1иге бе %еп, РиЫ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
