Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 21
Текст из файла (страница 21)
оно является ручным). Тогда, на б, РТ(9)[Ц является глад- ким пучком НРТ(У ), причем его /З(оо)-представление имеет единственный локальный вклад РТ 1ос(0, оо)(У (0)), все из- ломы которого меньше 1, а 0(0)-представление виртуально равно Н,'(б ЭЙ, 9) — Н~з(б ЭЙ, 9)+РТ»1ос(оо, 0)(9 (оо)). Применим закон взаимности в глобальной теории полей клас- сов к полю й(х). Обозначим через Ре и Р произвольные эле- менты /З(0) и Р(оо) соответственно, образы которых в фактор- группах по коммутанту отвечают, пО локальному закону взаим- ности, выбранным параметрам х и 1/х соответственно.
Тогда для произвольного гладкого пучка!Е) ранга 1 на б имеем бе! (Р„] Ы (оо)) = де! (Р, [ Ы (0)), откуда вытекает формула стационарной фазы для детерми- нанта (15) де! (Р ]РТ» 1ос(0, о ) (У (0))) = бе! (Ро ] РТ»1ос(оо, 0) (~(оо))) Х р',(йе!(Р»!Н,'(6„ЭЙ, 9))/бе!(Рь]Н',(б ЭЙ, 9))], Эта формула для детерминанта будет играть ключевую роль в формуле произведения для локальных констант. ФОРМУЛА ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДЛЯ»ГЛОБАЛЬНЫХ КОНСТАНТ» Напомним коротко, в чем состоит задача. Пусть задана гладкая геометрически связанная кривая (/ над конечным полем /г характеристики р, имеющим в элементов. Обозначим через Х//е полную неособую модель Х, через и ее род, через /: (/-»-Х— вложение.
Каждому 1чь р и простому гладкому пучку У на У сопоставляется /.-функция /. ((//й, У; Т) ен ь)1 [[Т]], определяемая обычным эйлеровским произведением. Согласно доказанной Гротендиком формуае Лефшеца, она является рациональной функцией Т, выражаемой формулой /.((//й, У-; Т)= = бе( (1 — ТР» ] Н' (Н ® Й, У ))/де!(! — ТР» !Н~((/Э Й, У )).
Положим также /,(У/й, У; Т):= ;= де!(! — ТР»]Н»(НЭ Й, ~))/де!(! — ТР» ]Н»((/ЭЙ, У )). (В терминах /,-функций конструктивных комплексов на Х, /.((//й,У; Т) является /.-функцией комплекса /,У на Х, в то время как /,„((//й, У; Т) является /.-функцией комплекса Н/„У на Х.) Обозначая через У ~линейный двойственный к У пучок (т.
е. пучок, отвечающий контраградиентному представлению п~), имеем по теореме двойственности Пуанкаре функциональное уравнение вида / ((//й, У; Т)=е(9) Т хше~ '~! ° /.,((//и, У; !/т/Т), где коэффициент е(9 ) при Т" ш ' ~', нарываемый «глобальной константой» («корнем Артина» в старых терминах), задается формулой е(У)=де!( — Ре]Н,'((/ЭЙ, У ))/де!( — Ре]Н',((/ЭЙ, У)). Конкретная задача состоит в следующем. Предположим, что (/ достаточно мала для того, чтобы на Х существовала мероморфная 1-форма, не имеющая на (/ ни нулей, ни полюсов. Вывести «формулу произведения» для е(9 ) 01«-и"""<~>, представив его в виде произведения по всем замкнутым точкам х~Х вЂ” 1/ локальных констант е (У (х),а), которые удовлетворяют некоторым естественным аксиомам (см. [1)е-1], [Та-2]).
Она была доказана с точностью до знака Дворком (аксиомы которого являются слишком сильными, см. [1)ч], [Та-2], с. 101 — 104), и позднее в записках Ленглендса (1968, неопубликовано). Затем она была передоказана с помощью перехода от глобальных объектов к локальным Делинем ([Пе-!]), который показал, что существует единственная теория локальных констант, удовлетворяющая его списку аксиом, и что для тех У, для которых геометрическая монодромия конечна, произведение этих локальных констант является глобальной константой. В случае Н.
Катя Работы Ломова геометрически конечной монодромиитеорема Брауэра сводит все к абелеву случаю, где существование локальных констант и формула произведения являются классическими ([Та-2), последняя страница). Рассуждения Делиня применимы также к представлениям по модулю 1 и дают формулу произведения по модулю 1; отсюда Делинь выводит, что формула произведения справедлива для каждого 1-адического У, который является частью совместимой системы 1-адических представлений для бесконечного числа простых 1.
Делинь рассматривал также случай 1-адического У, имеющего только ручные ветвления (1980, неопубликовано, см., однако, [1)е-4) ). Ситуация с общим р-адическим представлением остается, однако, загадочной. А рг!оп' нет никаких причин, по которым глобальная константа разлагается в какое бы то ни было произведение локальных членов, хотя «программа Ленглендса» предполагает, что это должно быть так, и выводит отсюда ряд важных следствий (см. [1.ап-1, 3.1.3, 3.1.5, 3.2.2). Покажем, как принцип стационарной фазы Ломова решает эту задачу.
Лемма 16. Пусть к — совершенное поле характеристики р ) 0 и (/ — гладкая геометрически связанная кривая над й. Суи>ествует непустое открытое подмножество $'с: 6 и конечное этальное накрытие У вЂ” +А> над й. Доказательство. Этот аналог замечательной теоремы «о трех точках» Белого [Ве] над ь! может быть доказан следующим образом. Уменьшая Р, мы можем предположить, что Р аффинно и имеет несколько точек на бесконечности. Беря функцию 1 на Х с простыми полюсами в оо и без полюсов на Р, мы получим конечное плоское отображение Х в Р', которое; следовательно, является конечным неразветвленным накрытием над некоторым открытым подмножеством А' — 5 в А'. Для У=А' — Яобозначим через 6 конечную (!) абелеву подгруппу й, порожденную элементами 5(й), Уменьшим 6 до А' — 6; факторизация А' —.
А'/6 = А' является конечным этальным отображением, и А' — 6 является конечным этальным накрытием б . Наконец, мы превращаем >Б в конечное этальное накрытие над А'с помощью отображения х- х» + 1/х. ° Используя эту лемму и совместимость локальных и глобальных констант с индукцией (прямым образом), мы приходим сначала к случаю, когда пучок У гладок над А'. Затем, используя отображение, мы сводим все к случаю пучка У на А', являющегося продолжением нулем гладкого пучка на 6, для которого У (оо) неразветвлено. Для таких У требуемая фор- мула произведения имеет вид е(У ) = д""">о > е»(У (О), йх) е„(У (оо), йх).
Разворачивая формулу стационарной фазы для.детерминанта (14), получаем е(У)=д»»""<в> йе!( — Р [РТа!ос(0, оо)(У (0)))С Х[у'-" й(( — Р !У (-)))-' для любого выбора поднятия Р автоморфизма Фробениуса в Р(оо). Остается только отождествить соответствующие члены в этих двух формулах.
Совпадение оо-членов легко вытекает из аксиом для локальных констант и неразветвленности У (оо). Остается только показать, что для любого Р(0)-представления М существует некоторый элемент Р в Р(оо), для которого (»») еь(М, йх) =бе!( — Р !РТ,>!ос(0, оо)(М)). Теорема 17 (Ламан). Для любого Р(0)-представления М формула (ьь) справедлива для любого Р в Р(оо), образ которого в Р(оо)'» соответствует (по локальной теории полей классов) выбору униформизуюи)его параметра 1/х в оо-адическом пополнении й(х).
Доказательство. Если М вЂ” ручное представление, то все доказывается сведением к случаю Ы„, где т — характер конечного порядка, и затем непосредственными вычислениями. Мы покажем, как все сводится к ручным М. Используя отвинчивание, достаточно рассмотреть случаи Р(0)-неприводимого представления М. В этом случае действие 1(0) проводится через конечную группу (по «теореме о локальной монодромии» Гротендика, см.
[Бе-Та], приложение). Рассмотрим теперь каноническое продолжение У представления М. Тогда У имеет конечную геометрическую монодромию, так что ввиду результатов Делиня для него справедлива формула произведения: е(У) = уса»ч>э>. е (У(0), йх) е (У(оо), йх). Поскольку У является ручным в точке оо, мы можем применить к 'У формулу стационарной фазы (15) для детерминанта, согласно которой е(У) дг»»ь>т>. бей( Р [РТ, 1ос(0, оо)(У (О)))( Х [у' ""Кз> йе1( — Р»[РТ»!ос(оо, 0)(У(оо))[", !ТВ О. Кагц Работы Локона нз Из сравнения этих двух формул для а(У) видно, что достаточно доказать совпадение их оо-членов, что является задачей о руча иых 6(оо)-представлениях. Повторим теперь приведенные выш р осуждения, используя каноническое продолжение (меняя роль е 0 и оо) У(оо) до гладкого ЗУ на б, ручного в О.
Тогда задача сведется к доказательству справедливости (««) для ручного представления Зй(0). ° ВТОРОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ: ПОСТРОЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АРТИНА В РАВНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ Зафиксируем конечную факторгруппу 6 Группы инерции /(0) точки 0 ее А' над алгебраически замкнутым полем характеристики р - О. Напомним, что для каждого конечномерного представления М группы 6 над полем нулевой характеристики кондуктор Артина Агйп(М) есть неотрицательное целое число, определяемое формулой Аг!!и (М): = Зтчо (М) + б!Гп (М) — б!Гп (Мо) Оно равно 0 в том и только том случае, если М вЂ” тривиальное представление 6.
В ситуациях, связанных с преобразованием Фурье, кондуктор Артина возникает следующим образом. Мы можем ограничить функтор РТч!ос(0, оо) на категорию 6-представлений и, забывая 0(оо)-структуру, считать, что он принимает значения в категории конечномерных пространств иад (;1ь Поскольку мы знаем, что б!Гп(РТ 1ос(0, оо) (М/Мг(Й)) = = 8ъ' (М) + П (гп (М) — б1 го (Ма) = Аг!!и (М), из точности РТ!ос(0, оо) вытекает, что для факторпредставле- ния М/Ма мы имеем б!Гп(РТ 1ос(0, оо)(М/Мг<Й)) = = ЗчГ«(М) + аппп (М) — б!Гп (Ма) = Агйп(М). Поскольку функтор М«-/Ма точен (напомиим, что группа 6 конечна), композиция М-«М/Ма — «РТ!ос(0, со)(М/Ма) является Цглииейным точным функтором из категории конечномерных (~~ [6]-модулей в категорию конечномериых линейных пространств над Яь Любой такой функтор Т имеет вид М-«А ® М 4,!а! для некоторого проективиого правого Я~ [6]-модуля А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
